sous les conditions
∀X ∈ Ω, C(X,T0) = Γ(X) (6.3) et ∂C ∂n|∂Θ= 0 (6.4) dXβ (t) dt = E(Xβ(t),t) " ∇X C (Xβ (t),t)+k ∇X C (Xβ (t),t)kv k ∇X C(Xβ (t),t)k+ǫ + R t di(β)|κ(Xβ (u))|du t−di(β) X′β (t−) kXβ′(t−)k+ǫ # ∀β∈I(t)\Ib(t) 0 ∀β∈Ib(t) (6.5) Nous posons F (·), la fonction compos´ee des termes de synth`ese et de consommation de pool soluble, qui est utilis´ee par la suite.
F (X,t) =F(X,t) − σmin1lB(t)∪ρ(t)(X) (6.6)
Toute l’´etude num´erique, qui suit, s’applique au mod`ele adimensionnel d´efini par les ´equations (6.2–6.5). En premier lieu, il faut d´efinir le domaine spatial adimensionnel et le domaine temporel adimensionnel du mod`ele et les discr´etiser. En second lieu, un sch´ema de discr´etisation permettant d’approximer le mod`ele continu doit ˆetre d´efini.
6.2
Discr´etisation du domaine de d´efinition du mo-
d`ele
Le domaine de d´efinition du mod`ele est constitu´e du produit du domaine spatial et du domaine temporel qui s’exprime comme Ω× [T0,Tmax]. Ces deux domaines spatial et
temporel sont adimensionnalis´es en utilisant les relations d´efinies dans (6.1). Ils doivent maintenant ˆetre discr´etis´es.
Le domaine spatial adimensionnel du mod`ele qui correspond au domaine cellule Ω est repr´esent´e par un cube unit´e Ω = [0,1]×[0,1]×[0,1]. La discr´etisation du domaine spatial est r´ealis´ee par la construction d’une grille discr`ete cubique pourvue d’un maillage carr´e, dans l’espace xyz (coordonn´ees spatiales cart´esiennes), qui recouvre Ω. La grille est form´ee d’un ensemble de lignes parall`eles aux axes ox, oy et oz dont les intersections d´efinissent les points du maillage (ou noeuds). La longueur de l’intervalle s´eparant deux points de maillage dans la direction ox (resp. la direction oy, resp. la direction oz) est uniforme et donn´ee par ∆x (resp. ∆y, resp. ∆z). Le domaine cellule est envisag´e comme un milieu isotrope, ce qui revient `a dire ∆x = ∆y = ∆z = δ. L’espacement δ entre deux points du maillage est appel´e le pas spatial de discr´etisation. Ce pas spatial de dicr´etisation d´epend de la taille des simulations autrement dit du nombre de points de maillage par lignes parall`eles `a la direction ox. Soit I ∈ N le nombre de points de maillage discr´etisant l’arˆete du domaine dans la direction ox, alors le pas spatial de discr´etisation δ est d´efini comme suit:
δ = ∆x = 1
I− 1 (6.7)
Un point du maillage peut alors se d´efinir comme:
(xi,yj,zk) = (iδ,jδ,kδ) i,j,k = 0,1,· · · ,I
Le maillage de discr´etisation est constitu´e de noeuds suppos´es repr´esentatifs du volume unit´e ∆x× ∆y × ∆z = δ3.
Afin de reconstituer la topologie de la cellule, chaque noeud du maillage est d´efini comme appartenant `a un compartiment sp´ecifique de la cellule postul´e dans la Sec- tion 5.2. Chaque noeud est d´efini comme un point nucl´eaire, un point de l’enveloppe nucl´eaire, un point p´erinucl´eaire, un point cytoplasmique, un point de la membrane cellulaire, un point de desmosomes ou un point d’h´emidesmosome (Fig. 6.2).
Posons tout d’abord quelques d´efinitions:
D´efinition 6.2.1 Un ensemble discret X est dit convexe si quels que soient x et y appartenant `a X, tous les arcs minimaux (ou chemins minimaux) de la trame (ou maillage) entre x et y appartiennent `a X.
D´efinition 6.2.2 Un ensemble discret X est dit connexe si quels que soient x et y appartenant `a X, il existe un chemin entre x et y dont tous les points appartiennent `a X.
Ces deux d´efinitions reposent sur le type de voisinage consid´er´e. Deux types de voisinage ont ´et´e utilis´es, l’un pour le processus environnemental de diffusion et l’autre pour le processus de construction des filaments.
Le syst`eme de voisinage utilis´e pour simuler le processus de diffusion est un voisinage N6(·) en 6−connexit´e qui attribue `a un point 6 voisins (Fig. 6.1(a)), et il est d´efini de
la mani`ere suivante:
N6(p) ={p
′
∈ Ω | dist(p,p′)≤ δ} (6.8) Le syst`eme de voisinage utilis´e lors des processus de pousse des filaments est un voisinage N26(·) en 26−connexit´e qui affecte `a un point 26 voisins (Fig. 6.1(b)), il se d´efinit comme
suit:
N26(p) ={p
′
∈ Ω | dist(p,p′)≤√3δ} (6.9)
(a) (b)
Fig. 6.1 Syst`emes de voisinage utilis´es dans le mod`ele de simulation. ( a) repr´esente le voisinage N6(·) d’un point courant en 6-connexit´e. ( b)
repr´esente le voisinage N26(·) d’un point courant en 26-connexit´e.
L’ensemble N des points nucl´eaires constitue un sous-ensemble convexe de l’ensemble des noeuds du maillage. Ce sous-ensemble, de forme cubique, est positionn´e a priori dans la cellule. L’arˆete du domaine noyau correspond, d’apr`es le rapport nucl´eo–cytoplasmique, `a une proportion de l’arˆete du domaine cellule variant de 13 `a 12.
L’ensemble des noeuds de l’enveloppe nucl´eaire, appel´e ∂N , sont des points du maillage n’appartenant pas `a l’ensemble N des points nucl´eaires mais ayant au moins un voisin appartenant `a N .
Les points de la r´egion p´erinucl´eaire P sont des points, ayant au moins un voisin qui appartient `a l’enveloppe nucl´eaire ∂N , et choisis tels que toute paire de points de cet ensemble soit non connexe.
Les noeuds de la membrane cellulaire ∂Ω sont d´efinis comme les points ayant au moins l’une de ses coordonn´ees spatiales ´egales `a x0 ou xI, y0 ou yI, z0 ou zI. Les
noeuds composants les coins et les arˆetes du domaine cellule (du maillage cubique) ne sont pas consid´er´es comme des points du domaine spatial de d´efinition, ils sont ignor´es et dits ”inexistants”.
Les noeuds desmosomes (resp. h´emidesmosomes) sont des points choisis al´eatoirement parmi les noeuds ayant au moins un voisin appartenant `a l’une de deux faces lat´erales (x0 ou xI) du domaine cellule (resp. `a la face basale (z0) du domaine cellule). Chaque
plaque de desmosome constitue un sous-ensemble convexe.
Par d´efaut, tous les autres points non pr´ec´edemment cat´egoris´es sont des noeuds du cytoplasme Θ. L’ensemble des points de la fronti`ere ∂Θ du domaine cytoplasme est constitu´e de l’union de l’ensemble des noeuds de l’enveloppe nucl´eaire et de l’ensemble des noeuds de la membrane cellulaire.
Tous les noeuds du maillage, except´es les noeuds nucl´eaires et les noeuds dits inexis- tants (arˆetes et coins du maillage), sont consid´er´es comme des points ayant un ”caract`ere cytoplasmique”. Dans le mod`ele, le domaine de travail se restreint au domaine cyto- plasmique, donc seuls les points ayant un ”caract`ere cytosplasmique” constituent le domaine de travail et interviennent dans les diff´erents processus. Le domaine de travail ainsi d´efini est un ensemble connexe.
L’´etiquetage, d´ecrit ci-dessus, de tous les noeuds du maillage selon leur appartenance `a un compartiment cellulaire permet d’attribuer une fonction `a chacun des noeuds; car l’appartenance `a un compartiment sp´ecifique du domaine cellule dote le point de caract´eristiques particuli`eres comme:
– source de synth`ese et site transporteur (en terme de diffusion) pour les noeuds p´erinucl´eaires, de desmosome et d’h´emidesmosome,
– site uniquement transporteur pour les noeuds du cytoplasme proprement dit, – site de non ´echange pour les points de la fronti`ere cytoplasmique (noeuds de
l’enveloppe nucl´eaire et de la membrane cellulaire),
– site interdit pour les noeuds nucl´eaires et dits inexistants (arˆetes du maillage). De la mˆeme fa¸con, le domaine temporel adimensionnel du mod`ele doit ˆetre subdivis´e, afin de le discr´etiser, en N ∈ N unit´e de temps tel que (N − 1) × ∆t = Tmax. Le pas
temporel de discr´etisation (ou pas de temps) se d´efinit en fonction des conditions de stabilit´e d´eduites des approximations de la solution de l’´equation de diffusion.
Le domaine de d´efinition Ω× [T0,T max] ainsi discr´etis´e, il nous faut maintenant trou-
ver une formulation de remplacement des ´equations adimensionnelles continues (6.2– 6.5) qui permet de calculer les valeurs de densit´e en pool soluble aux noeuds du do- maine spatial pour tous les instants du domaine temporel ainsi que les trajectoires discr`etes d´ecrites par les filaments. Autrement dit, il nous faut trouver un sch´ema de discr´etisation (op´erateur discret) capable d’approximer les solutions du mod`ele continu (6.2–6.5) aux noeuds du maillage pour les diff´erents instants. L’´equation (6.2) contient une sous-´equation aux d´eriv´ees partielles parabolique (´equation de diffusion). Comme la discr´etisation des ´equations aux d´eriv´ees partielles n’est pas triviale, nous d´etaillons dans la Section suivante la r´esolution num´erique de l’´equation de diffusion.
Fig. 6.2 Discr´etisation du domaine cellule. Le cube noir positionn´e au centre de la cellule repr´esente le noyau N . Les points gris entourant le noyau sont les noeuds de la r´egion p´erinucl´eaire P . Sur les faces lat´erales du do- maine cellule, les points gris repr´esentent les noeuds des r´egions de des- mosome D. Sur la face basale du domaine cellule, les points gris sym- bolisent les noeuds des r´egions d’h´emidesmosomes H. Les noeuds cyto- plasmiques sans autre caract`ere ne sont pas symbolis´es sur cette Figure pour des raisons de lisibilit´e. Toutes les r´egions noires, repr´esentant le noyau et les arˆetes du domaine cellule n’appartiennent pas au domaine de travail.