reconstruction avec l’indicateur SPE et la m´ethode OSR 83 3.4.2Projection des observations dans l’espace principal

Analyse des propri´et´es du mod`ele en terme

de localisation

Sommaire

3.1 Introduction . . . . 61

3.2 Faiblesse de la localisation de d´efauts par calcul des

contri-butions. . . . 64

3.3 Approche par structuration des r´esidus . . . . 66

3.3.1 La structuration des r´esidus . . . . 67

3.3.2 Approche de structuration des r´esidus en maximisant les

sensi-bilit´es aux d´efauts . . . . 69

3.3.3 R´esidu structur´e de mani`ere optimale (OSR) . . . . 71

3.3.4 Exemple. . . . 72

3.4 Principe de reconstruction . . . . 76

3.4.1 Projection des observations dans l’espace r´esiduel . . . . 78

3.4.1.1 Structuration des r´esidus par le principe de

reconstruc-tion de l’indice SPE . . . . 78

3.4.1.2 Structuration des r´esidus par le principe de

reconstruc-tion de l’indice SWE. . . . 80

3.4.1.3 Exemple . . . . 81

3.4.1.4 Comparaison des performances de localisation entre la

reconstruction avec l’indicateur SPE et la m´ethode OSR 83

3.4.2 Projection des observations dans l’espace principal . . . . 84

3.4.3 Projection des observations dans l’ensemble de l’espace . . . . 84

3.4.3.1 Structuration des r´esidus par le principe de

reconstruc-tion de l’indice combin´e . . . . 85

3.4.3.2 Structuration des r´esidus par le principe de

reconstruc-tion de la distance de Mahalanobis. . . . 85

3.4.3.3 Exemple . . . . 86

3.5 Strat´egie de localisation des d´efauts . . . . 89

3.5.1 M´ethodes utilisant la projection dans l’espace r´esiduel . . . . . 89

3.5.2 M´ethodes utilisant la projection dans l’espace principal . . . . 90

3.5.3 M´ethodes utilisant la projection dans l’ensemble de l’espace . . 92

3.6 Exemple de synth`ese . . . . 93

3.6.1 G´en´erations des donn´ees . . . . 93

3.6.2 Analyse des d´efauts `a explorer . . . . 93

3.6.2.1 Localisation des d´efauts dans l’espace r´esiduel . . . . 93

3.6.2.2 Localisation des d´efauts dans l’espace principal. . . . 94

3.6.2.3 Localisation des d´efauts dans l’espace global . . . . . 95

3.6.3 Localisation des d´efauts . . . . 95

3.6.3.1 Dans l’espace r´esiduel . . . . 96

3.6.3.2 Dans l’espace principal . . . . 96

3.6.3.3 Dans l’espace global . . . . 97

3.1 Introduction

Lorsqu’un d´efaut est d´etect´e, il est ensuite n´ecessaire d’identifier la ou les variables qui

sont en cause : cette phase est nomm´ee localisation de d´efauts.

De fa¸con g´en´erale, on construit en premier lieu un ensemble de r´esidus qui d´ependent

a priori de tous les d´efauts. Ces r´esidus sont appel´es r´esidus primaires. A partir de ces

r´esidus primaires, on forme ensuite des r´esidus structur´es plus “´evolu´es” en rendant les

r´esidus primaires insensibles `a certains d´efauts (Gertler et al., 1999). En effet, ces

nou-veaux r´esidus sont construits de fa¸con `a ˆetre affect´es par un sous-ensemble particulier de

d´efauts et `a ˆetre insensibles aux autres d´efauts. Ainsi, par conception, pour un d´efaut

donn´e, seule une partie des r´esidus r´eagit, c’est-`a-dire s’´ecarte notablement de la valeur

z´ero, pour indiquer la pr´esence de ce d´efaut. La conception de tels r´esidus structur´es passe

par deux ´etapes. Tout d’abord, il est n´ecessaire de d´efinir les sensibilit´es ou insensibilit´es

d´esir´ees des r´esidus par rapport aux d´efauts `a d´etecter ou `a ne pas d´etecter. Puis, selon

ces contraintes, il faut concevoir le g´en´erateur de r´esidus appropri´e. Un exemple de table

de signatures th´eoriques est explicit´e sur le tableau 3.1. Chaque colonne correspond `a un

d´efaut (δ

1

, δ

2

, δ

3

, δ

4

) et chaque ligne `a un r´esidu (r

1

, r

2

, r

3

, r

4

), la valeur “1” `a

l’inter-section signifie que le r´esidu est sensible aux d´efauts alors que la pr´esence de “0” signifie

qu’il y est insensible. Une fois la table des signatures th´eoriques construite, on applique

`a chaque r´esidu une proc´edure de d´etection afin d’obtenir la signature exp´erimentale des

r´esidus `a chaque instant. Si cette signature exp´erimentale est nulle, alors le syst`eme est

exempt de tout d´efaut et est donc d´eclar´e sain. Lorsqu’intervient un d´efaut, au moins un

des r´esidus g´en´er´es est sensible `a ce d´efaut et la signature exp´erimentale devient alors

non nulle. La proc´edure de localisation consiste ensuite `a faire la correspondance entre la

signature exp´erimentale obtenue et les signatures pr´esentes dans la table des signatures

th´eoriques. En effet, le d´efaut est localis´e si la distance entre les signatures th´eoriques et

exp´erimentales est nulle.

D´efauts

δ

₁

δ

₂

δ

₃

δ

₄

r

1

1 1 0 0

r

₂

1 1 1 0

r

3

1 1 0 1

r

4

0 0 1 1

D´efauts

δ

₁

δ

₂

δ

₃

δ

₄

r

1

1 1 0 0

r

₂

1 0 1 0

r

3

1 1 0 0

r

4

0 0 1 1

D´efauts

δ

₁

δ

₂

δ

₃

δ

₄

r

1

1 1 0 0

r

₂

1 0 1 0

r

3

0 1 0 1

r

4

0 0 1 1

Tab. 3.1 – Tables de signatures th´eoriques

Pour un syst`eme r´eel, c’est-`a-dire en pr´esence de bruit et d’erreur de mod´elisation, le

seuil de d´etection des d´efauts est choisi en r´ealisant un compromis entre la quantit´e de

fausses alarmes et le retard `a la d´etection. Si on souhaite peu de fausses alarmes, alors le

seuil de d´etection des d´efauts est choisi ´elev´e ; en contrepartie les d´efauts de petites

am-plitudes, n’´etant pas d´etect´es, peuvent entraˆıner une signature d´egrad´ee (des “1” peuvent

ˆetre remplac´es par des “0”). Dans ce cas, pour ´eviter les difficult´es de localisation, il ne faut

pas qu’une signature d´egrad´ee soit identique `a une signature valide. Une table de

signa-ture qui respecte la condition pr´ec´edente est appel´ee “fortement localisable”. Le tableau

3.1 repr´esente trois exemples de tables de signatures th´eoriques. La premi`ere table (celle

de gauche) montre un exemple o`u l’ensemble des d´efauts n’est pas localisable ; en effet

comme les d´efauts δ

₁

etδ

₂

ont la mˆeme signature on peut les d´etecter mais non les isoler.

La seconde table repr´esente un cas faiblement localisable, en effet, si le d´efautδ

3

n’est pas

d´etect´e avec le r´esidu r

2

alors la signature est identique `a un d´efautδ

4

. La derni`ere table

repr´esente un cas fortement localisable, c’est-`a-dire que si un r´esidu ne d´epasse pas le seuil

de d´etection en pr´esence d’un d´efaut alors il n’est pas possible de localiser ce d´efaut. Cela

´evite une mauvaise localisation du d´efaut. La structure id´eale est donc celle qui respecte

la condition de localisation forte.

Pour l’ACP, les diff´erentes m´ethodes pour la construction des r´esidus pour la localisation

de d´efauts multiples peuvent ˆetre rassembl´ees en deux groupes de la fa¸con suivante :

– Les m´ethodes sans optimisation des r´esidus aux d´efauts, comme par exemple celles

utilisant :

Dans le document Diagnostic de fonctionnement par analyse en composantes principales : application à une station de traitement des eaux usées (Page 79-82)