Dimension du polytope ITSP(n, p)

3 2 2 T n ,n n₂ n₃ v 1 v

Fig. 3.2 { Trois tournees internationales lineairement independantes.

Preuve :SoientS

W;uun ensemble (W;u)-maximal etS est un ensemble a-nement independant de tournees internationales qui n'utilisent pas le sommet

u. On note c1 et c2 les cardinalites respectives de S et S

W;u et c= c1 +c2. Soit M la matrice de m lignes et de c colonnes dont les lignes representent l'ensemble des ar^etes et les colonnes representent les tournees internationales deS[S

W;u. On supposera que lesc1 premieres colonnes representent les vec-teurs d'incidence des elements de S et les c2 dernieres colonnes representent les vecteurs d'incidence des elements de S

W;u, et que les j(fug)j premieres lignes representent les ar^etes incidentes au sommet u. La matrice M est de la forme:

0 A

B C !

avec A une sous-matrice carree d'ordre c2. L'ensemble des colonnes de la sous-matrice B est anement independant et, d'apres le lemme 3.3.1, la sous-matriceA est de plein rang, alors l'ensemble des colonnes de la matrice

M est anement independant. 2

3.3.2 Dimension du polytope ITSP(n, p)

Dans une tournee internationale, chaque pays a un degre egal a deux. Ainsi, le polytopeITSP(n; p) est contenu dans l'intersection des hyperplans associes aux equations de degre. Le rang de la matriceA? permet de borner

superieurement la dimension du polytope ITSP (n; p).

Proposition 3.3.1

Le rang de la matrice d'incidence pays-ar^eteA est egal a p.

La matrice A? peut ^etre obtenue en considerant la matrice d'incidence sommet-ar^ete du grapheKp a laquelle on dedouble un certain nombre de fois certaines colonnes. Cette operation donne une matrice de rang egal a celui de la matrice initiale. Ainsi, le rang de la matrice A? est egal a celui de la matrice d'incidence sommet-ar^ete du graphe Kp, donc ap.

Theoreme 3.3.1

dim (ITSP(n; p)) =m,p:

Preuve :

La dimension de l'ensembleP =n

x2 IRjEj : A?x= 2 I1o est egale a m ,p puisque le rang de la matrice A? est egal a p. Le polytope

ITSP(n; p) est contenu dans l'ensemble P; sa dimension est inferieure ou egale a m ,p. On montre l'inequation dans l'autre sens par induction sur le nombre n des sommets du graphe avec un nombre xe de pays. Si n =p, alors le polytope ITSP (n; p) est TSP(p). Dans ce cas, la dimension est connue. Supposons que l'inequation est veriee pour n,1 sommets et mon-trons qu'elle l'est egalement pournsommets, avecn > p. Soientuun sommet du graphe Kp

n appartenant a un pays non degenereWu etS

W;u un ensemble (W;u)-maximal de tournees internationales associe au sommetuet a un pays

W dierent de Wu. Le sous-graphe de Kp

n induit par l'ensemble V nfug est le graphe Kp

n,1. Par hypothese de recurrence, il existe un ensemble S de

m,j(u)j,p+ 1 tournees internationales anements independantes dans le graphe Kp

n et non incidentes au sommet u. D'apres le lemme 3.3.2, l'en-semble S

W;u

[S represente un ensemble dem,p+1 tournees internationales anements independantes de Kp

n. 2

Une autre maniere de demontrer ce resultat consisterait a montrer que les contraintes de degre sont les seules equations satisfaites par tous les points du polytope ITSP(n; p).

Ainsi, le polytope ITSP(n; p) n'est pas de pleine dimension. Plusieurs inequations dierentes induisent la m^eme facette; ce qui explique une certaine

82 Etude Polyedrale

diculte dans l'etude de sa structure faciale. Avant de commencer cette etude, on denit la propriete forte d'une facette.

Denition 3.3.1

Une facette du polytope ITSP (n; p) est dite forte si elle est induite par une inequationcxc

0 telle que, pour tout ensemble legalLla restriction c

? xc

0 de cx c

0 a l'ensemble L induit une face F de TSP (p)

maximale ou non propre; i.e. F est une facette du polytope TSP (p) ou F

est le polytope TSP(p).

Dans la suite, on etudie les inequations de non negativite et les proprietes que verient les facettes qu'elles induisent.

3.3.3 Facettes triviales

Theoreme 3.3.2

Les inequationsx e

0, pour e2E, induisent des facettes du polytopeITSP(n; p).

Preuve :

Soite= [u; v] une ar^ete quelconque deE. L'inequationx e

0 est valide pour le polytope ITSP(n; p). Supposons qu'une inequation cx  c

0 valide pour ITSP (n; p) domine l'inequation x

e

 0, alors il existe une tournee internationale T

0 qui utilise l'ar^ete e telle que cx T

0 = c

0. Soit L 0 l'ensemble legal engendre par T

0. L'inequation x e

 0 induit une facette du polytope TSP (G[L 0]) = TSP (p). Soit c ? x c 0 la restriction de cx  c 0 a l'ensemble L 0. La tournee internationale T 0 sature c ? x  c

0 ainsi que toute tournee internationale de I

L

0 qui n'utilisent pas l'ar^ete e. Pour que x e

 0 soit dominee par cx  c

0 et, ainsi, aboutir a une contradiction, il sut de montrer quec

? xc

0 induit une face propre deTSP (p). SoitT

1 une tournee internationale qui ne sature pas cx  c

0 telle que jL 0 \L 1 j est maximum, avec L

1 l'ensemble legal engendre par T

1. Supposons que L 1 est dierent de L 0. Soit w 1 2L 1 nL

0. On note W le pays qui contient w 1 et w 0 =L 0 \W. Soient w 0 et w

00 les sommets adjacents a w

1 dans T 1. L'ar^ete e appartient a T 1; sinonT 1 saturex e

0 et, par consequent, T

1 sature cx c

0. De plus, le sommetw

1 n'est pas une extremite de l'ar^eteepuisqu'elle est utilisee par T 0 etT

1.

Par ailleurs, soient T

0 une tournee internationale appartenant a I L

1 telle que les ar^etes [w

1 ; w 0] et [w 1 ; w 00] appartiennent aT 0 et l'ar^eteen'appartient pas aT 0 etT 00 =T 0 ,[w 1 ; w 0],[w 1 ; w 00] +[w 0 ; w 0] +[w 0 ; w 00]. Les tournees

internationales T 0 etT

00 saturent l'inequation cxc

0 puisqu'elles n'utilisent pas l'ar^ete e, alors c([w

1 ; w 0]) +c([w 1 ; w 00]) =c([w 0 ; w 0]) +c([w 0 ; w 00]). Soit la tournee internationaleT

2 =T 1 ,[w 1 ; w 0],[w 1 ; w 00] + [w 0 ; w 0] + [w 0 ; w 00]. La tournee internationale T

2 ne sature pas l'inequation cx  c 0 puisquecx T 2 =cx T 1. SiL

2 est l'ensemble legal induit parT

2, on ajL 0 \L 2 j= jL 0 \L 1

j+ 1. Ceci contredit l'hypothese que jL 0

\L 1

j est maximum, alors L

0 =L

1 et l'inequation c ?

xc

0 induit une face propre de TSP(p). 2 On appellera inequations triviales les inequations de non negativite et facettes triviales les facettes qu'elles induisent. Les facettes triviales verient la propriete des facettes fortes.

On pourrait developper une autre demonstration, plus directe, qui n'uti-lise pas le fait que les inequations triviales induisent des facettes du polytope du TSP. La demonstration serait similaire a celle donnee par Grotschel et Padberg [47] pour montrer que les inequations triviales induisent des facettes du polytope du TSP. u u

W

2 1 2

W

W

₃ u₃ u₄

W

₄

S

1 ∗ u

W

p p Fig. 3.3 {

On peut penser que les inequations triviales sont les seules a verier la pro-priete du theoreme 3.2.5 comme c'est le cas pour le polytope P

0(n; p). Mal-heureusement, la reponse est negative. En eet, soitL=fu

1 ; u 2 ; u 3 ; :::; u p g un ensemble legal, avecu

i 2W

i, pouri= 1; :::; p, et supposons quejW 1

84 Etude Polyedrale 2. L'inequation x((S ?)) 2 associee a l'ensemble S ? =Lnfu 2 ; u

Dans le document Heuristiques et approche polyedrale du probleme de voyageur de commerce international (Page 91-95)