simple les effets syst´ematiques des diff´erents param`etres du probl`eme. Cette ´etude de faisabilit´e se base sur un algorithme que j’ai d´evelopp´e et qui permet de reconstruire la carte de densit´e de la dalle de b´eton que nous voulons ´etudier. L’algorithme permet de d´efinir la g´eom´etrie de la dalle et la disposition des d´etecteurs qui forment le t´elescope. Il comporte deux parties principales se basant sur le sch´ema probl`eme direct - probl`eme inverse que nous avons explicit´e dans les chapitre 3. La premi`ere consiste `a r´esoudre le probl`eme direct de mani`ere pr´ecise, c’est-`a-dire de connaˆıtre la fraction de muons absorb´es dans une direction en connaissant l’opacit´e de notre objet. La deuxi`eme vise `a r´esoudre le probl`eme inverse, c’est-`a-dire de remonter `a l’opacit´e relative dans une direction en connaissant la fraction de muons absorb´es. Une fois l’opacit´e estim´ee, nous pouvons, grˆace `
a une m´ethode de minimisation, remonter `a la carte de densit´e de la dalle.
L’objectif final est ici de pouvoir ´etudier l’erreur relative entre les densit´es reconstruites dans le probl`eme inverse et celle fix´ee dans le probl`eme direct. Nous nous concentrerons sur l’´evolution de cette erreur relative en fonction des diff´erents param`etres du probl`eme.
Cette ´etude qui se fait dans un cadre simplifi´ee ne prend pas en compte les d´eviations multiples des muons discut´ees dans le chapitre 2. L’influence des approximations faites lors de cette ´etude seront discut´ees.
6.2
Reconstruction de la carte de densit´e
6.2.1
Principe
Comme expliqu´e dans la section 3.2, l’enjeu de la tomographie muonique est de reconstruire la densit´e d’un objet en utilisant les muons. Lors d’une mesure, nous disposons `
a la fin de l’exp´erience d’un nombre de muons Nt reconstruits dans une direction donn´ee.
Nous pouvons ´egalement estimer le nombre de muons incidents Nφdans la mˆeme direction
`
a partir des diff´erents mod`eles de flux de muons `a ciel ouvert, ou en faisant une prise de donn´ees sans objet. Au final, la grandeur que nous obtenons en comparant les deux jeux de donn´ees (avec et sans objet) est l’opacit´e soit la quantit´e de mati`ere le long d’une direction donn´ee ω, c’est-`a-dire l’int´egrale curviligne de la densit´e ρ le long du chemin Γ :
ω =
Z
Γ
ρ(x)dx. (6.2.1.1)
La grandeur obtenue est l’int´egrale de la densit´e locale de notre objet. Or c’est la distribution de cette fonction ρ(x) qui nous int´eresse. Pour pouvoir acc´eder `a cette distribution locale, la dalle est pixellis´ee de fa¸con `a discr´etiser la fonction ρ(x). Chaque pixel j dans la dalle est caract´eris´e par sa densit´e ρj que l’on cherche `a d´eterminer, comme
illustr´e par la figure 6.1. Chaque muon est g´en´er´e avec un angle θk et une ´energie Ek, qui
sont tir´es selon le mod`ele de flux de muons consid´er´e (Gaisser [1], Tang [2], Shukla [3], CORSIKA [4]). Le point de g´en´eration Xgenk est d´efini grˆace `a un tirage al´eatoire sur une loi uniforme entre Xmin et Xmax, pr´ealablement d´efinis. Afin de collecter ces muons,
des d´etecteurs sont plac´es sous la dalle. Leur nombre peut varier afin de reproduire un t´elescope muonique. Pour notre ´etude, nous avons choisi deux plans de d´etections. Ces d´etecteurs sont d´efinis avec une efficacit´e de 100%, c’est-`a-dire que chaque muon avec un angle θk compris dans le cˆone d’acceptance form´e par les deux plans de d´etection est
pris en compte. Ces plans sont ´egalement pixellis´es avec une certaine r´esolution, de sorte qu’un couple de pixels forme un cˆone d’acceptance qui va recueillir les traces d´etect´ees. La figure 6.1 illustre cette situation o`u le cˆone d’acceptance i form´e par les pixels s´electionn´es recueille le muon k g´en´er´e. De cette mani`ere, chaque cˆone i va recevoir un nombre de muons incidents Nφi ainsi qu’un nombre de muons transmis Nti. Nφi doit ˆetre consid´er´e comme le nombre de muons collect´es par un cˆone i en l’absence de dalle, c’est-`a-dire lors d’une mesure `a blanc. Connaissant ces deux grandeurs, l’opacit´e ωi peut ˆetre estim´ee.
Reste `a calculer la distance dij parcourue dans le pixel j par une droite dans le cˆone
d’acceptance i. Pour ce faire, deux choix s’offrent `a nous :
— nous pouvons consid´erer une trajectoire passant par le milieu de chaque pixel du couple i consid´er´e et calculer les dij correspondants.
— Nous pouvons ´egalement discr´etiser le cˆone i avec un certain pas et calculer la distance moyenne dans chaque pixel j. Ces deux cas seront explicit´es ult´erieurement. Grˆace `a ces d´efinitions, nous pouvons discr´etiser l’´equation (6.2.1.1) en le sys- t`eme matriciel suivant :
O = D × ρ, (6.2.1.2)
avec O ∈ RNdir, le vecteur des opacit´es dans les N
dir cˆones d’acceptance de chaque
couple de pixels de d´etecteurs, D ∈ RNdir×Npixel, la matrice des distances calcul´ees dans les Npixel de la dalle pour les Ndir cˆones d’acceptance, et ρ ∈ RNpixel le vecteur
des densit´es des Npixel de la dalle.
Le vecteur ρ est donc l’inconnue de ce syst`eme matriciel. Pour pouvoir estimer ses ´el´ements, nous pouvons r´esoudre le syst`eme matriciel (6.2.1.2) en minimisant sa norme quadratique, c’est-`a-dire en trouvant le vecteur ρ ∈ RNpixel tel que la norme1 du r´esidu ||D × ρ − O||2 soit minimale. Num´eriquement, ce type de probl`eme peut
ˆetre trait´e par des algorithmes it´eratifs.
1. La norme ||.||2est d´efinie sur Rn de la mani`ere suivante : ∀v ∈ Rn, ||v||2= s
n
P
i=0
6.2. Reconstruction de la carte de densit´e 150 Les ´el´ements de la matrice D peuvent ˆetre calcul´es en connaissant parfaitement la g´eom´etrie de la dalle et les couples de pixels des d´etecteurs choisis. Enfin, les ´el´ements du vecteur O doivent ˆetre estim´es. Pour ce faire, nous allons appliquer le sch´ema probl`eme direct - probl`eme inverse pr´esent´e dans la section 3.2.3. La dalle jouera le rˆole d’objet avec son jeu de param`etres, `a savoir le vecteur de densit´e ρ. Le nombre de muons incidents lors d’une mesure `a blanc Nφi et le nombre de muons transmis Nti dans chaque cˆone d’acceptance joueront le rˆole des donn´ees.
Figure 6.1 : Sch´ematisation de la pixellisation de la dalle. Le cˆone d’acceptance d´efini par le couple de pixels i est d´efini en vert. Le muon k g´en´er´e tombe dans ce cˆone.
6.2.2
Probl`eme direct
Dans le probl`eme direct, tous les param`etres du probl`eme sont connus afin de pouvoir simuler a priori les donn´ees qui seront r´ecolt´ees. Dans notre cas, nous voulons calculer le nombre de muons incidents Nφi et transmis Nti dans chaque cˆone d’acceptance en connaissant la densit´e dans chaque pixel de la dalle, et donc en connaissant l’opacit´e travers´ee. La g´en´eration des ´ev`enements se passe de la mani`ere suivante. Ngen muons sont
g´en´er´es, chacun avec un angle θk et une ´energie Ek. Cette derni`ere est compar´ee `a l’´energie
minimale Emin
k , c’est-`a-dire l’´energie en-dessous de laquelle le muon ne peut pas franchir
la dalle. Cette ´energie minimale est calcul´ee `a partir de l’opacit´e de mati`ere travers´ee,
ωk = Npixel
P
j=0
d’acceptance i, alors Nφi sera incr´ement´e de 1. Si par ailleurs l’´energie Ek est sup´erieure `a l’´energie minimale Emin
k , alors Nti sera incr´ement´e de 1. `A la fin de cette proc´edure, nous connaissons pour chaque couple de pixels de d´etecteurs Nti et Nφi sachant l’opacit´e ωi.
6.2.3
Probl`eme inverse
L’id´ee est maintenant de retrouver les valeurs d’opacit´e ωi pour chaque cˆone d’accep-
tance i en utilisant les valeurs de Nti et de Nφi trouv´ees `a partir du probl`eme direct. C’est pour cette raison que le probl`eme direct doit ˆetre connu le plus pr´ecis´ement possible pour diminuer les erreurs lors de la reconstruction dans le probl`eme inverse. Pour remonter `
a l’opacit´e ωi, nous devons utiliser l’´equation (2.4.2.6) qui fait le lien entre l’´energie
minimale Emin
i , ´energie `a partir de laquelle les muons peuvent traverser la dalle, et
l’opacit´e dans une direction donn´ee. La fraction de muons absorb´es fabs
i pour un cˆone d’acceptance i est d´efinie comme
le rapport entre le nombre de muons ayant une ´energie inf´erieure `a l’´energie minimale et le nombre de muons total arrivant dans ce cˆone i. Ainsi fiabs peut ˆetre exprim´ee de la mani`ere suivante :
fiabs= REimin 0 ΦµI(E)dE R∞ 0 ΦµI(E)dE , (6.2.3.1)
avec ΦµI le flux de muons `a ciel ouvert. Grˆace `a cette d´efinition, on peut relier E
min i
` a fabs
i . Par ailleurs, la fraction de muons absorb´es peut ´egalement ˆetre d´efinie, en
notant par la relation suivante :
fiabs = Nφi− Nti
Nφi
. (6.2.3.2)
Ainsi, nous pouvons acc´eder `a la valeur de fiabset remonter `a celle de Eiminet donc de ωi.
6.2.4
R´esolution par d´ecomposition en valeurs singuli`eres
Comme dit pr´ec´edemment, l’objectif principal ici est de r´esoudre le syst`eme matriciel
O = D × ρ en trouvant le vecteur ρ ∈ RNpixel tel que ||D × ρ − O||2
2 soit minimal. Pour
r´esoudre de tels syst`emes, il existe de nombreuses m´ethode de minimisation.
Consid´erons le syst`eme Ax = y avec A ∈ Rm×n, x ∈ Rn, y ∈ Rm et (n, m) ∈ N2.
Supposons que la matrice A et le vecteur y sont connus. Trois cas s’offrent `a nous : 1. Syst`eme ´equi-contraint m = n : si det(A) 6= 0, le syst`eme admet une unique solution
x = A−1y. A−1 peut ˆetre calcul´ee num´eriquement, toutefois ces calculs peuvent ˆetre tr`es coˆuteux et num´eriquement instables.
6.2. Reconstruction de la carte de densit´e 152 2. Syst`eme sur-contraint m ≥ n : le syst`eme n’admet en g´en´eral pas de solutions. 3. Syst`eme sous-contraint m ≤ n : le syst`eme admet une infinit´e de solutions.
Les cas 2 et 3 sont des cas plus g´en´eraux et leur r´esolution reposent sur la d´ecomposition de matrices. La m´ethode la plus g´en´erale2 est la d´ecomposition de matrices en valeurs
singuli`eres ou SVD (Singular Value Decomposition). La d´ecomposition SVD n’impose aucune condition de rang ou de dimension sur la matrice consid´er´ee. Elle permet pour une matrice A de dimension m×n et de rang r, de justifier l’existence de matrices orthogonales3
U ∈ Rm×m et V ∈ Rn×n et de l’unicit´e4 d’une matrice diagonale Σ ∈ Rm×n nulle, except´e
les r premiers ´el´ements diagonaux strictement positifs σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0 telles que :
A = U × Σ × VT, (6.2.4.1) o`u Vt est la matrice transpos´ee de V. Maintenant r´esolvons le syst`eme initial :
||Ax − y||2 = ||UT(AV VTx − y)||2
= ||UT(U ΣVTV VTx − y)||2 = ||ΣVTx − UTy||2. En notant z = VTx et q = UTy, on obtient : ||Ax − y||2 2 = ||Σz − q|| 2 2 = r X i=1 (σizi− qi)2+ m X i=r+1 q2i.
On trouve que cette norme est minimale pour :
zi =
( qi
σi pour 1 ≤ i < r,
quelconque pour i ≥ r + 1. (6.2.4.2)
La solution est obtenue grˆace `a la relation suivante :
x = V z avec xi = r X j=1 uTijyj σj vij, (6.2.4.3)
2. Dans le sens o`u elle s’applique `a toute matrice rectangulaire m × n.
3. Une matrice carr´ee M est orthogonale si et seulement si elle v´erifie MTM = M MT = I
n, avec MT
la matrice transpos´ee de M et In la matrice identit´e.
4. Si A = U ΣVT, alors AtA = V ΣtΣVT. Ainsi les matrices AtA et ΣtΣ, toutes deux sym´etriques
d´efinies positives et donc diagonalisables, sont semblables et partagent les mˆemes valeurs propres
σ2
o`u on a not´e V = (vij)1≤i,j≤n et UT = (uij)1≤i,j≤m. Si la matrice A et de rang maximal,
c’est-`a-dire rg(A) = n, alors la solution est unique. Sinon il existera une infinit´e de solutions, dont celle de norme minimale obtenue pour zi = 0 avec i ≥ r + 1. Ce
r´esultat nous permet ´egalement d’estimer la sensibilit´e de la solution x en pr´esence d’une perturbation δy sur les donn´ees, due par exemple aux erreurs de mesure effectu´ees sur y. Notons y + δy la mesure perturb´ee et x + δx la solution perturb´ee du syst`eme
Ax = y. Par lin´earit´e, l’erreur sur la solution x sera :
δxi = r X j=1 uT ijδyj σj vij. (6.2.4.4)
On peut montrer `a partir de l’´equation (6.2.4.4) que ||δx||2 est major´ee par ||z||σr2, avec
σrla plus petite des valeurs singuli`eres pour une matrice de rang r. Ainsi, dans le cas o`u la
plus petite valeur singuli`ere est petite, l’amplification de l’erreur peut devenir dramatique. Cette situation se rencontre lorsque le troisi`eme crit`ere d’Hadamard (cf section 3.2.3), `a savoir la d´ependance continue de la solution vis-`a-vis des donn´ees, n’est pas respect´ee5 :
dans ce cas plusieurs solutions relativement ´eloign´ees peuvent r´esoudre le syst`eme Ax = y. La m´ethode SVD permet donc de d´ecomposer la matrice du syst`eme de telle mani`ere qu’on puisse r´esoudre des probl`emes lin´eaires de mani`ere robuste avec une stabilit´e algorithmique. N´eanmoins, son coˆut est plus ´elev´e que certaines autre m´ethodes (comme la m´ethode QR qui permet de factoriser des matrices M ∈ Rm×n avec m ≥ n grˆace `a
des matrices triangulaires sup´erieures d’ordre n, mais dont la limite r´eside dans la taille raisonnable du syst`eme `a inverser). Les r´esultats de la section suivante ont ´et´e obtenus via la d´ecomposition SVD et en utilisant les librairies TDecompoSVD de ROOT [5].