Reconstitution du signal réel :

A partir des mesures enregistrées avec un pas de 1 ns est-il possible de reconstituer a posteriori le signal original ? la réponse est : «oui mais sous une condition».

III.4.2.1. Rappel de la théorie du traitement de signal

Soit δ(t−t0)une impulsion de Dirac au temps centré à t = t0. La transformée de Fourier (TF) de cette impulsion est :

T F (δ(t − t₀)) =

Z +∞

−∞

δ(t − t₀) e^−jωtdt = e^−jωt0 = 1 si (t₀ = 0)

Considérons une suite infinie d’impulsions de Dirac de période Te (peigne de Dirac en temps) ^P+∞_−∞δ(t − iT_e), sa transformée de Fourier est donnée par

Z +∞ −∞ X i δ(t − iT_e) e^−jωtdt =^X i e^−jωiTe

Pour toutes les fréquences telles que ωTe 6= 2πn cette somme s’annule. Ces vecteurs s’ajoutent à l’infini pour les fréquences n Fe où Fe est la fréquence d’échantillonnage (ωTe = 2π). La TF d’un peigne de Dirac en temps est donc un peigne de Dirac en fréquence : T F = P

n(f − nF_e) (fig.III.12). t s(t) Te i Te f S(jf) i Fe Fe e e T F = ¹

FIG. III.12.: la TF d’un Peigne de Dirac en temps est un peigne de Dirac en fréquence

Un signal analogique e(t) échantillonné à la période Te peut se réduire à une suite infinie des valeurs e(iTe) que l’on peut écrire :

p(t) = ∞ X −∞ e(t − iT_e)δ(t − iT_e)= e(t) ∞ X −∞ δ(t − iT_e)

un signal échantillonné p(t) est donc le produit du signal avec le peigne de Dirac. Par conséquent, la TF du signal échantillonné est la convolution du peigne de Dirac (en fréquence) et du spectre E(jω).

Peut-on retrouver e(t) à partir de e(t) p(t) ? Évidemment oui si on sait revenir au spectre E(jf) à partir du spectre du signal échantillonné.

Comme on peut le voir sur la figure III.14, ceci est possible en appliquant un filtre de gain 1 dans l’intervalle (contenant le spectre du signal e(t)) et nul en dehors. La seule condition pour reconstituer le signal analogique est donc que le spectre initial E(jf) soit nul en dehors de l’intervalle sinon, il y a recouvrement (aliasing). C’est le théorème de Shannon.

Normalement pour s’assurer que la condition de Shannon est bien res-pectée on ajoute avant le numériseur un filtre «anti-aliasing» qui ne laisse passer que les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d’échan-tillonnage f < Fe

t p(t) Te i Te f P(jf) i Fe Fe t e(t) f E(jf) f ) ( ) (jf P jf E ⊕ t ) ( * ) (t pt e

FIG. III.13.: La TF du signal échantillonné est la convolution du peigne de Dirac (en fréquence) et du spectre du signal continu E(jω)

f ) ( ) (jf P jf E ⊕ t ) ( * ) (t p t e

FIG. III.14.: Reconstitution du signal analogique à partir du spectre du signal échantillonné en appliquant un filtre de gain 1

Dans notre cas nous utilisons un numériseur avec une bande passante de 250 MHz, échantillonnant à 1 GS/s (F_e= 1 GHz). Il n’y a donc pas de re-couvrement et la condition de Shannon est respectée. L’algorithme de trans-formée de Fourier rapide4 (FFT) a été utilisé dans le calcul. La figure III.15

montre le signal échantillonné (avec un pas de 1ns) et le signal sur-échantillonné calculé avec un pas de 125 ps.

En principe, on peut re-construire le signal réel (continu), i.e. on peut

120 140 160 180 200 220 240 0 10 20 30 40 50 120 140 160 180 200 220 240 0 10 20 30 40 50

amplitude (unité arbitraire)

temps neutre (ns)

signal numérisé à 1ns signal numérisé à 1ns

signal sur-echantillionné (pas 125 ps)

FIG. III.15.: points pleins : signal échantillonné (avec un pas de 1ns), points carrés : signal sur- échantillonné calculé avec un pas de 125 ps

sir un pas de sur-échantillonage le plus petit possible (inférieur à 125 ps, par exemple). La précision sur la mesure du temps n’est pas limitée par le pas de sur-échantillonage, mais par la stabilité du numériseur qui est de 80 ps. On pourra donc s’attendre à une résolution en temps meilleure que 100 ps.

III.5. Localisation par une caméra-CCD

Le troisième système de localisation utilise une caméra CCD placée à l’ar-rière d’un écran phosphore. Lorsqu’une particule arrive sur les galettes, elle génère une gerbe d’électrons à la sortie des galettes. Par la suite, la gerbe est accélérée vers l’écran phosphore pour produire des photons. Ces pho-tons sont focalisés sur le capteur de la caméra CCD. Les pixels de la caméra traduisent ces photons en charge électrique permettant à l’électronique de “développer la photo”. L’analyse de l’image finale permet de trouver la posi-tion d’impact de la particule.

Avant d’exposer le principe et la mise au point du système nous commen-cerons par un rappel sur le principe de fonctionnement de la caméra CCD.

III.5.1. Lecture de l’image

La surface sensible de la caméra-CCD est constituée d’une matrice d’élé-ments photosensibles dits pixels. Quand un photon arrive sur un pixel, il est converti en une charge électrique (électrons), qui est accumulée dans le pixel même. La charge accumulée dans chaque pixel est proportionelle à l’inten-sité lumineuse (nombre de photons) reçue par le pixel pendant le temps de l’exposition. A la fin de l’exposition, la charge accumulée dans tous les pixels est transférée par un dispositif CCD5.

L’élément photosensible est souvent comparé à un seau rempli d’eau. De cette analogie vient le terme “full well capacity” i.e. la charge maximale que le pixel peut stocker sans perte de charge vers les pixels adjacents.

Nous utilisons une caméra Dalsa CA-D6. Cette caméra a été choisie parce qu’elle dispose de la vitesse de répétition la plus élevée (955 images / se-conde) qui soit disponible sur le marché en mode continu. La lecture de l’image pour cette caméra se fait par l’intermédiaire d’une zone dite de sto-ckage. Cette dernière est tout à fait équivalente à la première zone pho-tosensible avec la différence fondamentale que cette zone est protégée de la lumière. Ainsi chaque pixel photosensible est associé à son pixel clone non-photosensible. A la fin de la période d’exposition la lecture des données consiste d’abord à transférer le contenu de la zone sensible vers la zone de stockage. Ce transfert est relativement rapide (quelques µs) puisqu’il se fait en parallèle d’un pixel à l’autre. La deuxième étape de la lecture consiste à transférer l’image de la zone de stockage vers la carte d’acquisition. Ce trans-fert se fait par un dispositif CCD (ligne par ligne) sur les quatre registres de sortie. Ce deuxième temps de transfert est relativement lent (1 ms) et c’est lui qui limite principalement la vitesse d’acquisition de la caméra CCD en mode continu.

Il faut noter qu’une fois le premier transfert de la zone photosensible vers la zone de stockage établi, on peut redémarrer une nouvelle exposition (une nouvelle image) après quelques microsecondes ce qui est le temps nécessaire pour réarmer les pixels. Ainsi l’utilisation de la zone tampon permet, dans certains cas, de multiplier par deux la vitesse d’acquisition de la caméra. Ce système permet de plus d’avoir des temps d’exposition égaux pour tous les pixels.

On peut encore gagner sur la vitesse “effective” de la caméra en n’effectuant un transfert de l’image que si cela est justifié à l’aide de critères externes. On évite ainsi de transférer les images inutiles. On redémarre directement l’acquisition d’une nouvelle image sans être limité par le temps de transfert de l’image (cf. III.10.1).