Programme en vigueur depuis 2002

L’un des deux principaux objectifs fixés pour l’enseignement de l’analyse en TS est « l’initiation au

calcul intégral et à la problématique des équations différentielles. » D’après le programme, ces

dernières sont cruciales car elles amènent à « la compréhension de la puissance des mathématiques

pour la modélisation », mais on ajoute aussi que la synergie avec les enseignants d’autres disciplines

favorisera cet objectif.

Comme nous l’avons souligné plus haut, l’ensemble du programme représente une volonté d’une étude qualitative. Par exemple, dès la classe de seconde, les programmes prévoient l’étude de la notion de fonction sous différents aspects : « graphique, calcul, étude qualitative. » Concernant le lien entre une fonction et sa dérivée, le programme préconise les problèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première et seconde et par conséquent le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction.

Plus spécifiquement pour les équations différentielles, le programme actuel envisage une rupture avec l’enseignement classique, ainsi les équations différentielles seront servies pour l’introduction de la fonction exponentielle. Ce travail se fera en début de l’année afin d’éviter une éventuelle rupture entre les enseignements de mathématiques, de physique-chimie et de sciences de la vie et de la terre. Voici l’extrait :

Partie B, Chapitre 1 : Analyse des Programmes

Extrait 2 : extrait du programme actuel.

Plus spécifiquement sur l’enseignement des équations différentielles voici ce que dit le programme :

Équations différentielles y’ = ay+b.

On démontrera l’existence et l’unicité de la solution passant par un point donné.

On étudiera quelques problèmes où interviennent des équations différentielles se ramenant à y’ =

ay+ b.

Ce paragraphe déjà abordé lors de l’introduction de la fonction exponentielle, pourra être réparti sur l’ensemble de l’année.

On fera le lien avec l’étude de ces équations en physique ; on définira le temps caractéristique τ=-1/a pour

a<0.

Les indications utiles pour se ramener à y’ = ay+ b doivent être données.

Des solutions de l’équation

y’’+w²y=0 seront introduites en

cours de physique.

Extrait 3 : extrait du programme actuel.

Le concept d’équation différentielle naît au début de l’année avec un travail sur la fonction exponentielle. Son étude est poursuivie avec l’étude de l’équation y’=ay+b et il est demandé de faire vivre le concept régulièrement dans l’année. Il convient de noter que ce programme garde les mêmes équations différentielles que celles citées dans le projet et nous constatons une importance progressive

Contenus

Modalités de mise en oeuvre

Commentaires

Introduction de la fonction exponentielle

Etude de l’équation f ’ =kf.

Théorème : « Il existe une unique fonction f dérivable sur ℜ telle que f

‘=f et f(0)=1. »

Relation fonctionnelle caractéristique. Introduction du nombre e. Notation ex_.

Extension du théorème pour l’équation

f ’ =kf.

L’étude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que

f(x+y)= f(x) f(y).

On construira avec la méthode d’Euler introduite en première des

représentations graphiques approchées de f dans le cas k=1 ; on

comparera divers tracés obtenus avec des pas de plus en plus petits. L’unicité sera démontrée. L’existence sera admise dans un premier temps. Elle sera établie ultérieurement à l’occasion de la quadrature de l’hyperbole.

Approximation affine, au voisinage de 0 de h→ eh_.

Ce travail se fera très tôt dans l’année car il est central dans le programme de mathématiques et de physique. Il fournit un premier contact avec la notion d’équation différentielle et montre comment étudier une fonction dont on ne connaît pas une formule explicite. La méthode d’Euler fait apparaître une suite géométrique et donne l’idée que l’exponentielle est l’analogue continu de la notion de suite géométrique, ce que l’équation fonctionnelle confirme.

Partie B, Chapitre 1 : Analyse des Programmes

accordée à la modélisation, mais les démarches nécessaires pour celle-ci doivent être indiquées aux élèves avec les indications utiles.

En ce qui concerne les différents modes de résolutions, les résolutions algébrique et numérique sont retenues, alors que la résolution qualitative est complètement abandonnée. L’exemple suivant en est une preuve : dans le document d’accompagnement, il est conseillé que, lors qu’un travail de modélisation débouche sur une équation différentielle, « les élèves pourront vérifier si telle ou telle

fonction déjà connue en est solution ; sinon, ils pourront être amenés à en approcher une à l’aide de la méthode d’Euler. » L’idée donc de champ de tangentes et d’isoclines est enterrée.

Néanmoins, grâce à la méthode d’Euler, introduite au début de l’année, la prégnance de la résolution algébrique est atténuée et on insiste sur le fait qu’il est possible d’étudier une fonction dont on ne connaît pas l’expression algébrique (cf. Extrait 2).

Par ailleurs, la traduction mathématique de la modélisation mettra en jeu, d’après le document d’accompagnement des programmes, des fonctions et des relations entre ces fonctions et/ou leurs dérivées. Il est demandé par conséquent que les élèves se familiarisent avec ce type de relations dès le début de l’année scolaire. Et il est clairement souligné que l’étude des variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée fait partie de cette catégorie de problèmes.

Le théorème d’existence et d’unicité pour une équation différentielle de la forme y’=ay+b fait partie du programme avec sa démonstration et les élèves sont tenus de savoir que par un point quelconque, il passe une solution unique.

D’autre part, les nouveaux programmes mettent l’accent de plus en plus sur l’utilisation de l’informatique devenue incontournable dans l’enseignement. Cet extrait en témoigne d’ailleurs :

« L’informatique change qualitativement et quantitativement les possibilités de calculs exacts (calcul formel) ou approchés, permet des approches nouvelles de problèmes classiques et ouvre le champ à de nouveaux problèmes ; il est nécessaire de revisiter l’enseignement des mathématiques à la lumière des immenses possibilités offertes (logiciels de géométrie, de calcul formel, tableur, traceur,…) ; l’usage éclairé d’outils informatiques est donc recommandé dans chaque chapitre du programme. »

Une étude des programmes actuels met exergue que le projet a subi des changements « fondamentaux. » L’allusion faite à l’étude qualitative n’est plus évoquée. Toutefois l’esprit général de ce programme présente, nous semble-t-il, une telle ambition. Ceci compense en une partie ce qui est abandonné au sein du projet.

Partie B, Chapitre 1 : Analyse des Programmes