D.4 Modèle moyenné
Les deux premières solutions données par Maple sont respectivement les constantes (k = 0) et la solution du modèle non moyenné (R = 0). La troisième nous donne un profil pour ρ(z) et R(z) :
Annexe E
Démonstration du théorème 5.3.1
On considère le problème de minimisation (5.12) :
min 5 T 0 | ˙v(t)|dt avec ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v(0) = V0 v(T ) = Vf CT 0 v(t)dt = X ˙v(t) ∈ [−B, A] ∀t. On considère le cas où X < T min(V0, Vf) (cas 3 sur la figure 5.6). On pose
I(v) = 5 T
0 | ˙v(t)|dt. (E.1)
Lemme E.0.1 Si v est une solution du problème (5.12) alors il existe a ∈]0, T [ tel que a est un minimum global de v, et v(a) < min(V0, Vf).
En effet, la fonction v atteint son minimum global sur [0, T ] en un certain a. Supposons par l’absurde que v(a) ≥ min(V0, Vf) alors
5 T 0
v(t)dt≥ T v(a) ≥ T min(V0, Vf) > X, d’où une contradiction avec la contrainte CT
0 v(t)dt = X. !
Lemme E.0.2 Si v est une solution du problème de minimisation (5.12) alors v est décroissante entre 0 et a puis croissante entre a et T .
En effet, supposons par exemple que v n’est pas décroissante entre 0 et a. Comme v est continue et C1 par morceaux, il existe alors un maximum local b ∈]0, a[, et un voisinage [b
1, b2] de b tel que v est croissante sur [b1, b], décroissante sur [b, b2]et tel que v(b1) = v(b2). De même, si v n’est pas croissante entre a et T alors elle a un maximum local b ∈]a, T [.
Dans ces deux cas, on peut construire une fonction ˜v, également continue et C1 par morceaux, dont l’intégrale est égale à l’intégrale de v, mais telle que I(˜v) < I(v). Par conséquent, v ne peut être solution de (5.12).
Pour construire ˜v, on remplace v par une constante sur l’intervalle [b1, b2]. Ensuite, on rem- place également v par une constante sur un voisinage du minimum global de sorte que l’intégrale garde la même valeur.
Cette opération fait strictement diminuer l’intégrale de la valeur absolue de l’accélération I(v) = CT
0 | ˙v(t)|dt, puisque l’on remplace une fonction non constante par une fonction constante sur deux intervalles. En itérant cette procédure tant que la fonction obtenue possède un maximum local
T v V0 Vf a b v(t) −→ T v V0 Vf a b −→ T v V0 Vf a b ˜ v(t)
FigureE.1 – Construction de la fonction ˜v. a est le minimum global, b est un maximum local. b∈]0, T [ (qu’il soit avant ou après le minimum global), on obtient à la limite une fonction ˜v qui est décroissante, puis constante sur un intervalle contenant le minimum global, puis croissante.
Cette fonction vérifie I(˜v) < I(v). !
Lemme E.0.3 Si v est décroissante puis croissante, alors minimiser I(v) est équivalent à maxi- miser le minimum global de v.
En effet, si v est décroissante entre t = 0 et a puis croissante entre a et T , alors on a : I(v) = C0T| ˙v(t)|dt
= C0a˙v(t)dt +CaT(− ˙v(t))dt = (v(0)− v(a)) + (v(T ) − v(a)) = V0+ Vf − 2Vmin.
(E.2) Par conséquent, minimiser I revient à maximiser la vitesse minimale Vmin = v(a). ! On peut alors démontrer le théorème 5.3.1 dans le cas où X < T min(V0, Vf), grâce à ce dernier lemme :
Lemme E.0.4 Si X < T min(V0, Vf), alors le problème de minimisation (5.12) a une unique solution, et celle-ci est de type bang-bang.
Définition : une fonction v continue sur [0, T ], C1 par morceaux, et dont la dérivée est bornée ˙v(t) ∈ [−B, A] est dite de type bang-bang si sa dérivée est toujours soit nulle, soit égale à l’une des bornes : ∀t, ˙v(t) ∈ {−B, 0, A}.
On va montrer que l’unique solution du problème de minimisation est la fonction affine par morceaux ˆv définie par :
ˆ v(t) = ⎧ ⎨ ⎩ V0− Bt si t < t1 ˆ Vmin si t1 < t < t2 Vf + A(t− T ) si t > t2. (E.3) Cette fonction est continue si V0− Bt1= ˆVmin et Vf + A(t2− T ) = ˆVmin. On choisit donc :
t1 = V0− ˆBVmin, t2 = T −Vf− ˆAVmin.
(E.4) On suppose que t1< t2, i.e. Vmin >
+ V0 B + Vf A − T , AB
A+B. Si cette dernière relation n’est pas vérifiée, alors le problème de minimisation n’a pas de solution pour ces valeurs de A et B (mais
on peut toujours trouver une solution en prenant des bornes A et B plus grandes).
Considérons à présent une autre fonction v continue sur [0, T ], C1 par morceaux, solution du problème (5.12). Alors, v(0) = V0 et ˙v(t) ≥ −B, donc :
∀t ∈ [0, t1] v(t)≥ V0− Bt = ˆv(t). (E.5)
De même, comme v(T ) = Vf et ˙v(t) ≤ A, on a :
∀t ∈ [t2, T ] v(t)≥ Vf + A(t− T ) = ˆv(t). (E.6) Mais par ailleurs, CT
0 v = CT 0 v = Xˆ , et par conséquent : 5 t2 t1 v(t)dt≤ 5 t2 t1 ˆ v(t)dt = (t2− t1) ˆVmin, (E.7)
car ˆv est constante sur [t1, t2]. Si ˆv n’est pas égal à v sur l’intervalle [t1, t2], alors le minimum global Vmin de v est strictement plus petit que ˆVmin, et par conséquent :
I(v) = V0+ Vf − 2Vmin > V0+ Vf − 2 ˆVmin = I(ˆv). (E.8) Si ˆv est égal à v sur l’intervalle [t1, t2], alors l’inégalité (E.7) est une égalité ; par conséquent les inégalités (E.5) et (E.6) sont aussi des égalités, et finalement ˆv est égal à v sur tout l’inter- valle [0, T ]. On a donc montré que ˆv était l’unique solution du problème de minimisation (5.12).! On a donc montré le théorème 5.3.1 si X < T min(V0, Vf). Dans le cas où X > T max(V0, Vf) (cas 2 sur la figure 5.6), la preuve est exactement similaire en changeant le signe de toutes les inégalités : on a alors I(v) = 2Vmax− V0 − Vf, et minimiser I revient à minimiser la vitesse maximale Vmax. Les deux autres cas (où min(V0, Vf) ≤ X/T ≤ max(V0, Vf)) se démontrent également comme le lemme E.0.4, en exhibant la fonction solution puis en montrant que c’est l’unique minimiseur.
Bibliographie
[1] H. I. Abdel-Gawad, N. S. Elazab, M. Osman, "Exact Solutions of Space Dependent Korte- weg–de Vries Equation by The Extended Unified Method". Journal of the Physical Society of Japan 82 (2013) 044004
[2] A. Aw, M. Rascle, "Resurrection of “Second Order” models of traffic flow". SIAM Journal on Applied Mathematics, 60(3), 916-938, (2000).
[3] M. Bando, K. Hasebe, A. Nakayama, A. Shibata, Y. Sugiyama, "Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation". Phys. Rev. E 51 (1995) 1035–1042.
[4] C.Berthon, "Schema non-lineaire pour l’approximation numerique d’un système hyperbo- lique non conservatif". C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 335, pp1069-1072 (2002).
[5] C. Berthon, F. Coquel, P. G. LeFloch, "Why many theories of shock waves are necessary : Kinetic relations for nonconservative systems". Proc. Royal Soc. Edinburgh, 142 (2012), pp. 1-37
[6] C. M. Bishop, "Pattern recognition and machine learning". Springer Edts (2006). [7] F. Coquel, HDR, Université Paris 6, 2008.
[8] R. M. Colombo, "On a 2 × 2 hyperbolic traffic flow model". Math. Comput. Modelling, 35 :683-688, 2002.
[9] G. Costeseque, "Contribution à l’étude du trafic routier sur réseaux à l’aide des équations d’Hamilton-Jacobi", thèse, 2014.
[10] C.F. Daganzo, "Requiem of second -order fluid approximations of traffic flow". Transporta- tion Research, 29B (4), 277-286 (1995).
[11] T. Fahlaoui, "Optmisation des conditions aux limites et conditions initiales sur un modèle de transport", stage de Master Paris6, préparé et soutenu au Grettia/Cosys/IFSTTAR. Coencadré par X. Louis et R. Sainct, été 2015.
[12] A. Favre, "Turbulence : space-time statistical properties and behavior in supersonic flows". Physics of Fluids A 23 (10) : 2851–2863 (1983).
[13] W. Fickett, W. C. Davis, "Detonation", Univ. of California Press, Berkeley, CA, 1979. [14] D. Gazis, C. Knapp, "On-line estimation of traffic densities from time-series of flow and
speed data". Transportation Science 5 (3), 283–301, 1971.
[15] B. D. Greenshields, "A study of traffic capacity". Proceedings of the Highway Research Record, 14 :448–477, 1935.
[16] F.L. Hall, K Agyemang-Duah, "Freeway capacity drop and the definition of capacity", Trans- portation Research Record, TRB, (1320) :91-98, 1991.
[17] A-R. Hedar, M. Fukushima, "Minimising multimodal functions by simplex coding genetic algorithm". (2003).
[18] S.E. Jabari, H.X. Liu, "A stochastic model of traffic flow : Theoretical foundations". Trans- portation Research Part B : Methodological. Volume 46, Issue 1, January 2012, Pages 156–174
[19] B. S. Kerner, H. Rehborn, "Experimental features and characteristics of traffic jams", Phy- sical Review, 53(E) :R1297-R1300, 1996.
[20] B. E. Launder and D. B. Spalding, "Mathematical Models of Turbulence", Academic Press (1972).
[21] B.E. Launder, G. J. Reece, W. Rodi, "Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure", J. Fluid Mech. 68 :537-66, 1975.
[22] B. E. Launder and N. D. Sandham, "Closure Strategies for Turbulent and Transitional Flows", Cambridge University Press (2002)
[23] J.A. Laval, "Linking Synchronized Flow and Kinematic Waves", Proceedings of the Traffic and Granular Flow ’05, 2005.
[24] Peter D. Lax, "Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves", SIAM 1973.
[25] J.P. Lebacque, "The Godunov scheme and what it means for first order traffic flow models". Proceedings of the 13th International Symposium on Transportation and Traffic Theory, 647–678, 1996.
[26] J.P. Lebacque, S. Mammar, H. Haj-Salem, "The Aw-Rascle and Zhang’s model ; Vacuum problems, existence and regularity of the solutions of the Riemann problem". Transportation Research Part B 41 (2007) 710-721
[27] J.P. Lebacque, S. Mammar, H. Haj-Salem, "Generic second order traffic flow modeling". In R.E. Allsop, M.G.H. Bell and B.G. Heydecker, editors, Transportation and Traffic Flow Theory 2007.
[28] J.P. Lebacque, X. Louis, S. Mammar, B. Schnetzler, H. Haj-Salem, "Modélisation du tra- fic autoroutier au second ordre", Comptes Rendus Mathematique - C R MATH 01/2008 ; 346(21) :1203-1206.
[29] J.P. Lebacque, M.M. Khoshyaran, "A variational formulation for higher order macroscopic traffic flow models of the GSOM family". Transportation Research Part B, 57 :245–265, 2013.
[30] M.J. Lighthill, G.B. Whitham. "On kinematic waves : II. A theory of traffic flow on long crowded roads". Proceedings of the Royal Society of London A 229 (1178), 317–345, 1955. [31] R. Mahnke, J. Kaupu˘zs, I. Lubashevsky, "Probabilistic description of traffic flow". Physics
Reports 408 (2005) 1–130.
[32] S. Mammar, "Modélisation macroscopique et hybride du trafic", thèse, Evry, dec 2006. [33] R. Monneau, "Homogenization of some traffic vehicular models". private lectures.
[34] J. Nelder, R. Mead, "A simplex method for function minimization". Computer Journal, vol. 7, no 4, 1965, p. 308-313.
[35] P. Nelson, "Synchronized traffic flow from a modified Lighthill-Whitman model". Physical review, volume 61 number 6, june 2000
[36] G. F. Newell, "Nonlinear Effects in the Dynamics of Car Following". Operations Research, vol. 9 no 2, 1969, p. 209-229.
[37] D. Ngoduy, "Macroscopic Discontinuity Modeling for Multiclass Multilane Traffic Flow Ope- rations". T2006/3, April 2006, TRAIL Thesis Series, The Netherlands
[38] D. Ngoduy, "A multilane model for highway traffic", Delft (2006).
[39] M. Papageorgiou, J-M. Blosseville, H. Hadj-Salem, "Macroscopic modelling of traffic flow on the boulevard périphérique in Paris". Transportation Research Part B. Volume 23B (1), 29-47 (1989)
[40] H.J. Payne, "Models of freeway traffic and control". Simulation Council Proceedings, 51-61 (1971).
[41] B. Persaud, S. Yagar, R. Brownlee, "Exploration of the breakdown phenomenon in freeway traffic". Transportation Research Record, TRB, (1634) :64-69, 1998.
[42] P. I. Richards, "Shock waves on the highway". Operations Research, 4 :42-51, 1956. [43] P. Sagaut, "Large Eddy Simulation for Incompressible Flows" (Third ed.). Springer (2006) [44] R. Sainct, X. Louis, A. Forestier, "Application of averaging techniques to traffic flow theory",
Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2016.
[45] R. Sainct, "Trajctory estimation and wave dampening with multi-anticipation in microscopic traffic models", Transportmetrica A : Transport Science, TTRA-2016-0107, 2016 (submit- ted).
[46] B. Schnetzler, X. Louis, "Anisotropic second-order models and associated fundamental dia- grams". Transportation Research Part C Emerging Technologies, 27 :131–139.
[47] B. Seibold, M. R. Flynn, A. R. Kasimov, R. R. Rosales, "Constructing set-valued funda- mental diagrams from jamiton solutions in second order traffic models". arXiv :1204.5510 [math.AP]
[48] J. Smagorinsky, "General Circulation Experiments with the Primitive Equations". Monthly Weather Review 91 (3) : 99–164 (March 1963).
[49] R. Stern, D. Work, S. Cui, H. Pohlmann, B. Seibold, M. Laura Dell Monache, B. Piccoli, and J. Sprinkle, "WiP Abstract : Stabilizing traffic with a single autonomous vehicle". ICCPS, 2016 (accepted).
[50] Y. Sugiyama, M. Fukui, M. Kikuchi, K. Hasebe, A. Nakayama, K. Nishinari, S. Tadaki, and S. Yukawa, "Traffic jams without bottlenecks – Experimental evidence for the physical mechanism of the formation of a jam". New Journal of Physics, 10 :033001, 2008.
[51] B. Temple, "Systems of conservation laws with coinciding shock and rarefaction curves". Contemp. Math., 17 :143–151, 1983.
[52] M. Treiber, A. Henneke, D. Helbing, "Derivation properties and Simulation of a Gas-Kinetic- Based, Non-Local Traffic Model", Phys. Rev. E 59, 239 Published 1 (Jan 1999).
[53] F. De Vuyst, V. Ricci, F. Salvarani, "Nonlocal second order vehicular traffic flow models and Lagrange-remap finite volumes". Finite Volumes for Complex Applications VI Problems & Perspectives, Springer Proceedings in Mathematics, Volume 4, Part 1, 781-789, 2011. [54] Y. Wang, M. Papageorgiou, "Real-time freeway traffic state estimation based on extended
Kalman filter : a general approach". Transportation Research Part B 39 (2), 141–167, 2005. [55] G. B. Whitham, "Some comments on wave propagation and shock wave structure with
application to magnetohydrodynamics". Comm. Pure Appl. Math., 12 :113–158, 1959. [56] H.M. Zhang, "A non-equilibrium traffic model devoid of gas-like behavior". Transportation