6.4.1 Calcul de la densité
Les données de boucles magnétiques fournissent 3 valeurs : le débit Q, en véhicules par heure, la vitesse moyenne v, en kilomètres-heure, et le taux d’occupation τ, en pourcentage. Ce taux cor- respond au temps pendant lequel des véhicules étaient présents au dessus de la boucle, divisé par le temps d’aggrégation. Les deux autres grandeurs sont des moyennes sur ce temps d’aggrégation. La variable du modèle LWR étant la densité ρ, en véhicules par kilomètre, il faut la reconstruire à partir de ces données capteurs. Or on peut trouver cette densité de plusieurs façons différentes :
1. en utilisant le débit et la vitesse :
ρ = Q
nv, (6.1)
où n est le nombre de voies du tronçon considéré ;
2. en utilisant le taux d’occupation et la longueur moyenne des véhicules : ρ = 10τ
Lv
, (6.2)
si Lv est la longueur moyenne des véhicules en mètres et τ est en pourcentage. Cette formule utilise par ailleurs l’hypothèse que le taux d’occupation temporel mesuré par le capteur est égal au taux d’occupation spatial, qui est la longueur du tronçon occupée par des véhicules divisé par sa longueur totale ;
3. en utilisant le débit et le diagramme fondamental Qe(ρ) du tronçon considéré :
en choisissant au préalable si l’on se trouve en régime fluide ou congestionné. En effet, la fonction Qe, croissante puis décroissante, n’est inversible que sur [0, ρc] ou sur [ρc, ρmax]. On peut par exemple choisir le régime en fonction de la vitesse (fluide si v > vc, conges- tionné sinon).
6.4.2 Condition initiale d’un tronçon capté
Ces trois méthodes ont toutes des avantages et des inconvénients. La méthode 3, qui utilise le diagramme fondamental, est très sensible à de petites variations de vitesse, qui peuvent faire passer l’état estimé du régime fluide au régime congestionné pour deux jeux de données très proches. On a donc décider de n’utiliser que les deux autres méthodes.
Le taux d’occupation τ, exprimé en pourcentage, est très imprécis en régime fluide car c’est un nombre entier. Par conséquent, on préfère la méthode 2 lorsque la vitesse est élevée. De façon similaire, la vitesse, arrondie dans nos données à un nombre entier de km/h, est assez imprécise en régime congestionné ; on préfère donc la méthode 1 lorsque la vitesse est très faible. Pour éviter les effets de seuil, on choisit de faire une moyenne pondérée des deux méthodes pour des valeurs intermédiaires de la vitesse.
Partant d’un jeu de données (Q, v, τ), la condition initiale est donc définie de la manière suivante :
v > 50 =⇒ ρ = nvQ, 10 < v < 50 =⇒ ρ = 401 + (max(v, 10)− 10)nvQ + (50− max(v, 10))10τL v , , v < 10 =⇒ ρ = 10τLv.
Certains jeux de données étant incomplets, on utilise toujours la méthode 1 si le taux d’oc- cupation n’est pas disponible, et toujours la méthode 2 si la vitesse n’est pas disponible. Si le débit n’est pas disponible, le capteur est considéré comme défaillant et le tronçon est considéré comme non capté.
6.4.3 Condition initiale d’un tronçon courant non capté
Certains tronçon du périphérique ne sont pas équipés de capteur, ou ont un capteur temporai- rement défaillant. Dans ce cas, on utilise les capteurs situés en amont et en aval, ainsi que les données de débits entrants et de coefficients tournants, pour calculer deux valeurs de débit (une par la conservation des véhicules en amont, l’autre en aval). On calcule ensuite une moyenne de ces deux valeurs, pondérée par l’inverse des distances entre le tronçon et les capteurs utilisés (plus le capteur utilisé est loin, plus sa pondération est faible).
1 2 3 A x sens de la circulation
Figure 6.7 – Exemple de configuration d’un tronçon courant non capté. Le débit inconnu x est calculé en utilisant le capteur amont et le capteur aval les plus proches.
Sur la figure 6.7, le tronçon x n’est pas capté. En aval, on connaît le débit Q1 du tronçon 1, et le coefficient tournant rAdu noeud A, qui correspond à la proportion de véhicules qui sortent. Le débit Qaval au point x, calculé depuis l’aval, est alors :
Qaval= Q1 1− rA
.
D’autre part, en amont, on connaît le débit Q3 du tronçon 3, et le débit Q2 de l’entrée 2. Le débit Qamont au point x, calculé depuis l’amont, est :
Qamont = Q3+ Q2.
On peut remarquer que si la conservation du nombre de véhicule était parfaitement respectée et que le régime était stationnaire, alors on aurait Qaval = Qamont. Ce n’est en général pas le cas ; le tronçon x est alors initialisé avec une valeur de débit Qx obtenue en faisant une moyenne pondérée de ces deux débits :
Qx=
Qavaldamont+ Qamontdaval damont+ daval
,
où daval et damont sont la distance entre le milieu du tronçon x et les capteurs 1 et 3, res- pectivement. La densité initiale du tronçon est alors calculée par la formule (6.3). Si plusieurs tronçons successifs n’ont pas de données, il faut parfois utiliser des capteurs très éloignés, avec potentiellement plusieurs entrées et sorties intermédiaires. Les calculs des débits amont et aval sont alors fait par récurrence sur le graphe, en utilisant les coefficients tournants et les débits entrants des noeuds intermédiaires.
6.4.4 Déroulé d’une simulation a posteriori
On cherche à présent à simuler le trafic entre un instant initial t0 et un instant final t0+ T. On suppose que l’on connaît :
• des jeux de données (Q, v, τ) pour un certain nombre de tronçons courants à t = t0; • un déroulé temporel des débits entrants pour toute la durée de la simulation, pour chaque
entrée du réseau ;
• un déroulé temporel des coefficients tournants, pour chaque bifurcation et chaque sortie du réseau.
On commence alors par créer la condition initiale de tous les tronçons captés, selon la mé- thode décrite dans la section 6.4.2. En utilisant les débits entrants et les coefficients tournants à t = t0, et les débits donnés pour les tronçons captés, on calcule ensuite la condition initiale de tous les tronçons non captés, en suivant la section 6.4.3.
Puis à chaque pas de temps, on calcule successivement :
• les demandes aux entrées du réseau à l’instant t (on suppose que les offres aux sorties sont infinies, i.e. les sorties sont libres) ;
• les débits de tous les noeuds du réseau par offre/demande, selon qu’il s’agit d’un noeud simple, convergent, ou divergent (voir section 6.2.2), en utilisant les coefficients tournants à l’instant t ;
• les débits de tous les points intermédiaires (internes à chaque tronçon). Ensuite, la densité de chaque maille de chaque tronçon est mise à jour :
ρi(t + ∆t) = ρi(t) + ∆t ∆xi
(Qin− Qout),
où ∆xi est la taille de la maille considérée, Qin et Qout sont les débits entrants et sortants de cette maille, respectivement.
A la fin de la simulation, on peut comparer les résultats avec les données réelles du jour consi- déré. Les simulations a posteriori peuvent être faite sur n’importe quelle durée (jusqu’à T = 24 heures) ; pour les simulations en temps réel, on se limite en général à un quart d’heure (T = 15 minutes).