Il sera d’abord expliqu´e le principe du maximum de vraisemblance utilis´e ici. La recons- truction d’un ´ev´enement sera ensuite suivie pas-`a-pas afin d’illustrer l’algorithme.
4.5.1 Principes :
Avantages :
La m´ethode d´evelopp´ee dans ce chapitre utilise des fonctions de densit´e de probabilit´e (les PDF) d’une observable de GLAST. L’id´ee par rapport `a d’autres m´ethodes est de s’appuyer sur la simulation, ce dans le but de d´ecrire avec pr´ecision les PDF en jeu. La simulation inclut tant la physique, par l’utilisation de GEANT4, que les plus importants effets du d´etecteur. Elle mod´elise aussi la reconstruction, les imperfections qui lui sont li´ees. L’avantage d’une telle m´ethode est de prendre implicitement en compte les particularit´es du d´etecteur ou les effets de bord de la reconstruction, difficilement mod´elisables analytiquement. Un autre avantage repose sur le fait que la reconstruction se base non sur des valeurs moyennes mais sur la forme des distributions des observables en jeu. En particulier, les corr´elations peuvent ˆetre calcul´ees entre valeurs les plus probables, malgr´e tout corrig´ees selon les asym´etries des distributions. Ces possibilit´es sont offertes par la simulation mais leur utilisation d´epend de la calibration de la m´ethode, pr´esent´ee en sous-section 4.3. Plus pr´ecis´ement, l’optimisation exploite cette possibilit´e ce qui n’est pas le cas de la cr´eation de classes.
4.5. RECONSTRUCTION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE 121 Les PDF :
Les PDF dans cette reconstruction sont d´efinies grˆace aux distributions de l’observable XL (´equation 4.10). Chacune des distributions correspond `a la densit´e de probabilit´e de XL, sachant l’´energie Eγ, l’angle d’incidence θ, ainsi que l’appartenance de l’´ev´enement `a une sous- division donn´ee Popχ de l’espace de phase du LAT. Ces distributions sont affect´ees du poids correspondant `a la fraction des ´ev´enements simul´es `a Eγ et θ donn´es appartenant `a Popχ. Les PDF sont donc :
P DF () = P (XL| ´ev´enement ∈ P opχ& Eγ& θ) (4.17) On pourrait chercher `a maximiser cette probabilit´e. La m´ethode correspond alors `a un maxi- mum de vraisemblance. Il est aussi possible de calculer la probabilit´e :
P ( ˜Eγ | ´ev´enement ∈ P opχ& ˜θ & XL) ∝ P (XL| ´ev´enement ∈ P opχ& Eγ& θ)Pprior( ˜Eγ) (4.18) On a ici l’´energie reconstruite ˜Eγ et l’angle d’incidence reconstruit ˜θ. La m´ethode correspond alors `a une estimation bayesienne de l’´energie. Lorsque la probabilit´e a priori est ici choisie comme constante, alors estimation bayesienne et maximum de vraisemblance sont une seule et mˆeme chose. C’est ce que l’on fait dans cette ´etude, n´eanmoins il pourrait ˆetre int´eressant d’utiliser plutˆot une probabilit´e a priori de la forme ∝ ˜E−2
γ qui serait plus en ad´equation avec le spectre attendu des sources.
L’´energie est ici le seul param`etre libre de la probabilit´e. Trouver le pic de la distribution est donc chose ais´ee. Il est possible de calculer sa FWHM (4.18) ce qui donne une estimation de l’incertitude. En effet, la probabilit´e (4.18) est ajustable `a une fonction log-normale dont le FWHM correspond `a un facteur pr`es `a son param`etre de largeur (voir annexe ??). Or une variable al´eatoire X suit une loi de probabilit´e log-normale si la variable log X suit une loi normale de mˆeme largeur. Un intervalle de confiance `a 68% est alors [µ − σ, µ + σ], o`u µ et σ sont le MPV et la largeur de la fonction log-normale (et donc de la loi normale). On d´enomme intervalle de confiance `a 68% un intervalle pour la variable X tel que, pour chaque ´ev´enement, il y ait 68 % de chances que la valeur de X pour celui-ci s’y retrouve. Dans notre cas, l’intervalle de confiance permet d’affirmer que 68 % des ´ev´enements γ avec une mesure XL (un angle ˜θ, ...) ont une ´energie Eγ `a l’int´erieur de l’intervalle. La FWHM, proportionnelle `a sa largeur, informe donc sur l’´ecart typique | ˜Eγ− Eγ| de la reconstruction dans une configuration particuli`ere (valeur de XL, ˜θ, ...). Elle nous informe donc sur la pr´ecision de la reconstruction.
4.5.2 L’algorithme
Crit`eres de s´election des PDF `a calculer :
La sous-section 4.4 a montr´e le nombre de PDF cr´e´ees, chacune avec un domaine d´efini de l’espace de phase du LAT. Il ne fut pas possible de cr´eer une seule PDF globale. Un certain nombre de PDF peuvent `a la fois ˆetre ´eligibles pour un mˆeme ´ev´enement. De plus, les crit`eres de d´efinition des domaines peuvent d´ependre de l’´energie reconstruite. Il est donc a priori impossible de d´eterminer d`es le premier abord les PDF acceptables. Un certain nombre de crit`eres de s´election s’appliquent pourtant :
1. Les PDF sont cr´e´ees pour des intervalles de ˜Zγ donn´es. Une PDF est rejet´ee lorsque la valeur de ˜Zγ ne se conforme pas cet intervalle.
2. Les PDF sont d´efinies pour un intervalle donn´e de θ. On rej`ete celles pour lesquelles ˜θ ne correspond pas.
3. Les PDF sont d´efinies pour un intervalle d’´energie [E1
γ, Eγ2] donn´e. Les PDF sont rejet´ees pour Qγ > Eγ2. Les PDF des classes hautes ´energies sont aussi rejet´ees si Qγ < 0.8Eγ1.
122 CHAPITRE 4. RECONSTRUCTION EN ´ENERGIE Energy (MeV) 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 Probability 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -3 10 × Fig. 4.26 – PDF « basses ´energies » passant les cinq cri- t`eres, le 4 except´e. Energy (MeV) 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 Probability 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -3 10 × Fig. 4.27 – PDF « hautes ´energies, incidences hautes » passant les cinq crit`eres, le 4 except´e. Energy (MeV) 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Probability 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -3 10 × Fig. 4.28 – PDF « hautes ´energies, incidences basses » passant les cinq crit`eres.
4. Les PDF « basses ´energies » ou « hautes ´energies, incidences hautes » sont cr´e´ees pour un intervalles sur CLE donn´e ind´ependant de l’´energie reconstruite. Les PDF sont rejet´ees en cons´equence.
5. Apr`es calculs, l’´energie retourn´ee peut fort bien ˆetre inf´erieure `a la valeur de Qγ. Dans un tel cas, la PDF est finalement rejet´ee.
Choix de la meilleure PDF :
Les calculs sont effectu´es sur toutes les PDF passant les trois premiers crit`eres. On peut ensuite v´erifier pour celles appartenant `a l’ensemble « hautes ´energies incidences basses », que l’´ev´enement passe les s´elections sur Dcracks, ZCAL et q7. La PDF parmi toutes celles restantes estimant la plus grande probabilit´e est alors choisie. Il peut arriver que seules des PDF « hautes ´energies, incidences basses » soient calcul´ees et pourtant qu’aucune ne passe les s´elections. Dans ce cas, la PDF parmi celles-ci ayant la plus grande probabilit´e est malgr´e tout choisie.
Exemple :
Consid´erons donc un photon avec : – Eγ = 1.5 GeV
– θ = ˜θ = 24◦
– ˜Zγ = 420. mm (C’est une couche mince). – Qγ = 1.2 GeV = 0.8 ∗ Eγ – q7= .09 GeV = 0.06 ∗ Eγ – HTKR = 148 – ZCAL= −128 mm – Dcracks= 140 mm – CLE = 0.8
Ce photon se qualifie pour les trois ensembles majeurs, crit`eres 3 et 2 sur Qγ et ˜θ res- pectivement, soit 192 PDF. Parmi elles uniquement 12 se qualifient selon le crit`ere 1 sur ˜Zγ. Six d’entre elles ne passent pas le crit`ere 4 et ne sont pas non plus calcul´ees. Les PDF pas- sant les cinq crit`eres sont reconstruites et rapport´ees sur les figures 4.28, 4.26 et 4.27, pour les « hautes ´energies, basses incidence », « basses ´energies » et « hautes ´energies, incidences
4.6. ETUDE DES PERFORMANCES 123