non lin´ eaires utiles

Afin de d´eterminer les d´ecalages temporels et les transformations non-lin´eaires `a prendre

en compte afin d’appliquer l’ACP, une premi`ere ´etape de mod´elisation `a l’aide des mod`eles

lin´eaires est effectu´ee. A travers cette ´etape de mod´elisation, on ne recherche pas les

param`etres exacts des mod`eles mais seulement les variables utilis´ees ainsi que les ordres

des mod`eles. Apr`es avoir caract´eris´e la qualit´e des eaux us´ees entrant dans la station `a

l’aide des diff´erentes mesures disponibles, la conception de mod`eles simples est effectu´ee.

4.3.2.1 Description des donn´ees

Le comportement classique des mesures caract´erisants les eaux us´ees arrivant `a la station,

c’est-`a-dire les mesures de d´ebit (Q8), de temp´erature (T8), de conductivit´e (σ8),

d’ab-sorption UV (A8) et de PH (P H8), est montr´e sur les figures 4.6 `a 4.10 sur la p´eriode

du samedi 22 avril 2006 au lundi 1 mai 2006. La figure 4.11 montre la mesure du

pluvio-m`etre (P21) pr´esent sur le toit de la station, cette information permet de d´eterminer la

pr´esence ou l’absence de pluie. Le jeu de donn´ees est constitu´e de cinq jours de semaine,

deux week-end, un jour f´eri´e (le premier mai) et d’une p´eriode de pluie (le dimanche 30

avril vers midi). On remarque alors une diff´erence de comportement entre le week-end et

la semaine pour les mesures de temp´erature et de conductivit´e. Le d´ebit arrivant dans la

station est l´eg`erement inf´erieur en week-end que la semaine. La pr´esence de pluie entraˆıne

une augmentation du d´ebit de la station et une baisse des mesures de temp´erature et de

conductivit´e. On remarque ´egalement que la mesure d’absorption UV est peu sensible `a

la pr´esence de pluie.

24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 300 400 500 600 700 800 900 Heure Q8 (m 3 /h)

S

amedi

D

imanche

L

undi

M

ardi

M

ercredi

J

eudi

V

endredi

S

amedi

D

imanche

L

undi

Fig. 4.6 – Mesure du d´ebit Q8

24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 Heure T8 (°C)

S

amedi

D

imanche

L

undi

M

ardi

M

ercredi

J

eudi

V

endredi

S

amedi

D

imanche

L

undi

Fig. 4.7 – Mesure de la temp´erature T8

24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 Heure σ 8 ( µ S/cm)

S

amedi

D

imanche

L

undi

M

ardi

M

ercredi

J

eudi

V

endredi

S

amedi

D

imanche

L

undi

24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 Heure A8 (mg/l)

S

amedi

D

imanche

L

undi

M

ardi

M

ercredi

J

eudi

V

endredi

S

amedi

D

imanche

L

undi

Fig. 4.9 – Mesure de l’absorption UV A8

24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 6.8 6.9 7 7.1 7.2 7.3 7.4 Heure PH8

S

amedi

D

imanche

L

undi

M

ardi

M

ercredi

J

eudi

V

endredi

S

amedi

D

imanche

L

undi

Fig. 4.10 – Mesure du PH

24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Heure Pluie (mm/15min)

S

amedi

D

imanche

L

undi

M

ardi

M

ercredi

J

eudi

V

endredi

S

amedi

D

imanche

L

undi

4.3.2.2 La construction des mod`eles

On recherche ici les d´ecalages temporels et les transformations non lin´eaires `a effectuer

afin d’appliquer l’ACP, pour cela une premi`ere ´etape de mod´elisation `a l’aide de mod`eles

lin´eaires est effectu´ee. Pour plus de d´etails sur les m´ethodes de mod´elisation, le lecteur

peut consulter le livre de Walter et Pronzato (1994). Dans la construction d’un mod`ele `a

partir de donn´ees exp´erimentales, plusieurs ´etapes sont importantes.

La premi`ere ´etape est de recueillir les donn´ees exp´erimentales et de d´eterminer les

don-n´ees “saines”. La seconde ´etape est la s´election des variables `a prendre en compte dans

le mod`ele, c’est-`a-dire les entr´ees et les sorties. Afin de d´eterminer ces variables,

l’ana-lyse des corr´elations entre les diff´erentes mesures peut-ˆetre utilis´ee. De plus, les structures

des relations de redondance d´etermin´ees grˆace `a la r´eduction du mod`ele ASM1 (section

4.3.1.2) peuvent compl´eter les informations obtenues pr´ec´edemment (d´etermination de

transformations non-lin´eaires). En utilisant les variables s´electionn´ees, deux jeux de

don-n´ees sont choisis, un premier jeu, nomm´e “jeu d’identification”, pour construire le mod`ele

et un second jeu, nomm´e “jeu de validation”, afin de valider le mod`ele. La structure du

mod`ele g´en´eral `a identifier est de la forme suivante :

y(t) = ^B(q)

F(q)^{u(t) (4.12)}

o`u y(t) est la variable `a mod´eliser, u(t) sont les variables utilis´ees et B(q) et F(q) sont

des polynˆomes en q

−1

o`uq

−1

est l’op´erateur retard.

Il faut maintenant d´eterminer l’ordre du mod`ele, c’est-`a-dire les diff´erents d´ecalages

tem-porels `a prendre en compte. Afin de d´eterminer ces diff´erents d´ecalages, les connaissances

sur le fonctionnement du syst`eme sont utilis´ees, comme par exemple le temps de s´ejour

moyen des eaux us´ees dans chaque bassin. Pour d´eterminer le mod`ele, on utilise le crit`ere

d’information d’Akaike (AIC), ce crit`ere est d´efini de la mani`ere suivante :

AIC =N log(ˆσ

²

) + 2n

θ

(4.13)

avec ˆσ

2

= P

^N

i=1

ˆ

ǫ

i

o`u ˆǫ

i

est l’erreur de pr´ediction du mod`ele (ˆǫ

i

= y(k)−yˆ(k)) o`u ˆy(k) est

l’estimation obtenue avec le mod`ele de l’observation y(k) et n

θ

est le nombre de

para-m`etres du mod`ele.

Le mod`ele s´electionn´e est celui minimisant le crit`ere d’information d’Akaike (4.13). Pour

arriver aux valeurs minimales de l’AIC, il faut tenir compte du fait qu’un mod`ele

compli-qu´e aura une valeur faible pour le premier terme (biais du mod`ele), mais sera p´enalis´e par

la valeur du second terme (complexit´e). La qualit´e du mod`ele d´etermin´e est alors test´ee

sur le jeu de validation.

Sur les diff´erentes mesures disponibles cette proc´edure de mod´elisation a ´et´e appliqu´ee.

L’exemple4.1montre la proc´edure de d´etermination des d´ecalages temporels et des

trans-formations non-lin´eaires utiles afin d’appliquer l’ACP pour la mesure N O17.

Exemple 4.1 (Mod`ele de la concentration en nitrate `a la sortie de la seconde

biologie : N O17 )

La mesure N O17 donne la concentration en nitrate dans les eaux us´ees. Le mod`ele r´eduit

Dans le document Diagnostic de fonctionnement par analyse en composantes principales : application à une station de traitement des eaux usées (Page 138-142)