Le profil des gerbes

La reconstruction a comme information de base l’´energie d´epos´ee dans les cristaux. Nous nous attacherons donc ici `a d´ecrire la distribution des d´epˆots d’´energie des gerbes ´electroma- gn´etiques.

La description des gerbes donn´ee ici s’appuie sur celle faite par Grindhammer et Peters [53]. Les gerbes sont d´ecrites en coordonn´ees cylindriques (Ur, Uϕ, Uz), comme indiqu´e sur la figure 4.4. L’origine est plac´ee au d´epart de la gerbe, c’est-`a-dire au point de conversion en ´electrons du photon initial. L’axe z est donn´e par la direction initiale du photon. r est la distance `a l’axe. On d´ecrit les d´epˆots d’´energie moyens en d´ecouplant les variables de la fa¸con suivante :

< dE(z, r) Eγ

94 CHAPITRE 4. RECONSTRUCTION EN ´ENERGIE f est la densit´e d’´energie d´epos´ee en moyenne dans une tranche [z, z + dz]. On la nommera densit´e d’´energie longitudinale moyenne. g(z, r) est la fraction moyenne de la densit´e f (z) d´epos´ee dans une section [r, r + dr] du plan d’altitude z.

Le d´epˆot < dE > ne d´epend pas de ϕ. Cette sym´etrie de r´evolution est valable car on s’int´e- resse `a la distribution moyenne des d´epˆots d’´energie. Notons qu’un ´ev´enement individuel peut s’´eloigner tr`es fortement d’une telle sym´etrie. C’est le cas de l’´ev´enement `a 100 MeV pr´esent´e sur la figure 4.1. A cette ´energie, gu`ere plus d’une demi-dizaine de paires e+e− _{sont cr´e´ees. De} plus leur trajectoire est fortement soumise `a la diffusion multiple (voir sous-section 3.1.2), ce qui contribue `a briser la sym´etrie de r´evolution. C’est d´ej`a moins le cas `a 500 MeV. Au-dessus de 5 GeV, les d´epˆots pour chaque ´ev´enements deviennent suffisamment proches des valeurs moyennes pour qu’une m´ethode de reconstruction individuelle des ´ev´enements puisse se baser sur un ajustement des donn´ees `a ces derni`eres [22].

Les formes analytiques des fonctions f et g utilis´ees ici et les fluctuations par rapport `a celles-ci correspondent `a celles donn´ees par Grindhammer et Peters. Elles furent v´erifi´ees dans le cadre de simulation Monte-Carlo utilis´ee par GLAST `a plusieurs reprises, par R. Terrier [98] pour GEANT3, par P. Bruel [22] pour GEANT4.

Le profil longitudinal

Longo et Sestili [38] propos`erent d’utiliser la distribution Gamma pour d´ecrire le profil longitudinal moyen des cascades. La distribution des d´epˆots d’´energie dans une tranche z s’´ecrit :

f (z) = FΓ(z) = (βz)

α−1_{β exp(−βz)}

Γ(α) (4.4)

Avec :

– β est un param`etre d’´echelle. – α est un param`etre de forme.

– z est la profondeur dans la gerbe, en X0, c’est-`a-dire la distance au premier point de cr´eation de paire projet´ee sur l’axe donnant la direction du photon.

La figure 4.2 illustre les distributions moyennes. Les param`etres α et β peuvent s’exprimer en fonction du centre de gravit´e Xc et du maximum XT de la distribution. La variation logarithmique en fonction de l’´energie de ces deux termes est tr`es usit´ee par les m´ethodes de reconstruction. Le logarithme dans ces variations provient simplement du fait que la cascade se d´eveloppe en multipliant son nombre d’´electrons. Cette multiplication s’arrˆete lorsque les pertes par ionisation deviennent pr´epond´erantes. Les formules sont :

Xc= α β (4.5a) XT = α − 1 β (4.5b) XT ∼ log E Ec (4.5c) α = 2.496 + 0.517 log  E 1 GeV  (4.6a) β = 0.44 + 0.00126 log  E 1 GeV  (4.6b) Les param`etres Xc et XT sont ici exprim´es en X0. Les param´etrisations de α et β donn´ees ici sont trouv´ees `a partir de la simulation de l’instrument. Il en existe de plus g´en´erales en fonction de la nature des mat´eriaux travers´es [53].

4.1. PHYSIQUE DES GERBES ´ELECTROMAGN ´ETIQUES 95 Dans le cadre de la reconstruction, il faut encore comprendre les fluctuations autour du profil moyen f (z) qui ont un poids consid´erable sur la r´esolution minimale en ´energie attei- gnable par le calorim`etre. Les fluctuations sur les param`etres log(α) et log(XT) sont corr´el´ees, mais mod´elisables par une double gaussienne [22] dont les largeurs et moyennes varient selon log(E).

Individuellement, chaque gerbe ne pr´esente pas toujours un profil en FΓ. Des fluctuations ont lieu qui, localement, ne s’ajustent pas `a ce profil. L’amplitude de l’´ecart `a un profil moyen est fonction de la profondeur z. Les amplitudes sont plus importantes avant le maximum XT qu’apr`es [22]. En effet, la population d’´electrons n’augmente plus `a partir de XT. Qui plus est, l’´energie totale de cette population est r´epartie de fa¸con homog`ene. Elle est de l’ordre de Ec (Ec= 30 MeV dans le CsI) au niveau de XT. En amont de XT au contraire, la population d’´electrons est en expansion. Leur ´energie varie donc approximativement d’un facteur deux suivant leur rang de cr´eation dans la cascade. On consid`ere que les fluctuations ne sont pas autre chose que de petites gerbes. Ces fluctuations s’expriment alors `a l’aide d’une distribution Gamma. Leurs param`etres α0_{et β}0_{sont en fonction uniquement de l’amplitude a de la variation} stochastique dans la r´esolution calorim´etrique (voir ´equation 1.3) :

α0= dE(z) a2 β0= 1

a2

(4.7)

Le profil lat´eral

Une param´etrisation propos´ee par Grindhammer [54] distingue deux parties dans le profil lat´eral moyen. L’un est le cœur de la gerbe, l’autre l’enveloppe :

g(r, z) = ρ 2rRc (r2_{+ R}2 c)2 + (1 − ρ) 2rRe (r2_{+ R}2 e)2 (4.8) avec :

– 0 < ρ < 1 le poids relatif du cœur par rapport `a la queue. – Rc l’extension du cœur.

– Re l’extension de l’enveloppe.

Ces trois termes d´ependent non pas de la profondeur z mais du rapport _Xz

T. L’extension Rc du cœur est lin´eaire par rapport `a celle-ci, alors que Reest minimale en 1 mais varie du simple au double entre cette valeur et 0.5 ou 3 [53].

Les fluctuations autour de cette distribution ne se d´ecrivent pas simplement car elles sont fortement d´ependantes des fluctuations longitudinales. Une caract´erisation est propo- s´ee dans [53]. En tout ´etat de cause, les effets imputables `a la g´eom´etrie de GLAST sont tels que ces fluctuations paraissent d’une importance moindre.

Une figure utile dans la calorim´etrie est le rayon de Moli`ere RM. Dans ce rayon autour de l’axe de la gerbe se d´epose en moyenne 90% de l’´energie du photon. Le rayon de Moli`ere permet donc de d´eterminer l’importance potentielle des fuites lat´erales. Dans le CsI(Tl) on a RM ∼ 38 mm.