6.3 R´ esultats
6.3.1 R´ esultats avec le mod` ele Shukla
Comme expliqu´e pr´ec´edemment, la r´esolution de notre probl`eme repose sur trois param`etres ind´ependants :
— Ngen le nombre de muons g´en´er´es,
— Npixel= NpixelX× NpixelZ le nombre de pixels dans la dalle, et qui est d´efini `a partir du nombre de pixels en X et en Z,
5. Le cas pr´esent´e dans ce document se place en dimension finie. N´eanmoins, en dimension infinie, la non continuit´e des solutions vis-`a-vis des donn´ees est plus visible pour les probl`emes mal pos´es. En effet, si x0 = x + est une solution perturb´ee du syst`eme dans un espace vectoriel norm´e E, alors on peut montrer que pour des probl`emes mal pos´es, ||x0− x||E ne peut ˆetre born´ee, avec || · ||E la norme d´efinie
6.3. R´esultats 154
Figure 6.2 : Sch´ematisation de la dalle prise en compte lors de la g´en´eration des ´ev`enements. Les lignes vertes repr´esentent le bord du cˆone d’acceptance du t´elescope d´efini par les deux plans de d´etection bleus. La dalle choisie sera celle d´elimit´ee par ce cˆone d’acceptance, c’est-`a-dire la dalle rouge.
— Ndir= Ndir1 × Ndir2 qui est d´efini en fonction du nombre de pixels sur les plans de
d´etection.
Nous allons donc faire varier de mani`ere ind´ependante chacun de ces param`etres afin de voir leur influence sur la r´esolution du probl`eme. Par ailleurs, dans ces premiers r´esultats, la dalle g´en´er´ee est totalement comprise dans le cˆone d’acceptance du t´elescope, de telle sorte que les effets de bords n’entrent pas en jeu. Ainsi, les muons sont g´en´er´es comme le montre la figure 6.2. Le mod`ele de flux utilis´e pour ces ´etudes est celui de Shukla pr´esent´e dans le chapitre 3.
Test de l’algorithme
Une des mani`eres de tester les performances de l’algorithme d´evelopp´e est de regarder sa r´eponse dans le cas le plus simple, `a savoir une dalle avec un seul pixel en X et en Z, et une g´en´eration de muons avec un angle θ = 0 et Xgen = 0. Ainsi, nous simulons
un faisceau de muons juste au-dessus de la dalle et dans le maximum d’acceptance du t´elescope. La figure montre l’´evolution de l’erreur relative ρ = (ρsimulation− ρcible)/ρcible
faite sur la reconstruction en fonction du nombre de muons g´en´er´es Ngen. On observe
que cette erreur relative, initialement de 10−2, diminue drastiquement jusqu’`a 10−4 et converge avec une pente en 1/qNgen. Ce test confirme donc la qualit´e de reconstruction
de notre algorithme et nous autorise `a tester plusieurs combinaisons des trois param`etres de notre probl`eme, `a savoir Ngen, Npixel et Ndir.
Figure 6.3 : Variation de l’erreur relative (en %) sur ρ en fonction de Ngen pour une dalle
compos´ee d’un pixel en X et en Z avec un faisceau de muons incidents en θ = 0 et Xgen= 0. La
courbe rouge est l’ajustement de la fonction f (x) = p0/ √
x + p1 avec les donn´ees. Les param`etres libres de cet ajustement sont p0 et p1.
Influence de Ngen
Dans cette partie, nous avons fait varier le nombre de muons g´en´er´es entre 104 et 109
muons. On note ∆X (respectivement ∆Z) la longueur de la dalle (respectivement son ´epaisseur) et σX (respectivement σZ) la r´esolution spatiale en X de la pixellisation de la
dalle. La dalle consid´er´ee, d´ecrite par Npixel= 4×4 = 16 pixels, a les dimensions suivantes :
∆X = 1750 mm, ∆Z = 500 mm, soit une r´esolution σX = 437.5 mm et σZ = 125 mm. Le
nombre de pixels sur les d´etecteurs est de Ndir = 25 × 25 = 625. Le mod`ele choisi pour
g´en´erer les angles et les ´energies des muons est le mod`ele de Shukla (cf section 3.4.1). La figure 6.4 illustre l’influence de la variation de Ngen sur les valeurs de densit´es
reconstruites. On observe que les densit´es dans chaque pixel de la dalle ´etudi´ee convergent vers la valeur cible de ρ = 2.33 g · cm3. Cette convergence s’explique par des effets statistiques : plus Ngen augmente, plus le nombre de muons collect´es dans chaque pixel
de d´etecteurs est significativement grand pour r´eduire l’erreur statistique.
Cette convergence peut ´egalement s’expliquer au vu du comportement des valeurs singuli`eres. En effet on observe sur la figure 6.5 que la plus petite des valeurs singuli`eres
6.3. R´esultats 156
Figure 6.4 : Variation de la densit´e reconstruite en fonction de Ngen. Chaque ligne correspond
`
a la valeur de ρ pour un pixel donn´e dans la dalle. La ligne rouge repr´esente la valeur cible, `a savoir ρ = 2.33 g · cm3.
augmente avec Ngen. Or, comme expliqu´e dans la section 6.2.4, l’erreur sur les ´el´ements
du vecteur solution du syst`eme est inversement proportionnelle aux valeurs singuli`eres. Ainsi l’augmentation de la plus petite des valeurs singuli`eres `a tendance `a diminuer l’erreur sur la reconstruction finale. On s’aper¸coit que l’erreur relative ρ sur les valeurs
de densit´e reconstruites est de plus ou moins 10% `a partir de Ngen = 108, comme
le montre la figure 6.6.
Figure 6.5 : Variation des valeurs singuli`eres en fonction de Ngen. Chaque ligne correspond `a
une valeur singuli`ere.
On peut ´egalement s’int´eresser `a l’´evolution de l’erreur moyenne dans la dalle en fonction de Ngen. Les effets statistiques ´etant control´es par Ngen, on s’attend, d’apr`es le
th´eor`eme de la limite centrale, `a ce que l’´evolution de l’erreur soit en 1/qNgen. Apr`es
ajustement des donn´ees, et comme le montre la figure 6.7, on obtient une pente Ngen−0.71±0.13.
Influence de Ndir
D´esormais Ngen est fix´e `a 108 et de faire varier le param`etre Ndir entre 16 (4 × 4),
100 (10 × 10), 625 (25 × 25), 2500 (50 × 50) et 10 000 (100 × 100), soit une r´esolution spatiale respective sur chaque d´etecteur de 125 mm, 50 mm, 20 mm, 10 mm et 5 mm. La dalle d´efinie pr´ec´edemment reste la mˆeme.
Figure 6.6 : Erreur relative ρ sur les valeurs de densit´e reconstruites en fonction de Ngen.
Chaque ligne correspond `a la valeur de ρ pour un pixel donn´e dans la dalle. La bande grise
repr´esente une erreur `a plus ou moins 10%.
Figure 6.7 : Variation de l’erreur relative ρ (en %) en fonction de Ngen. La courbe rouge
repr´esente l’ajustement entre les donn´ees et la fonction f (x) = p0xp2+ p1, avec p0, p1 et p2 les param`etres libres de l’ajustement.
La figure 6.8 montre l’´evolution des erreurs relatives sur les densit´es reconstruites pour chaque pixel en fonction de√Ndir. On observe une convergence des solutions dans
la bande `a plus ou moins 10% pour √Ndir compris entre 25 et 50, soit une r´esolution
spatiale comprise entre 20 mm et 10 mm, puis une rapide divergence. Cette derni`ere peut s’expliquer par des effets statistiques : puisque les pixels deviennent de plus en plus petits, ils collectent de moins en moins de muons.
6.3. R´esultats 158
Figure 6.8 : Erreur relative sur les valeurs de densit´e reconstruites en fonction de √Ndir.
Chaque ligne correspond `a la valeur de ρ pour un pixel donn´e dans la dalle. La bande grise
repr´esente une erreur `a plus ou moins 10%.
Influence de Npixel
Ndir et Ngen sont fix´es respectivement `a 25 × 25 et 108 et Npixel varie. La variation de
ce param`etre va nous permettre de tester le comportement de la r´esolution en fonction de la taille du syst`eme `a r´esoudre. Nous avons fait varier Npixel de 1 (1 × 1) `a 100 (10 × 10),
soit une variation de r´esolution de σX = 1750 mm et σZ = 500 mm `a σX = 175 mm
et σZ = 50 mm. Si l’on s’int´eresse aux erreurs relatives sur les densit´es reconstruites,
ces derni`eres n’exc`edent pas 12% pour une dalle avec 4 × 4 = 16 pixels, soit une r´esolution spatiale de σX = 437.5 mm et σZ = 125 mm. Au-del`a, bien que pour certains
pixels, l’erreur relative soit relativement faible, l’erreur relative moyenne diverge avec le nombre de pixels dans la dalle, comme le montre la figure 6.9 qui repr´esente les cas avec 4 × 4 = 16 et avec 10 × 10 = 100 pixels. Les potentiels biais de reconstruction que l’on peut observer sur la figure 6.9 doivent ˆetre notamment expliquer dans le cas de perspectives qu’ouvre ce travail de th`ese.