2.3.1 Rel`evements alg´ebriques. Dans [A11] on ´etudie les probl`emes de rel`evements
´evoqu´es dans la section pr´ec´edente, en eux-mˆemes. On y montre par exemple que l’utili-sation du th´eor`eme d’approximation d’Artin (th´eor`eme d’existence non effectif) pour le rel`evement au niveau †-adique des morphismes n’est pas n´ecessaire, ce qui repr´esente une simplification importante dans la th´eorie de Monsky-washnitzer. On g´en´eralise aussi de mani`ere uniforme les th´eor`emes de rel`evement connus jusqu’`a pr´esent ; le cas le plus surprenant ´etant la propri´et´e (R-i) qui est d´emontr´ee sans aucune restriction sur le couple (R,I), autrement dit :
2.3.1-1. Th´eor`eme ([A11]).Pour tout anneauR, tout id´eal I ⊆Ret touteR-alg`ebre lisse A, il existe une R-alg`ebre lisse dont la r´eduction modulo I est isomorphe `a A.
Pour d´emontrer cette g´en´eralisation, on utilise l’id´ee, sous-jacente dans la th`ese de Elkik ([E]), de construire des rel`evements lisses pour les R-alg`ebres lisses `a l’aide de rel`evements projectifs de R-modules projectifs de type fini. Or, ´etant donn´es une R-alg`ebre B et un B-module projectif M, le module M n’est pas toujours la r´eduction modulo I d’un B-module projectif, cela est pourtant possible au voisinage ´etale de I dans B pr`es (9), ce qui suffit pour faire marcher l’id´ee de Elkik moyennant quelques v´erifications techniques. Plus pr´ecis´ement, on d´emontre :
2.3.1-2. Th´eor`eme ([A11]). Pour tout anneau R, tout id´eal I ⊆R, touteR-alg`ebre de type fini B et toute pr´esentation libre et finie d’unB- module projectif de type fini M :
Bp−−−−−L−→−−Bq−−−−−Π−→−−M →0, () il existe une B-alg`ebre Bε intersection compl`ete et voisinage ´etale de I dans B, un Bε-module projectif de type fini Mε, et une pr´esentation libre et finie de Mε:
Bεp−−−−−L−→−−Bεq−−−−−Π−→−−Mε→0, de r´eduction modulo I isomorphe `a ().
Quant `a la propri´et´e (R-ii), elle est vraie toujours sans hypoth`ese suppl´ementaire sur le couple (R,I), mais uniquement au voisinage ´etale pr`es :
2.3.1-3. Th´eor`eme ([A11]). Etant donn´´ es un morphisme de R-alg`ebres h:A→B, et des rel`evements pA:AA et pB :BB, o`u A est lisse, il existe uneB-alg`ebre Bε intersection compl`ete et voisinage ´etale de I dans B, et un morphisme de
R-9On appelle «voisinage ´etale de I dans B» toute B-alg`ebre Bε, ´etale sur B et telle que la r´eduction modulo I du morphisme structuralε:B →Bε est un isomorphisme.
alg`ebres h:A→Bε qui rel`eve h. En d’autres termes, on a un diagramme :
o`u ε:B→Bε d´esigne l’homomorphisme structural et o`u pBε est l’homomorphisme induit par ε `a partir de pB.
La propri´et´e (R-iii) est prouv´ee dans [MW] `a partir d’une propri´et´e d’homotopie
´egalement g´en´eralis´ee dans [A11]. On rappelle que deux morphismes de R-alg`ebres u0, u1:A→B sont dits «homotopes» lorsqu’il existe un morphisme de R-alg`ebres h:A→B[T] tel que u0(a) =h(a)(0) et u1(a) =h(a)(1). Le th´eor`eme suivant donne une id´ee assez pr´ecise de l’ambigu¨ıt´e des rel`evements des morphismes par l’existence d’une homotopie au voisinage ´etale pr`es.
2.3.1-4. Th´eor`eme ([A11]). Soient A une R-alg`ebre lisse et u0, u1:A→B deux morphismes deR-alg`ebres dont les r´eductions modulo I sont homotopes (par exemple
´egales). Il existe alors uneB[T]-alg`ebre B[T]ε, intersection compl`ete et voisinage ´etale de I, de (T) et de (1−T) dans B[T], et un morphisme deR-alg`ebres h:A→B[T]ε
tels que pi,ε◦h=ui. En d’autres termes, on a un diagramme :
o`u l’on note ε:B[T]→B[T]ε l’homomorphisme structural et p0,ε, p1,ε:B[T]ε→B les morphismes de B[T]-alg`ebres induits par ε `a partir de p0 et p1 respectivement.
Les deux derniers th´eor`emes sont en fait des corollaires d’un th´eor`eme technique g´en´eral, analoguealg´ebrique de la propri´et´e par laquelle Monsky-Washnitzer d´efinissent les alg`ebres faiblement compl`etes tr`es lisses, on y reviendra dans2.3.2.
2.3.1-5. Th´eor`eme. Soit A uneR-alg`ebre lisse et donnons-nous :
• Une paire d’homomorphismes de R-alg`ebres A−−−−−ϕ−→−−C−−−p B, o`u p est surjectif de noyau not´eK (K=B compris).
• Un homomorphisme deR-alg`ebresh :A→B v´erifiant ϕ=p◦h.
Alors :
a)Pour chaque entier strictement positif n, il existe uneapplication ηn:A→B telle que :
(i)pB◦ηn=h◦pA, (ii)p◦ηn =ϕ ,
(iii) νn◦ηn est un homomorphisme de R-alg`ebres.
A∃ηn B
pA
pB
A−−−−−−−−−−−−h−−−−−−−→− B o`u νn:B →B/((I·B)∩K)n d´esigne la surjection canonique.
(L’homomorphisme pn est celui induit par p.)
b)Il existe un voisinage ´etale Bε de I·K dans B, intersection compl`ete sur B, dont on note ε:B→Bε l’homomorphisme structural et pε:BεC l’homomorphisme induit par p, et il existe un homomorphisme de R-alg`ebres hε:A→Bε tels que hε =ε◦h et ϕ=pε◦hε. En d’autres termes, on a un diagramme :
2.3.2 Rel`evements faiblement complets tr`es lisses. Les r´esultats de la section pr´ec´edente concernent l’aspect «alg´ebrique»du probl`eme des rel`evements dans la me-sure o`u les alg`ebres lisses surR sont relev´ees en des alg`ebres lisses sur Rdonc de type fini sur R. Dans la d´efinition de la cohomologie de Monsky-Washnitzer on doit encore appliquer le foncteur de compl´etion faible qui nous fera ressortir du cadre des alg`ebres de type fini. A ce sujet, il est important de souligner que si ε:B→Bε est un voisi-nage ´etale deI dans B, la compl´etion faible ε†:B†→B†ε est un isomorphisme, ce qui permet de simplifier les r´esultats de la section pr´ec´edente. En particulier, le th´eor`eme 2.3.1-5 s’´enonce maintenant de la mani`ere suivante.
2.3.2-1. Proposition. Soient A,B,C trois alg`ebres sur R o`u A est lisse sur R. Pour toute paire de morphismes deR-alg`ebres B†−−−−−−p−−C←−−−−−ϕ−−−−A†, o`u p est surjectif (de noyau arbitraire), et pour chaque morphisme deR-alg`ebres h:A→B v´erifiant ϕ=p◦h, il
existe un rel`evement h:A†→B† de h, tel que ϕ=p◦h.
Or, c’est tr`es pr´ecis´ement par cette propri´et´e deA† que Monsky-Washnitzer d´efinis-sent les rel`evements «faiblement complets tr`es lisses». L’existence de tels rel`evements est ´etablie dans [MW] pour une classe de R-alg`ebres lisses restreinte, et l’existence en toute g´en´eralit´e y est ´enonc´ee de mani`ere conjecturale. Le th´eor`eme suivant, simple paraphrase de la proposition 2.3.2-1, ´etablit cette conjecture moyennant le th´eor`eme 2.3.1-1.
2.3.2-2. Th´eor`eme ([A11]). Soient R un anneau nœth´erien et A uneR-alg`ebre lisse.
Pour tout rel`evement A lisse sur R de A, l’alg`ebre A† est un rel`evement faiblement complet tr`es lisse de A.
§3. ´Equivalence de Green et objets quasi-projectifs
Dans certains travaux de Marie-France Vign´eras apparaˆıt la notion de module presque-projectif. On appelle ainsi un module Q admettant une pr´esentation projec-tive π :PQ telle que ker(π) est stable sous l’action des endomorphismes de P.
Notons EQ= End(Q) et Modδ(EQ) la cat´egorie desEQ-modules `a droite. Les modules presque-projectifs sont importants dans la mesure o`u ils v´erifient l’«´equivalence de Green»´enonc´ee dans le th´eor`eme suivant.
3-1. Th´eor`eme. Soit Q un A-module de type fini presque-projectif.
Le foncteurHomA(Q, ) : Mod(A)Modδ(EQ)induit une bijection entre les classes d’isomorphie desA-modules simples S tels que Hom(Q,S)= 0 et les classes d’isomor-phie desEQ-modules `a droite simples.
L’appendice de l’article [Vig] ´etait destin´e dans un premier temps `a la d´emons-tration d’un certain nombre d’´equivalences de cat´egories li´ees aux modules presque-projectifs dans le cadre abstrait des cat´egories ab´eliennes. Cette recherche nous a permis de d´egager une notion plus g´en´erale que la presque-projectivit´e :
la «quasi-projectivit´e», vraiment au cœur des ´equivalences. Dans le cas d’une cat´egorie de modules sur un anneau A, un module Q est quasi-projectif lorsque pour toute surjection ν :QN, le morphisme induit ν∗:EQ= HomA(Q,Q)→HomA(Q,N) est aussi surjectif.
Un module presque-projectif est quasi-projectif et le th´eor`eme3-1est d´emontr´e dans [A9] pour tout module quasi-projectif de type fini. De plus, on donne une caract´ erisa-tion des quasi-projectifs en termes d’une ´equivalence de cat´egories significative dans la th´eorie des repr´esentations modulaires.
Th´eor`eme ([A9]). Soit Q unA-module de type finisans Q-torsion. Il y a ´equivalence entre :
a) Q est quasi-projectif.
b) HomA(Q, ) :CQModδ(EQ) est une ´equivalence de cat´egories, o`u CQ d´esigne la sous-cat´egorie pleine des A-modules sans Q-torsion, quotients de sommes directes de Q.
O`u un A-module M est dit «sans Q-torsion» lorsque HomA(Q,N)= 0 pour tout sous-module non nul N⊆M.
§4. Cours de troisi`eme cycle
Depuis l’ann´ee 1995 j’ai particip´e ou fait des cours sp´ecialis´es de troisi`eme cycle dont les notes r´edig´ees constituent le pr´epublications [A7,A10,A12,A14]. Je passe en revue le contenu de chaque cours.