Chapitre III Cartographie de champ magnétique
III.3 Reconstruction vectorielle du champ magnétique
III.3.1 Détermination du signe des projections du champ
magnétique
On souhaite à présent connaître le champ magnétique dans le référentiel du laboratoire. Le diamant est coupé selon les plans cristallographiques de type –100— (cf.
Chap. II (§ II.1.2.4). Les axes Þ, ß, ¥) sont alors définis comme sur la Figure III.4.b. Les arêtes du diamant macroscopique suivent exactement les axes de la maille cristallographique. Soit çäääà le vecteur unitaire dans la direction æ), æ) pouvant être Þ), 4
ß)et ¥), mais également les axes de symétrie du diamant Í), ·), O) et I). On a alors, selon la Figure III.4.b :
çääääà = √3 á3 −1−1 −1âg,•,ã) çò ääääà = √3 á3 11 −1âg,•,ã) çR ääääà = √3 á3 −11 1 âg,•,ã) çääääà = √3 á3 −11 1 âg,•,ã) (III.9)
Les axes Þ), ß)et ¥) sont définis par rapport à Í), ·), O) et I), lesquels sont choisis de manière arbitraire (cf. Éq. (III.6)). La base Þ, ß, ¥) n’est donc pas entièrement définie à ce stade. Par exemple, elle n’est pas forcément directe. Pour le moment, on sait seulement que Þ) ß) et ¥) suivent chacun l’une des directions 100), c’est-à-dire l’une des arrêtes de l’échantillon de diamant (cf. Fig. III.1).
Du fait de la symétrie centrale du diamant, on a :
III.3 Reconstruction vectorielle du champ magnétique
Figure III.6 : Illustration des étapes de la reconstruction vectorielle du champ magnétique de référence.
a) Image de photoluminescence d’une couche de centres NV à une fréquence donnée (à gauche). Les données brutes sont composées d’un spectre ODMR (à droite) complet pour chaque pixel.
b) Mesure des projections du champ magnétiques sur les quatre directions cristallographiques du diamant (Í), (·), (O) et (I), calculées en chaque pixel par l’algorithme d’ajustement de lorentziennes (cf.
§ III.2).
c) Reconstruction du champ magnétique selon les axes du laboratoire (Þ), (ß) et (¥) (cf. Fig. III.4) et de sa norme, à partir de la méthode de maximum de vraisemblance (cf. § III.3).
Chapitre III
Cartographie de champ magnétique
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Soit ‚äà le champ magnétique que l’on cherche à mesurer. Soit ‚ la projection de ce champ sur la direction æ : ‚ = ‚äà ⋅ çäääà. On a alors ‚äà = í4 ‚‚•g
‚ã
î
(g,•,ã)
dans la mesure où (çääääà, çg ääääà, ç• ääääà) est une base orthonormée. Il s’agit des valeurs des projections de ‚äà que l’on ã
mesurerait si le système était parfaitement exempt de bruit. Par ailleurs, on a :
‚ = √3 § ‚3 g ‚• ‚㨠‚ò= √3 §‚3 g+ ‚• ‚㨠‚ = √3 §‚3 g ‚•+ ‚㨠‚R = √3 §−‚3 g+ ‚•+ ‚ã¨.
(III.11)
En effectuant le produit scalaire de l’Equation (III.10) par ‚äà, on obtient :
‚ + ‚ò+ ‚R+ ‚ = 0, (III.12)
et, selon la convention de l’Equation (III.6), on a :
|‚ | < |‚ò| < |‚R| < |‚ |. (III.13) On note w , wò, wR et w les mesures des ‚ que l’on cherche à déterminer à partir des données. Leur valeur absolue est imposée par la mesure de l’effet Zeeman, selon l’équation rappelée ici (cf. Chap. I § I.4) :
~±= ~ ±•€ℎ ⋅ ‚• ƒ„
†~ = ~…− ~! = 2 ⋅•€ℎ ⋅ ‚• ƒ„, (III.14) Leurs signes respectifs restent indéterminés, du fait que l’on ne mesure qu’une distance : w = ±5-Ø
‰Šø. Il nous faut donc déterminer les signes des w (ou des ‚ ). Si l’on admet que l’on ne peut distinguer un champ magnétique de son opposé, on peut prendre par convention : ‚ > 0. Il ne reste à déterminer que les signes relatifs des autres ‚ .
Supposons wR > 0. Dans ce cas, la plus petite quantité que l’on puisse former est :
−D~ − †~ò+ †~R+ †~ . (III.15)
Comme †~ò− †~ > 0 et †~ − †~R > 0, cette quantité est toujours strictement positive et ne peut satisfaire l’Équation (III.12). De cette manière, on a wR = −†~R < 0.
Supposons wò > 0. La plus petite quantité que l’on puisse former est :
−D~ + †~ò− †~R+ †~ . (III.16)
De même, selon l’Équation (III.13), cette quantité est strictement positive et ne peut satisfaire l’Équation (III.12). De cette manière, on a w = −†~ < 0.
De cette manière, seul le signe de ‚ , noté Á, est libre. En l’absence de bruit, on connaîtrait parfaitement les valeurs signées des ‚ pour æ = Í … O, et ‚ se déduirait de
III.3 Reconstruction vectorielle du champ magnétique
l’Équation (III.12). En présence de bruit, le signe de ‚ est déterminé en minimisant la quantité :
|±D~ + †~ò− †~R+ †~ |. (III.17)
Ce qui ne laisse généralement aucune ambiguïté.
III.3.2 Maximum de vraisemblance
La mesure expérimentale est entâchée de bruit. En l’absence d’information supplémentaire, ce bruit est supposé être gaussienet de variance KU, et identique sur les quatre projections de mesure. Les origines de ce bruit seront discutées Paragraphe III.4.1. Soit Ä = ħw ï‚äਠla probabilité de mesurer w sur la projection æ sachant ‚äà :
Ä = © ⋅ exp ¿−(‚ − w )U
2KU À, (III.18)
où © est un facteur de normalisation, de sorte que 7û…8Ø+!8Ä = 1.
Ainsi, la probabilité Ä = ħw , wò, wR, w ï‚äਠde mesurer w , wò, wR, et w , connaissant ‚äà, s’écrit : Ä = 9 Ä + ,ò,R, Ä = ©‡exp á ' (‚ − w )U 2KU + ,ò,R, â. (III.19)
Selon le théorème de Bayes, on peut inverser cette probabilité et l’interpréter comme la vraisemblance que le champ réel soit égal à ‚äà, sachant que l’on a effectivement mesuré w , wò, wR et w :
Ä(‚äà| w , wò, wR, w ) ∝ ħw , wò, wR, w ï‚äà¨. (III.20) De cette manière, la valeur de ‚äà correspondant au maximum de vraisemblance, connaissant les mesures w , se calcule en maximisant l’argument de l’exponentiel en fonction de ‚äà, c'est-à-dire en recherchant les zéros de ses dérivées partielles par rapport aux trois composantes du champ ‚g, ‚• et ‚ã. Si on note Û cet argument, on a :
Û = ' (‚ − w )U
2KU + ,ò,R,
, (III.21)
que l’on développe comme suit, pour faire apparaître les ‚g‚• et ‚ã : Û =2K1U;¿√3 §−‚3 g− ‚•− ‚㨠− w À U + ¿√3 §‚3 g+ ‚•− ‚㨠− wòÀ U + ¿√3 §−‚3 g+ ‚• + ‚ã¨−wRÀ + ¿√3 §‚3 g− ‚•+ ‚㨠− w À U <. (III.22)
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78 =Û =‚g ∝ 2¦−§−‚g− ‚•− ‚ã− w ¨ + §‚g+ ‚•− ‚ã− wò¨ − §−‚g+ ‚•+ ‚ã−wR¨ + §‚g− ‚•+ ‚ã− w ¨ª =Û =‚g ∝ 4 √3 ‚3 g+ w − wò+ wR − w . (III.23)
‚g est obtenue en annulant cette dérivée partielle : >•> = 0 ; ‚• et ‚ã sont obtenues de manière analogue :
‚g = √4 (−w + w3 ò− wR+ w ) ‚• = √4 (−w + w3 ò+ wR− w ) ‚ã = √4 (−w − w3 ò+ wR+ w ).
(III.24)
Ces formules présentent l’avantage d’être symétriques pour les quatre composantes (Í) (·), (O) et (I). Elles utilisent la redondance de la mesure sur ces quatre axes. Cela se traduit par un gain sensible sur la sensibilité de la mesure (cf. § III.4.1).
Dans le cas où la valeur de l’un des †~ (par exemple †~ ) n’est pas disponible24, un calcul similaire partant de l’Equation (III.22), où l’on a retiré le terme en (Í), donne :
‚g = √2 (w3 ò+ w ) ‚• = √2 (w3 ò+ wR) ‚ã = √2 (w3 R+ w ).
(III.25)
Ce résultat se retrouve simplement à partir de l’Équation (III.24) en écrivant mb = −m?− m@− mA (cf. Éq. (III.12)). Cependant, la démonstration qu’il s’agit bien des meilleurs estimateurs du champ réel est plus complexe que précédemment, du fait de la perte de la symétrie du problème. Les quatre directions ne jouent plus des rôles équivalents, et les équations données par l’annulation des dérivées partielles >•>
Ø= 0 pour æ = Þ, ß, ¥ restent couplées.
Le résultat, c'est-à-dire la cartographie du champ magnétique créé par notre configuration de référence dans la base du laboratoire, est donné Figure III.6 (c & d). Dans ce cas, on connaît, à priori, la forme que doit prendre le champ magnétique. On est donc en mesure de déterminer les incertitudes qui demeurent sur les axes de la base. Dans un cas général, sans connaissance à priori de la direction du champ magnétique que l’on souhaite étudier, la levée des indéterminations peut se faire par l’ajout d’un
24D~ peut être trop petit, de sorte que l’on ne distingue pas l’effet du champ magnétique du zero field