Recherche d’un K R -automorphisme

III.3 Recherche d’unK_R-automorphisme

Dans la suite, on fixeΩ:= (ω₁, . . . ,ω_d)uneQ-base deK. De plus, pour tout 1¶ j¶n, on

pose

Λj:=a₁a⁻_j¹b₁⊕ · · · ⊕a_na⁻_j¹b_n.

III.3.1 Automorphisme partiel

Commençons par modifier la notion originale d’automorphisme partiel:

Définition III.3.1 Soit1¶m¶n. On appelle m-automorphisme partiel deΛ(suivantBetΩ)

tout m-upletV:= (v₁, . . . ,v_m)d’éléments de K_Rⁿ tel que

(i) v_j∈Λj pour tout1¶ j¶m.

(ii) 〈ω_kv_i|ω_lv_j〉=〈ω_kb_i|ω_lb_j〉pour tous1¶i,j¶m et1¶k,l¶d.

En particulier, en vertu de laProposition III.2.2, unn-automorphisme partielV deΛdéfinit

un K_R-automorphisme f ∈ Aut_K

_R

(Λ) en posant f(b_i) = v_i pour tout 1 ¶ i ¶ n.

Récipro-quement, un élément de Aut_K

R

(Λ)définit de la même manière un n-automorphisme partiel

deΛ. Nous déterminons donc un K_R-automorphisme de Λen complétant récursivement un

1-automorphisme partiel en un n-automorphisme partiel. Néanmoins, un m-automorphisme

partiel ne peut pas toujours être complété en unn-automorphisme partiel. Ainsi, même s’il est

raisonnablement aisé de tester si la complétion du rangmau rangm+1 est possible, il est

souhaitable de disposer d’une méthode permettant d’éliminer rapidement les automorphismes

partiels qui ne finiront pas par donner un élément de Aut_K

R

(Λ). Avant d’introduire plusieurs

invariants permettant d’effectuer de tels tests, remarquons que cette approche récursive est

effectuée sur un nombrefinide possibilités :

Proposition III.3.2 Pour tout1¶m¶ n, l’ensemble des m-automorphismes partiels deΛest

fini.

Démonstration. Remarquons que puisque l’ensemble desn-automorphismes partiels deΛest

exactement Aut_K

R

(Λ), nous avons déja démontré ce résultat de finitude pourm= ndans la

Proposition II.3.25. Pour tout 1¶ j¶nconsidérons

S_j(Λ,B,Ω):=

x∈Λj : 〈ω_kx|ω_lx〉=〈ω_kb_j|ω_lb_j〉 ∀1¶k,l¶d .

Par définition même, unm-automorphisme partiel deΛa ses éléments dans

S₁(Λ,B,Ω)× · · · ×S_m(Λ,B,Ω),

etS_j(Λ,B,Ω)est un ensemble fini pour tout 1¶ j¶n. En effet,ω_1Λjest un réseau algébrique

deK_Rⁿ et on a

S_j(Λ,B,Ω)⊂ω⁻₁¹·y∈ω₁Λj : kyk=kω_jb_jk . (III.1)

D’où le résultat annoncé.

Chapitre III. Extension de l’algorithme de Plesken et Souvignier 81

Comme nous le remarquerons dans le chapitre suivant (voir la Section IV.2.2), le calcul

des ensemblesS_j(Λ,B,Ω)est une tâche difficile, qui est vraisemblablement la partie la plus

coûteuse de l’algorithme. Notons que ces ensembles sont calculables en s’appuyant sur

l’in-clusion (III.1) puis en utilisant l’algorithme énumératif de Fincke et Pohst[FP85, §2]une fois

le réseauω₁Λj identifié à un réseau euclidien deR^nd. Nous détaillons le calcul pratique de

ces ensembles dans laSection V.4.1.1. Dans la suite, nous supposerons que ces ensembles ont

été précalculés. Cette hypothèse est déjà présente dans l’algorithme original de Plesken et

Souvignier, qui nécessite le précalcul des ensembles{x∈Λ : kxk=kb_ik}, où(b₁, . . . ,b_n)est

une base du réseau euclidien considéré.

III.3.2 Invariants pour le prolongement d’un automorphisme partiel

III.3.2.1 Empreinte d’une pseudo-base

Une première idée, connue dans le cas euclidien depuis les travaux de Plesken et Pohst

[PP85, §3], est d’utiliser le résultat suivant :

Proposition III.3.3 SoientV_{un m-automorphisme partiel de}Λ(avec1¶m<n) et f ∈Aut_K

R

(Λ).

Le nombre d’éléments deΛm+1permettant de prolongerV en un(m+1)-automorphisme partiel

est égal au nombre d’éléments deΛm+1 permettant de prolonger f(V):= (f(v₁), . . . ,f(v_m))en

un(m+1)-automorphisme partiel.

Démonstration. Pour tout x ∈Λm+1,(V,x)est un(m+1)-automorphisme partiel si et

seule-ment si(f(V),f(x))en est un.

Corollaire III.3.4 Si un m-automorphisme partielV se prolonge en un automorphisme de Λ,

le nombre de prolongements deV en un (m+1)-automorphisme partiel est égal au nombre de

prolongements de(b₁, . . . ,b_m)en un(m+1)-automorphisme partiel.

Cette propriété fournit un premier test pour vérifier si un automorphisme partiel est

poten-tiellement prolongeable en unK_R-automorphisme deΛ. Il est pour cela nécessaire de calculer

le nombre de prolongements possibles de(b₁, . . . ,b_m)en un(m+1)-automorphisme partiel

pour tout 1¶m<n. Cette donnée est appeléeempreinte de la pseudo-baseB(suivantΩ).

Une permutationτ ∈S_n de la pseudo-baseB permettant de minimiser ces valeurs est

également déterminée. Permuter les éléments de la pseudo-base initiale ne nécessite pas de

recalculer les ensemblesS_j(Λ,B,Ω). En effet, si on noteB^τ la pseudo-base deΛformée de

B^τ:= (b_τ(1), . . . ,b_τ(n))etA^τ:= (a_τ(1), . . . ,a_τ(n)), on montre sans difficultés que

S_j(Λ,B^τ,Ω) =S_τ(j)(Λ,B,Ω)^τ,

oùτagit sur K_Rⁿ par permutation des coordonnées. Dans un souci de clarté et de lisibilité,

nous supposerons dans la suite que la permutationτest égale à l’identité. L’Algorithme III.1

82 III.3. Recherche d’unK_R-automorphisme

Données :

• Une pseudo-base B de Λ.

• Une Q-base Ω de K.

• Les ensemble S_j(Λ,B,Ω) pour 1¶j¶n.

Résultat :

• L’empreinte E de B suivant Ω.

• La permutation τ minimisant l’empreinte.

1

calculer τ(1) tel que

_S

τ(1)(Λ,B,Ω)

_=min

1¶j¶n

_S

j(Λ,B,Ω)

_.

2

E₁:=

_Sτ(1)(Λ,B,Ω)

_.

3

pour 2¶i¶n faire

4

pour 1¶j¶n faire

5

si j∈ {τ(1), . . . ,τ(i−1)} alors

6

F_i,j:=0.

7

sinon

8

F_i,j:=

x∈F_1,j :〈ω_kx|ω_le_σ(h)〉=〈ω_kb_j|ω_le_σ(h)〉 ^∀_∀¹₁^¶_¶^k_h^,_<^l¶_i ^d

^.

9

calculer τ(i) tel que

F_i,τ(i)

_{=min 1¶j¶n}

j∈{/ τ(1),...,τ(i−1)}

F_i,j

_.

10

E_i:=

F_i,τ(i)

_.

11

retourner E et τ.

Algorithme III.1 - Calcul de l’empreinte d’uneK_R-base.

III.3.2.2 Combinaisons scalaires

Comme remarqué dans[PS97, §5], l’empreinte seule n’est parfois pas suffisante pour

éli-miner rapidement les automorphismes partiels qui ne définissent pas unK_R-automorphisme

deΛ. C’est pourquoi la notion decombinaison scalaireest introduite.

SoientV unm-automorphisme partiel deΛets= (s_k,l,j)¹₁^¶_¶^k_j¶^,l¶_m^d∈R^md

²

. On pose :

X_s(V):=

x ∈S_m+1(Λ,B,Ω) : 〈ω_kx|ω_lv_j〉=s_k,l,j ∀1¶k,l¶d

∀1¶ j¶m

et

b

X_s(V):= X

x∈Xs(V)

x.

Puisque lesX_s(V)sont inclus dansS_m+1(Λ,B,Ω), l’ensemble¦

b

X_s(V) : s∈R^md

²

©

est fini. On

l’appelle l’ensemble dessommes de combinaisons scalaires associées àV _(suivantB etΩ). En

utilisant laProposition III.2.2, on montre que f ∈Aut_K

R

(Λ)préserve les ensemblesS_j(Λ,B,Ω).

On en déduit la proposition suivante.

Chapitre III. Extension de l’algorithme de Plesken et Souvignier 83

Données :

• Un m-automorphisme partiel V de Λ.

• Une Q-base Ω de K.

• L’ensemble S(Λ,B,Ω).

Résultat :

• Une K-base X extraite des _Xb_s(V), donnée par des indices (s₁, . . . ,s_h).

• L’ensemble

〈ω_kX_i|ω_lX_j〉 : ^1¶k,l¶d

1¶i,j¶h

.

• Les coordonnées des _Xb_s(V) dans la base X.

1

pour x∈S(Λ,B,Ω) faire

2

pour 1¶k,l¶det1¶ j¶m faire

3

s_k,l,j:=〈ω_kx|ω_lv_j〉.

4

soit s= (s_k,l,j). Ajouter x à Xb_s(V).

5

extraire une K-base X = (X₁, . . . ,X_h) des _Xb_s(V).

6

déterminer les indices (s₁, . . . ,s_h) tels que X_i=_Xb_s

i

(v₁, . . . ,v_m) pour tout 1¶i¶h.

7

pour chaque _Xb_s(V) faire

8

écrire Xs(V) =P_h

i=1λ_s,iX_i avec λ_s,i∈K.

9

pour 1¶k,l¶det1¶i,j¶h faire

10

G_i,j,k,l:=〈ω_kX_i|ω_lX_j〉.

11

retourner (s₁, . . . ,s_h), (λ_s,i) et G.

Algorithme III.2 - Calcul des combinaisons scalaires liées à un automorphisme partiel.

Proposition III.3.5 Soit f ∈Aut_K

R

(Λ). Pour tous1¶m¶n et s∈R^md

²

, l’application f induit

une bijection entre X_s(b₁, . . . ,b_m)et X_s(f(b₁), . . . ,f(b_m)). En particulier, on a

f(Xb_s(b₁, . . . ,b_m)) =Xb_s(f(b₁), . . . ,f(b_m)).

Cette proposition fournira une seconde condition (détaillée dans la prochaine section) pour

qu’un automorphisme partiel puisse être prolongé en unK_R-automorphisme deΛ. Avant cela,

il est nécessaire de précalculer pour tout 1¶ m¶ nles combinaisons scalaires associées à

(b₁, . . . ,b_m)sous la forme suivante :

(a) On extrait une K-base X := (X₁, . . . ,X_h) de l’ensemble des Xb_s(b₁, . . . ,b_m), donnée par

des indices (s₁, . . . ,s_h), de telle façon queX_i = Xb_s

i

(b₁, . . . ,b_m) pour tout 1¶ i¶ h.

No-tons que si V est un m-automorphisme partiel de Λ, pour tout s ∈ R^md

²

, Xb_s(V) est un

élément de Vect_K(Λ). En particulier, l’ensemble des combinaisons scalaires associées à un

automorphisme partiel deΛest de dimension au plusnsurK.

(b) On calcule l’ensemble

〈ω_kX_i|ω_lX_j〉 : ^1¶k,l¶d

1¶i,j¶h

.

(c) On détermine lesK-coordonnées desXb_s(b₁, . . . ,b_m)dans la baseX.

84 III.3. Recherche d’unK_R-automorphisme

III.3.3 Test d’un candidat et bilan

SoitV unm-automorphisme partiel deΛ. À partir des deux algorithmes précédents, nous

construisons une méthode permettant de tester siVpeut être prolongé en unK_R-automorphisme

deΛ. Soulignons néanmoins que les conditions que nous testons sontnécessaires mais

générale-ment non suffisantes: il est possible qu’un automorphisme partiel passe ces tests sans finalement

définir unK_R-automorphisme deΛ. SoitC l’ensemble des élémentsx ∈S_m+1(Λ,B,Ω)tels que

(V,x)soit un(m+1)-automorphisme partiel.

(1) D’après leCorollaire III.3.4, si le cardinal deC n’est pas égal au nombre de prolongements

de(b₁, . . . ,b_m)en un(m+1)-automorphisme partiel (précalculé par l’empreinte), alorsV

n’est pas prolongeable en un automorphisme deΛ.

(2) On calcule lesXb_s(V)pours∈R^md

²

. Si la baseX du point (a) est donnée par des indices

(s₁, . . . ,s_h), on pose ensuiteXe_i :=Xb_s

i

(V). SiV se prolonge en f unK_R-automorphisme de

Λ, en vertu de laProposition III.3.5, f(X_i) =Xe_i. Cependant, f(X_i)n’est généralement pas

calculable en connaissant seulementV. C’est pourquoi on effectue plutôt les tests suivants :

(i) On vérifie que〈ω_kXe_i|ω_lXe_j〉=〈ω_kX_i|ω_lX_j〉pour tous 1¶i,j¶het 1¶k,l¶dà

l’aide des données du point (b). D’après laProposition III.2.2, siVse prolonge en f,

ces égalités sont vérifiées.

(ii) En utilisant les données du point (c), chaqueXb_s(b₁, . . . ,b_m)s’écrit

b

X_s(b₁, . . . ,b_m) =

h

X

i=1

λ_s,iX_i.

On teste alors siXb_s(V) =P_h

i=1λ_s,iXe_i pour touts∈R^nd

²

. En effet, siV se prolonge

en f, on obtient en utilisantProposition III.3.5:

f(Xb_s(b₁, . . . ,b_m)) =Xb_s(V) =

h

X

i=1

λ_s,if(X_i) =

h

X

i=1

λs,iXe_i.

L’Algorithme III.3implante cette phase de tests.

On en déduit enfin un algorithme permettant de déterminer un K_R-automorphisme de

Λ. On suppose que l’empreinte et les sommes de vecteurs deBsont précalculées à l’aide de

l’Algorithme III.1et de l’Algorithme III.2.

(1) On choisit un élémentv₁parmi l’ensembleS₁(Λ,B,Ω)des 1-automorphismes partiels de

Λ.

(2) Supposons déterminéV un m-automorphisme partiel deΛ. Si m= n,V définit un K_R

-automorphisme de Λ. Dans le cas contraire, on calcule l’ensemble C des éléments

x∈S_m+1(Λ,B,Ω)tels que(V,x)soit un(m+1)-automorphisme partiel, donné par

C :=

x∈S_m+1(Λ,B,Ω) : 〈ω_kx|ω_lv_j〉=〈ω_kb_m+1|ω_lb_j〉 ^∀_∀¹₁^¶_¶^k_j^,_¶^l¶_m^d

Chapitre III. Extension de l’algorithme de Plesken et Souvignier 85

On choisit x∈C et on s’assure à l’aide de l’Algorithme III.3que(V,x)est un bon candidat

pour fournir un K_R-automorphisme de Λ. Si (V,x) passe ce test avec succès, on pose

v_m+1 = x et on passe à l’étape suivante. Sinon, un autre x ∈ C est choisi. Si toutes

les possibilités dans C sont épuisées, c’est que V ne peut pas être prolongé en un K_R

-automorphisme deΛ: on retourne donc à l’étape précédente.

Remarquons que cette méthode (Algorithme III.4) est aisément modifiable pour permettre le

prolongement (si possible) d’un automorphisme partiel en unK_R-automorphisme deΛ.

Données :

• Un m-automorphisme partiel V de Λ et l’ensemble C des candidats pour

prolonger V.

• L’ensemble S(Λ,B,Ω).

• L’empreinte E de la pseudo-base B initiale de Λ donnée par

l’Algorithme III.1.

• Les données (s₁, . . . ,s_h), (λ_s,i) et G associées aux combinaisons scalaires de

(b₁, . . . ,b_m) renvoyées par l’Algorithme III.2.

• Une Q-base Ω de K.

Résultat :

• Le résultat des tests de l’empreinte et des combinaisons scalaires sur V.

1

si |C| 6=E_m alors

2

retourner faux.

3

pour x∈S(Λ,B,Ω) faire

4

pour 1¶k,l¶det1¶ j¶m faire

5

s_k,l,j:=〈ω_kx|ω_lv_j〉.

6

soit s= (s_k,l,j). Ajouter x à _Xb_s(V).

7

pour 1¶i¶h faire

8

Xe_i:=Xb_s

_i

(V).

9

pour 1¶j¶iet1¶k,l¶d faire

10

si 〈ω_kXe_i|ω_lXe_j〉 6=G_i,j,k,l alors

11

retourner faux.

12

pour chaque _Xb_s(V) faire

13

si _Xb_s(V)6=P_h

i=1λ_s,iXe_i alors

14

retourner faux.

15

retourner vrai.

86 III.3. Recherche d’unK_R-automorphisme

Données :

• Une pseudo-base B de Λ.

• Les ensemble S_j(Λ,B,Ω) pour 1¶j¶n.

• L’empreinte E de pseudo-base initiale de Λ, donnée par l’Algorithme III.1.

• Les données des combinaisons scalaires de (b₁, . . . ,b_m) pour 1¶m<n

renvoyées par l’Algorithme III.2.

• Une Q-base Ω de K.

Résultat :

• Un K_R-automorphisme de Λ.

1

C₁:=S₁(Λ,B,Ω).

2

i:=1.

3

tant que i¶m−1 faire

4

si i=1 alors

5

choisir v₁∈C₁.

6

C₁=C₁\ {v₁}.

7

C₂:={x∈S₂(Λ,B,Ω) : 〈ω_kx|ω_lv₁〉=〈ω_kb₂|ω_lb₁〉 ∀1¶k,l¶d}.

8

si estCandidat(v₁) (Algorithme III.3) alors

9

i=i+1.

10

sinon

11

retourner à l’étape 5.

12

sinon

13

si C_i=; alors

14

i=i−1.

15

sinon

16

choisir v_i∈C_i.

17

C_i=C_i\ {v_i}.

18

C_i+1:=

x∈S_i+1(Λ,B,Ω) :〈ω_kx|ω_lv_j〉=〈ω_kb_i+1|ω_lb_j〉 ^∀_∀¹₁^¶_¶^k_j^,_¶^l¶_i ^d

.

19

si estCandidat(v₁, . . . ,v_i) (Algorithme III.3) alors

20

i=i+1.

21

sinon

22

retourner à l’étape 13.

23

choisir v_m∈C_m.

24

retourner (v₁, . . . ,v_m).

Chapitre III. Extension de l’algorithme de Plesken et Souvignier 87

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