4 Observation des petits déplacements d’un miroir 93
5.3 Refroidissement à basse fréquence
On a vu que l’efficacité du mécanisme de friction froide décroît
rapidement quand
on s’écarte de la
fréquence
de iésonancemécanique
O1, lesapplications potentielles
d’un tel
dispositif
aux inteiféromètresgravitationnels. qu’on
étudiera auparagraphe
(5 5 3).
nécessitent d agir à desfiéquences
petites devant lafréquence
de iésonancemécanique
On va voirqu’un
tel iefroidissement bassefréquence
estpossible,
en5.3.1 Refroidissement en
régime quasi-statique
Pour une
fréquence
très inférieure à celle de la résonancemécanique.
lasuscepti-bilité d’un mode acoustique du miroir devient réelle .
On a écrit ici la
susceptibilité
d’un seul mode à bassefréquence.
Il est en faitimpératif.
pour le comportement basse
fréquence,
de tenir compte de l’ensemble des modes de vibration du résonateur. Mais on a vu auchapitre
4 que dans la limite bassefréquence.
le
comportement
d’un résonateur se ramène à celui d’un seul mode de vibration, avec unesusceptibilité égale
à la somme de toutes lessusceptibilités
bassefréquence
des différents modes.pondérées
par le recouvrement du mode avec la lumière[69]
Onpeut alors se ramener à une
équation
semblable àl’équation (5 43) .
où
Meff
est la masse effective ducouplage optomécanique (voir
la section4.2.4).
A ces
fréquences.
ledéplacement
03B4x[03A9]
est donc enphase
avec la forceappliquée.
Pour réduire le bruit
thermique.
on a donc intérêt àappliquer
une forceproportionnelle
à 03B4x
[03A9]
Si on pose :où gBF, coefficient sans dimension. est là-encore relié au gain
électronique
de laboucle,
le mouvement en
présence
de l’asservissement s’écrit .Le spectre de bruit basse
fréquence
est réduit dans laproportion 1/(1+gBF)2.
L’interpré-tation de cette diminution est immédiate on voit à partir des
équations (5.44)
et(5 46)
qu’on
a en faitaugmenté
la raideurstatique
du résonateur La force deLangevin
étantinchangée.
on diminue doncl’amplitude
du mouvementd’agitation thermique,
mêmesi on n’a pas stricto sensu modifié la
température
du miroir Ce résultat est ainsià
rapprocher
des études effectuées pour trouvei un matériau(comme
lesaphir)
auxconstantes
élastiques plus
favorables que la siliceDans cette limite basse
fréquence,
ou ledéplacement
est enphase
avec la forceappliquée,
ladynamique
du miroir ne joue aucun rôle On peut doncinterprétei
laréduction de
l’agitation thermique
à l’aide d’un raisonnementstatique
à tout instant.on modifie l’intensité du faisceau arrière pour compenser le
déplacement
instantané03B4x(t)
donné par lesignal
issu de la détectionhomodyne.
Pour03B4x(t)
> 0 parexemple
(le
miroir serapproche
du faisceauarrière).
onapplique
une forcesupérieure
à la force depression
de radiation moyenne pour ramener le miroir vers saposition d’équilibre.
et inversement pour
03B4x(t)
< 0.5.3.2
Choix de
lafréquence
etréponse mécanique
Pour réaliser cette
expérience,
il est nécessaire de seplacer
à unefréquence
suf-fisamment basse. La
figure
64piésente
un spectre de bruitthermique
pris sur uneplage
defiéquence
de 10 kHz aux environs de 800 kHz.auquel
estajouté
l’effet d’une forceappliquée
par l’intermédiane du faisceau arrière Ce spectie estpris
sansasscivissement. mais en modulant l’intensité du faisceau arrière pai l’intermédiane
d’un
générateur
hautefiéquence
On voit que le pic ne se détache que de 20 dBau-dessus du niveau de fond
thermique.
Le iappoit entie lepic
de modulation et le biuitthermique
est doncbeaucoup plus petit
à bassefréquence qu’à
iésonance. où on obtientun rapport de l’ordre de 35 dB
(voir
lesfiguies
41 et42)
Fig. 64: Spectre de bruit de pliase du faisceau réfléchi. au voisinage de 805 kHz avec 1 effet d une modulation du faisceau amèie Le spectie, représenté en dB et normalisé au bruit de photon standard, ieproduit le bruit de fond thermique à basse fiéquence
Ce résultat n’est pas
parfaitement compris
le calculthéorique prévoit
que ceiapport
doit rester du même oidre degrandeur.
et être même éventuellementplus
grand
à bassefréquence.
En effet. on peutreprendre
les calculs faits dans lechapitre
4sur la
réponse mécanique
du miroirplan-convexe
Nous avons montré quel’amplitude
a
n du mode
acoustique
Un. enprésence
d’une force extérieureFext
s’écrit(éq. 4 35)
Dans le cas où le faisceau arrière est
parfaitement adapté
au faisceau dans la cavité. c’est-à-dire s’il est centré et s’il a le même waist, sa force depression
de radiation estproportionnelle
à la structurespatiale
de l’intensitév20(r)
dans la cavité En suivant lemême raisonnement que dans le
chapitre
4. on trouve alois le spectre dudéplacement
ûauquel
est sensible le faisceau mtracavité .où
Sext [03A9]
est le spectre del’amphtude extF [03A9] /v20
de la forceengendrée
par le faisceau arrière. On voit que le rapport entre lepic
de modulation et le bruitthermique
estdirectement
égal
àSext/ST, qui
s’écritd’après
le théorèmefluctuation-dissipation (éq.
447) :
A
résonance,
Im(1/~eff[03A9]) dépend
essentiellement du mode résonnant. de masseM1,
alors
qu’à
bassefréquence.
ildépend
de la masse effectiveMeff :
Comme la masse effective est
plus petite
que la masse du modefondamental,
le rapportS
ext
/S
T
devrait êtreplus grand
à bassefréquence qu’à
résonanceOn peut
envisager
différentes raisons pourexpliquer
que l’on observeexpérimenta-lement un comportement différent
-- le calcul
théorique
suppose que le faisceau arrière estpaifaitement adapté
aufaisceau intracavité
Malgré
les nombreuxréglages
dont ondispose (baionnette
pourcentrer le faisceau
arrière,
Jeu de deux lentilles pouradapter
sonwaist),
unréglage
d’ordre élevé peuvent être mal excités du fait de leur variation
spatiale un(r) rapide
Par
contre,
l’excitation du mode fondamental lesteinchangée
tant que ledécalage
est inférieur au col dumode, qui
estlarge
dequelques
millimètres. L’efficacité de la foice depression
de radiation est donc réduite à bassefréquence ;
- étant donné leur extension
spatiale.
les modesacoustiques
d’ordre transverseélevé sont
plus
sensibles aux effets de bord sur la circonférence du résonateur. Ainsi leurscaractéristiques pourraient
être modifiées par lafaçon
dont on tient le miroir. La masse effective à bassefréquence pourrait
donc être différente de celle calculéethéoriquement ;
- enfin. une
partie
du fondthermique
à bassefiéquence
est due aucoupleur
d’entrée. alors que le faisceau arrièie n’excite évidemment que le résonateur. Il est malheureuse-ment difficile d’évaluer la part du miloli d’entrée. son niveau de bruitthermique
danscette
plage
defréquence (au
milieu d’ungiand
nombre de ses résonancesmécaniques)
dépendant
énormément des facteurs dequalité
de ces modesQuoi qu’il
en soit. l’efficacité du faisceau anière devrait êtie suffisante, à conditionde iéduire la bande passante du filtie
passe-bande
afin d’éditer la saturation de laboucle Le filtre fonctionne en fait
beaucoup
mieux aux alentours de 800 kHzqu’à
2 MHzpuisque
nous avons pu réduire sa bande passanteJusqu’à
une valeur de 70 Hz.ce qui
correspond
à un facteur dequalité
du filtreélectronique
de l’ordre de 11000Sur une
plage
defréquence
aussi étroite. on peut considérer que lasusceptibilité
mécanique
~eff est constante Par ailleurs. lafréquence
choisie de 800 kHz est située à1 MHz du premier mode acoustique du miroir soit à une distance
supérieure
à 20000 fois lalargeur
de la résonance lasusceptibilité mécanique
est alois essentiellementréelle Bien que la
fréquence
de 800 kHz semble élevée dans l’absolu. on est bien àbasse
fréquence
par rapport aux résonancesmécaniques
5.3.3
Résultats expérimentaux
Le
dispositif expérimental
est le même que celuiprésenté
auparagraphe (5 2 2),
àl’exception
du filtieélectronique
dont lafiéquence
centrale est voisine de 800 kHz et la bande passanteégale
à environ 70 HzLa
figure
65présente
les specties de bruit obtenus sans contre-réaction(courbe
a)
et enpiésence
de l’asservissement(courbe b)
On peut noter une très importanteFig. 65: Effet du refroidissement à basse fréquence La
figure
présente le spectre de bruit thermiqueen 1 absence de contre-réaction
(courbe
a) et celur obtenu avec la boucle d’asservissement fermée(courbe b)
Les spectres sont représentés en dB et normalisés au bruit de photon standard La courbeen pointillés est un ajustement de cette courbe d’après l’équation
(5.54).
La
dépendance
de la réduction de bruit avec lafréquence
peut secomprendre
théoriquement
en tenant compte dufiltrage
dusignal
par le filtrepasse-bande.
Legain
global
gBF de la boucle s’écrit en effet .où g0 est le
gain
à lafréquence
centrale03A9C
dufiltre,
et03A9F
la bande passante. En combmant leséquations (5 46)
et(5 52),
on obtient :La courbe en
pointillés
sur le spectreprésente
la réduction de bruit attendueR
BF [03A9]2.
Il faut noter que le seulparamètre ajustable
de cette courbe est la réduction de bruit au centre dufiltre,
la bande passante et lafréquence
centrale du filtreélectroni-que
ayant
été mesuréesindépendamment.
L’accord avec la courbeexpérimentale
estainsi extrêmement satisfaisant. Les
légères augmentations
observées depart
et d’autre du creux de la courbe de bruit sont certainement dues à desdéphasages
incontrôlés de la boucle d’asservissement.La réduction maximale obtenue à la
fréquence
centrale du filtre est de l’ordre deR
BF
= 10. Celacorrespond
à une réduction par un facteur 100 de lapuissance
de bruitthermique
du miroir.5.4
Reproduction de l’article "Cooling of a mirror by radiation
pressure"
L’article qui suit est
reproduit
de la référencePhys
Rev Lett. 83. 3174(1999).
Ilprésente
l’ensemble de nos résultatsexpérimentaux
surl’expérience
de refroidissementVOLUME 83, NUMBER 16 PHYSICAL REVIEW LETTERS 18 OCTOBER 1999
Cooling of
a Mirrorby
Radiation PressureP F Cohadon,* A Herdmann ~ and M Pinard~
Laboratoire Kastler Brossel,§Case 74, 4 place Jussieu F75252 Paris Cedex 05 France
(Recerved 30 March 1999, revised manuscript received 24 June 1999)
We descnbe an expenment in which a mirror is cooled b) the radiation pressure of light A high
finesse optical cavity with a mirror coated on a mechanical resonator is used as an optomechanical
sensor of the Brownian motion of the mirror A feedback mechanism controls this motion via the radiation pressure of a laser beam reflected on the mirror We have observed either a cooling or a
heating of the mirror, depending on the gain of the feedback loop PACS numbers 42 50 Lc 04 80 Nn 05 40 Jc
Thermal noise is a basic limit for many very
sen-sitive optical measurements such as interferometric
gravitational-wave detection [1-3] Brownian motion of
suspended mirrors can be decomposed into suspension and internal thermal noises The latter is due to thermally
induced deformations of the mirror surface and constitutes
the major limitation of gravitational-wave detectors in the
intermediate frequency domain [4,5] Observation and control of this noise have thus become an important issue
in precision measurements [6-8] In order to reduce thermal noise eftects, it is not always possible to lower the temperature and other techniques have been proposed,
such as feedback control [9]
In this Letter we report the first experimental observation
of the cooling of a mirror by feedback control The
prin-ciple ot the experiment is to detect the Brownian motion
of the mirror with an optomechanical sensor and then to
freeze the motion by applying an electronically controlled radiation pressure on the mirror Mechanical effects of
light on macroscopic objects have already been observed,
such as the dissipative effects of electromagnetic radiation
[10], the optical bistability and mirror confinement in a
cavity induced by radiation pressure [11], or the regulation
of the mechanical response of a microcantilever by
feed-back via the photothermal force [12] In our expenment
the radiation pressure is driven by the feedback loop in
such a way that a viscous force is applied to the mirror
It thus plays a role somewhat similar to the one in optical
molasses for atoms
The cooling mechanism can be understood from the
experimental setup shown in Fig 1 The mirror is used as
the rear mirror of a single-ended Fabry-Pérot cavity The
phase of the field reflected by the cavity is very sensitive
to changes in the cavity length [13-15] For a resonant cavity, a displacement 03B4x of the rear mirror induces a
phase shift 03B4~x of the reflected field on the order of
where F is the cavity finesse and 03BB is the optical wavelength This signal is superimposed to the quantum
phase
noise
of the reflected beam Provided that the cavity finesse is high enough. this quantum noise is3174 0031-9007/99/83(16)/3174(4)$15 00
negligible and the Brownian motion of the mirror can be detected by measuring the phase of the reflected field [15]
To cool the mirror we use an auxiliary laser beam reflected from the back on the mirror This beam is
intensity modulated by an acousto-optic modulator driven
by the feedback loop so that a modulated radiation pressure is applied to the mirror The resulting motion can
be descnbed by its Fourier transform 03B403BB[03A9] at frequency
03A9 which is proportional to the applied forces
where ~[03A9] is the mechanical susceptibility of the mirror
If we assume that the mechanical response is harmonic,
this susceptibility has a Lorentzian shape
characterized by a mass M, a resonance frequency 03A9M,
and a damping 0393 related to the quality factor Q of the mechanical resonance by 0393 =
03A9 M /Q
The force FT in Eq (2) is a Langevin force responsible
for the Brownian motion of the mirror At thermal equi-librium its spectrum SFT[03A9] is related to the mechanical
FIG 1 Experimental setup The Brownian motion of the
mirror is detected with a high-finesse cavity A frequency
(F stab) and intensity (1 stab) stibilized light beam is sent into the cavity, and the phase of the reflected field is measured
by homodyne detection This signal is fed back to the mirror
via the radiation pressure exerted by a beam with modulated intensity (AOM)