Registre du tableau de variations

On peut trouver dès la classe de Seconde des tâches relatives à la constitution d’un tableau de variations d’une fonction à partir de l’expression algébrique de celle-ci. Ces tâches aboutissent en général à la représentation graphique de la fonction correspondante. Or, s’interrogeant sur la place et l’avenir du tableau de variation dans l’enseignement secondaire du concept de fonction, Jacob-Zaibak (2002) pointe dans son mémoire de DEA que, bien que présent depuis des décennies dans la pratique de l’enseignement, ce registre n’est institutionnellement reconnu qu’avec les programmes applicables à la rentrée 2000 (idem. p. 67).

Partie A, Chapitre 2 : Cadre Théorique et Méthodologie

À notre connaissance un tel registre est absent de l’enseignement des équations différentielles et nous nous sommes interrogé sur son introduction. Le tableau de variations peut posséder un rôle transitoire qui consiste à relier une équation différentielle et la représentation graphique des courbes solutions. On peut y voir les comportements des solutions, les solutions évidentes, l’isocline horizontale, les valeurs où l’équation différentielle est définie ou ne l’est pas, la stabilité des solutions etc. Ceci peut être enrichi par exemple par les valeurs où les fonctions solutions ne sont pas définies. En réalité en fonction du contrat didactique que l’on va établir, on peut décider de mettre ou ne pas mettre certains de ces éléments dans ce registre en question.

Nous nous demandons si la tâche suivante peut trouver place dans notre ingénierie : étude des variations des courbes solutions d’une équation différentielle à l’aide d’un tableau de variations. Il faut avouer que l’existence d’un tel registre dès la classe de 2nde _{et sa reconnaissance institutionnelle ne} résout pas tous les problèmes. En effet certains auteurs, Bloch (2000, p.188) par exemple, ont déjà souligné l’absence de l’institutionnalisation10 _{dans l’enseignement et la difficulté des élèves à utiliser} un tableau de variations même pour les fonctions. On peut donc penser que ceci serait plus difficile pour le cas des équations différentielles car l’utilisation de ce registre exige un codage et un décodage particulier. Pour le concept de fonction, un tableau de variation est généralement établi en trois lignes : la première ligne est affectée à la variable indépendante x, et les deux dernières lignes sont affectées à la fonction f et sa dérivée f ’.

Comment se présente (ou doit se présenter) ce registre pour le cas des équations différentielles ? Pour une équation de la forme y’=f(x, y) dépendant explicitement des deux variables x et y, la tâche relève d’une complexité technique. En effet, il faut trouver toutes les valeurs qui risquent d’affecter le signe de y’ (les isoclines horizontales par exemple) et les reporter dans la première ligne du tableau. Viennent ensuite les signes de la dérivée en fonction de ces isoclines et ce, soit en une seule ligne si lecteur est suffisamment familier, soit en plusieurs lignes. S’inscrivent ensuite en dernière ligne y, qui représente une fonction solution, et ses variations exprimées par des flèches. Il ressort de cette analyse qu’un tableau de variations peut être relativement compliqué pour une équation différentielle quelconque même du premier ordre. Beaucoup d’objets (les solutions évidentes, les isoclines, etc.) peuvent y intervenir et, gérer les signes de la dérivée et par conséquent les variations des courbes solutions peut être difficile pour un utilisateur selon son niveau cognitif. D’autant plus que certains codages « appris » lors de la constitution d’un tableau de variations pour une fonction, doivent être changées. Par exemple la règle qui consiste à « mettre x dans la case gauche de la première ligne,

et f(x) en dessous », doit changer en fonction de l’équation différentielle étudiée. Puisque pour une

équation différentielle la première ligne du tableau peut être affectée aussi bien à x et/ou à y. Par ailleurs, il se peut que, et c’est le cas pour les équations autonomes, le tableau de variations soit

10 _{Bloch constate l’absence des explicitations dans les manuels et l’enseignant se contente de dessiner un tableau}

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organisé en fonction de y et y’ et que x n’apparaisse pas du tout. Il en résulte que l’interprétation de ce registre risque de donner lieu à des confusions. En effet, si la première ligne du tableau est constituée de y, lorsque l’on étudie les variations d’une courbe solution, l’intervalle dans lequel cette courbe est définie et pour lequel les variations sont étudiées peut resté implicite.

Néanmoins pour certains cas particuliers, comme l’est l’équation différentielle y’=ay (a∈ℜ) qui fait l’objet de la classe de Terminale, la tâche n’est-elle pas jouable ? Pour cette équation différentielle, l’isocline horizontale est la droite y=0. Faisons un tableau de variations, en nous contentant du cas où

a>0 :

Tableau 1 : tableau de variations des courbes solution de y’=ay a∈ℜ+_.

Ce tableau peut alors être interprété de la manière suivante : lorsqu’une fonction solution est à valeur positive (resp. négative), elle est croissante (resp. décroissante). Mais quels sont les intervalles ? Etant donné que les fonctions solutions de y’=ay (a∈ℜ +_{) sont définies sur ℜ tout entier, on peut en} conclure que lorsqu’une fonction solution est à valeur positive (resp. négative), elle est croissante (resp. décroissante) sur ℜ. Enfin lorsqu’une fonction solution s’annule, elle s’annule sur ℜ tout entier.

D’après cette analyse il s’avère que même pour le cas des équations différentielles autonomes du premier ordre qui sont les plus simples à être traduites dans un tableau de variations, la situation peut être compliquée. Il en résulte que de telles interprétations peuvent être difficiles aux élèves qui sont privés d’une institutionnalisation d’un tableau de variations d’une fonction. Vu le statut du tableau de variations pour l’étude des fonctions et compte tenu des difficultés rencontrées lors de l’utilisation de ce registre, il faut par conséquent s’attendre à plus de difficultés pour sa transposition lors de l’enseignement des équations différentielles.

Malgré ces difficultés bien réelles, on peut s’interroger sur l’utilité d’un tel registre pour l’enseignement des équations différentielles. Nous affirmons que, en plus des fonctionnalités que fournit un tableau de variations pour l’étude d’une fonction (pour quelques fonctionnalités cf. Jacob- Zaibak (2003) par exemple), un tel registre permet à la fois de varier les tâches possibles autour de l’approche qualitative des équations différentielles et d’atténuer le poids de l’algébrique en tant que registre de départ pour une équation différentielle. En d’autres termes, on peut penser à une situation où le registre de départ est le tableau de variations des courbes d’une équation différentielle et on peut

y=0 -∞ +∞ y y - + y’

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demander de tracer le champ de tangentes, quelques courbes solutions de l’équation différentielle en question, etc. C’est la raison pour laquelle notre travail peut faire appel, du moins explicitement, à un tableau de variations.