2.2 Approche Filament
2.2.2 Reconstruction des objets curvilignes
Dans l’approche filament, la phase de pr´etraitement, consistant en l’application du filtre non-lin´eaire ψ pr´ec´edement d´ecrit, est suivie d’une ´etape de segmentation, appel´ee la reconstruction des objets curvilignes. L’image de d´epart f de la reconstruction des objets curvilignes est une image en niveaux de gris constitu´ee uniquement des voisins des maxima r´egionaux d’une image originale, en l’occurrence une image filtr´ee par ψ(·). La reconstruction des objets curvilignes fait intervenir un op´erateur R[tmax,tmin](·) qui
est construit comme une combinaison d’un seuillage dynamique et d’op´erations de mor- phologie math´ematique.
Un seuillage dynamique est une transformation de seuillage dont la valeur du seuil ´evolue au cours des it´erations. La reconstruction des objets curvilignes utilise un seuillage dynamique dont la valeur de seuil est d´ecroissante et varie de tmax`a tmin. La plus grande
valeur de seuil tmax repr´esente le niveau de gris maximal de l’image f .
tmax= max
(x,y)∈Df
{f(x,y)}
La valeur de seuil tmin, fix´ee par l’utilisateur, doit ˆetre sup´erieure `a l’intensit´e minimale
de l’image f .
Pour toute valeur de seuil t∈ [tmin,tmax] (t ∈ N), l’op´erateur de seuillage dynamique
est not´e St(·). La valeur du point image (x,y) ∈ Df de l’image transform´ee St(f ),
∀t ∈ [tmin,tmax], en fonction de l’image f est alors donn´ee par l’expression suivante:
St(f )(x,y) =
1 Ct xy > φ
0 sinon
La variable Ct
xy, utilis´ee comme crit`ere de d´ecision par l’op´erateur St(·) en confrontant sa
valeur au param`etre φ, qui est explicit´e ult´erieurement, est d´efinie de la fa¸con suivante:
Cxyt = ♯{(x′,y′)∈ Df : d8((x,y),(x′,y′))≤ n tels que
t≤ f(x,y) ≤ (1 + τ) × t et (1 − τ) × t ≤ f(x′,y′)≤ t} (2.3) avec n∈ N et d8(·) est la distance discr`ete en 8−connexit´e (page 31).
Interpr´etation – La variable Ct
xy repr´esente le nombre de points voisins du
point courant (x,y), dont l’intensit´e v´erifie f (x,y)∈ [t,(1 + τ) × t] (domaine de s´election), dans un voisinage de taille (2n + 1)2 tels que leurs intensit´es f (x′,y′)
appartiennent `a [(1− τ) × t,t] (domaine de d´ecision).
Le param`etre τ , qui est un pourcentage (`a valeurs dans ]0,1[), module la sensibilit´e du seuillage dynamique en fonction de la valeur du seuil t en r´eglant la profondeur des domaines de s´election [(1− τ) × t,t] et de d´ecision [t,(1 + τ) × t]. Plus la valeur du seuil t est petite, plus le domaine de d´ecision est petit, c’est `a dire que les points images ayant une intensit´e faible ne sont pas favoris´es. La valeur de τ est d’autant plus grande que la valeur moyenne des niveaux de gris de l’image f est petite.
Le support spatial du domaine de d´ecision est d´efini par un voisinage dont la taille (2n+1)2d´epend de la largeur moyenne des structures de l’image; le support du domaine
de d´ecision doit pouvoir s’inclure dans les structures.
Le param`etre φ est un param`etre empirique qui doit au moins ˆetre ´egal `a la moiti´e du nombre total de points images constituant le support spatial du domaine de d´ecision, autrement dit `a 12(2n + 1)2.
Les points images s´electionn´es, lors du seuillage dynamique pour une valeur de seuil t, par la confrontation de Ct
xy (Eq. 2.3) au crit`ere φ sont marqu´es, c’est `a dire transform´es
en points objets de l’image binaire St(·) (Fig. 2.4), qui est ensuite soumise `a d’autres
processus.
Remarque – Les images binaires St(f )∀t ∈ [tmin,tmax], constitu´ees des points (x,y)∈
Df v´erifiant la condition Cxyt > φ, poss´edent les deux propri´et´es suivantes.
Stmax(f ) 6⊆ Stmax−1(f )6⊆ · · · 6⊆ Stmin(f )
Cette premi`ere propri´et´e r´esulte de l’usage simultan´e d’un domaine de s´election [t,(1 + τ )× t] et d’un domaine de d´ecision [(1 − τ) × t,t] diff´erents.
La seconde propri´et´e, qui s’exprime de la mani`ere suivante,
∃t ∈ [tmin,tmax] St+1(f )∩ St(f ) 6= ∅
d´ecoule du chevauchement des domaines de s´election et de d´ecision pour deux valeurs de seuil t + 1 et t cons´ecutives.
Fig. 2.4 Seuillage dynamique pour la reconstruction des objets curvilignes dans l’approche filament. La Figure repr´esente une image monodimensio- nelle f sur laquelle la proc´edure de seuillage dynamique St(f ) est ap-
pliqu´ee `a la valeur de seuil t. Le support spatial du domaine de d´ecision est donn´e par le voisinage constitu´e de trois points, repr´esent´e dans le coin gauche. Le domaine de s´election [t,(1 + τ )× t] est l’intervalle des niveaux de gris d´efini par [t,Sup]. Le domaine de d´ecision [(1−τ)×t,t] est l’intervalle des niveaux de gris d´efini par [Inf,t]. Les intensit´es des points s´electionn´es (marqu´es) dans l’image f , lors du seuillage dyna- mique `a la valeur de seuil t apparaissent en rouge. Ces points consti- tuent l’image binaire St(f ).
La phase de seuillage dynamique termin´ee pour la valeur de seuil t, avant de passer `a la valeur de seuil suivante t− 1, l’image St(f ) est transform´ee par des op´erations de
morphologie math´ematique afin de reconstruire les objets d´etect´es au seuil t et de les associer aux objets pr´ec´edement reconstruits `a des seuils s > t.
Une dilatation binaire δH(·) par l’´el´ement structurant H en 8−connexit´e est r´ealis´ee
sur chaque image St(f ) (∀t ∈ [tmin,tmax]). La transformation de dilatation δH(·) est
d´efinie de la mani`ere suivante:
δH[St(f )] = St(f )⊕ H
Interpr´etation – La dilatation δH(·) consiste `a qualifier de point objet tout
point image adjacent `a un ou plusieurs point objet (Annexe A).
La dilatation par H permet de restaurer la connexit´e sans favoriser une direction par- ticuli`ere. L’´el´ement structurant H en trame carr´ee et 8−connexit´e poss´ede la configu- ration suivante:
H =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Pour finir, afin de reconstruire les objets curvilignes, une squelettisation binaire est r´ealis´ee sur les images δH[St(f )] tout en tenant compte du squelette de l’image f peu `a
peu constitu´e au cours des ´etapes pr´ec´edentes du seuillage dynamique pour les valeurs de seuil s, tmax ≥ s > t. Cette squelettisation est une squelettisation avec points
d’ancrage [3, 88], qui sont les points du squelette pr´ealablement construit pour des valeurs sup´erieures de seuil.
Le squelette de l’image f , `a la fin du seuillage dynamique pour la valeur de seuil t + 1, est not´e SQt+1(f ). La squelettisation avec points d’ancrage (pour obtenir le squelette
SQt(f ) de f pour la valeur de seuil t) est r´ealis´ee sur l’union de l’image δH[St(f )] et
de l’image SQt+1(f ) par un amincissement homotopique avec l’´el´ement structurant L,
dont la configuration est d´efinie dans l’alphabet de Golay (Annexe A), it´er´e dans toutes les directions jusqu’`a idempotence. Le squelette SQt(f ) de l’image f pour la valeur de
seuil t s’exprime de la fa¸con suivante:
SQt(f ) =
(SQt+1(f )∨ δH[St(f )]) L
∞ (2.4)
L’union, repr´esent´ee par le symbole ∨, des images δH[St(f )] et SQt+1(f ), qui sont
d´efinies sur le mˆeme domaine de d´efinition spatial Df, s’exprime de la mani`ere suivante
[76]:
(δH[St(f )]∨ SQt+1(f ))(x,y) = (δH[St(f )]∪ SQt+1(f ))(x,y)
= max[δH[St(f )](x,y),SQt+1(f )(x,y)] (2.5)
Interpr´etation –L’op´eration d’union de deux images revient `a affecter `a chaque point (x,y) du domaine de d´efinition spatial, le maximum des deux intensit´es de chaque image.
Le symbole de l’´equation (2.4) indique que la transformation d’amincissement est it´er´ee dans toutes les directions c’est `a dire que l’amincissement est s´equentiellement r´ealis´e avec toutes les rotations possibles de l’´el´ement structurant L.
Interpr´etation – La transformation d’amincissement, not´ee , consiste en l’´elimination des points objets dont la configuration de voisinage correspond `a la configuration fix´ee par l’´el´ement structurant utilis´e.
La propri´et´e d’homotopie (pr´eservation de la connexit´e) de l’amincissement d´ecoule de l’homotopie de l’´el´ement structurant utilis´e. L est une configuration homotopique puisqu’en inversant la valeur du point central la connexit´e est conserv´ee.
Du fait de cette homotopie, l’image amincie tend vers une limite et il existe donc un nombre maximal d’it´erations au-del`a duquel la tranformation devient idempotente (Annexe A). La nomenclature (·)∞ indique que la transformation d’amincissement ho-
motopique s´equentiel est it´er´ee jusqu’`a ce que cette transformation devienne une trans- formation idempotente, jusqu’`a stabilisation du processus.
Pour une image en trame carr´ee consid´er´ee en 8−connexit´e, la transformation d’amin- cissement homotopique s´equentiel est effectu´ee en alternant successivement les ´el´ements structurants L et L′ pour toutes les rotations d’angle kπ
4 pour k = 0,· · · ,7 et de centre
le point central des ´el´ements structurants [18, 76]. L’´el´ement structurant L poss`ede alors la configuration suivante
L =
1 1 1 ∗ 1 ∗ 0 0 0
aux rotations pr`es
et l’´el´ement structurant L′, ´etabli par Levialdi [18, 50], a la configuration
L′ =
∗ 0 0 1 1 0 ∗ 1 ∗
aux rotations pr`es.
Remarque – Le squelette SQt(f ) de l’image f , pour une valeur de seuil t, obtenu
par amincissement homotopique s´equentiel, a les propri´et´es suivantes:
Pour t = tmax SQtmax(f ) =
δH[Stmax(f )] L
∞
∃t ∈ [tmin,tmax] SQt+1(f )⊆ SQt(f )
Ainsi pour chaque ´etape du seuillage dynamique pour une valeur de seuil t, une image binaire est cr´e´ee (St(f )), cette derni`ere est dilat´ee δH[St(f )] et ensuite soumise `a une
int´egre le squelette de f construit au cours des ´etapes pr´ec´edentes ([tmax,t + 1]). Toutes
ces ´etapes d´efinissent l’op´erateur R[tmax,t](·) de reconstruction des objets curvilignes.
L’image transform´ee R[tmax,t](f ) pour la valeur de seuil t en fonction de l’image origi-
nale f est alors donn´ee par les expressions suivantes:
R[tmax,t](f ) = ([Stmax(f )⊕H] L)∞∨[Stmax−1(f )⊕H] L ∞ ∨···∨[St(f )⊕H] L ! ∞ = (δH[Stmax(f )] L)∞∨δH[Stmax−1(f )] L ∞ ∨···∨δH[St(f )] L ! ∞ (2.6) = SQt(f ) (a) (b)
Fig. 2.5 Reconstruction des objets curvilignes de l’approche filament. La sous- figure ( a) repr´esente l’image transform´ee par le filtre non-lin´eaire ψ sur laquelle est r´ealis´ee la reconstruction des objets curvilignes. La sous- figure ( b) montre en bleu le r´esultat de la reconstruction des objets curvilignes sur–impos´ee sur l’image originale. L’image ( b) est l’image r´esultat fF de l’approche filament.
Ce processus est effectu´e pour chaque valeur du seuil t ∈ [tmax,tmin] afin de recons-
truire les objets curvilignes (Fig. 2.5). L’algorithme complet de reconstruction des objets curvilignes est explicit´e `a la page 52. Ainsi l’image r´esultat R[tmax,tmin](f ) de la recons-
truction des objets curvilignes en fonction de l’image originale f est alors donn´ee par:
R[tmax,tmin](f ) = SQtmin(f ) (2.7)
L’op´erateur R[tmax,tmin](·) fournit le squelette binaire d’une image en niveaux de gris,
seuillage dynamique dont les domaines de s´election et de d´ecision sont diff´erents, dyna- miques et d´ependants des niveaux de gris.
L’image r´esultat de l’approche filament, not´ee fF, est un squelette binaire des
diff´erents filaments composant l’image f .