Graphes, réseaux et problèmes algorithmiques

IV.2.1 Graphes et isomorphismes

Le but de ce paragraphe est d’introduire la notion d’isomorphisme de graphes et les

pro-blèmes algorithmiques qui y sont reliés.

Définition IV.2.1 Un graphe G est une paire(V,E)telle que :

• V est un ensemble fini, dont les éléments sont appelés les sommets de G.

• E est un sous-ensemble de V×V tel que pour tout couple(v,w)∈E, on a(w,v)∈E. Les

éléments de E sont appelés les arrêtes de G.

Les graphes que nous considérons sont donc finis et non orientés. De plus, ils peuvent

contenir des boucles (c’est-à-dire des arrêtes de la forme(v,v) avec v ∈ V) mais pas

d’ar-rêtes multiples (c’est-à-dire qu’il ne peut pas y avoir plusieurs ard’ar-rêtes entre la même paire de

sommets). Deux sommets d’un graphe sont ditsadjacents ouvoisinss’ils sont reliés par une

arrête. SiGest un graphe dont les sommets sontv₁, . . . ,v_N, samatrice d’incidenceest la matrice

symétrique de tailleN dont le coefficient(i,j)vaut 1 siv_i etv_j sont adjacents et 0 sinon. La

matrice d’incidence est un moyen pratique de représenter et manipuler les graphes. Un graphe

G:= (V,E)est ditcompletsiE=V×V, ce qui revient à dire que les sommets deG sont tous

deux à deux adjacents.

La notion de densité d’un graphe est similaire à la notion de densité d’une matrice utilisée

en algèbre linéaire :

Chapitre IV. Complexité du problème de l’isométrie de réseaux 105

v₁

v₂

v₃ v₄

v₅

v₁ v₂ v₃ v₄ v₅





















v₁ 1 1 0 1 1

v₂ 1 0 1 0 0

v₃ 0 1 1 0 1

v₄ 1 0 0 0 1

v₅ 1 0 1 1 0

Fig. IV.1– Exemple de matrice d’incidence associée à un graphe.

Définition IV.2.2 La densité d’un graphe G:= (V,E)est la grandeurρ(G)∈[0, 1]définie par

ρ(G):= ²|E|

|V|(|V|+1)^.

Notons que pour un graphe sans boucle¹, la densité est plutôt définie comme la grandeur

2|E|

|V|(|V| −1)^.

La densité deG quantifie le nombre de ses arrêtes relativement au nombre maximal d’arrêtes

que peut posséder un graphe ayant le même nombre de sommet queG. Siρ(G)est proche de 0,

on dit queGestcreux; au contraire,Gest ditdensesiρ(G)est proche de 1. La distinction entre

le caractère creux ou dense d’un graphe est floue : dans certaines applications, un graphe peut

être considéré comme creux si sa densité est inférieure à 0.50, alors que dans d’autres situations,

un graphe ne sera creux que si sa densité est inférieure à 0.10. Rappelons que cette notion joue

un rôle important dans les calculs pratiques : certains algorithmes sont pleinement optimisés

pour les graphes creux mais peuvent être très lents sur des graphes denses, et réciproquement.

Par exemple, le programme nauty and Traces [NAUTY] (qui est à ce jour l’un des plus

efficaces pour résoudre le problème de l’isomorphisme de graphes) propose des implantations

différentes suivant la densité des graphes considérés.

Exemple IV.2.3 Le graphe présenté sur laFigure IV.1a 5 sommets et 8 arrêtes (dont 2 boucles).

Sa densité est donc égale à 5/36≈0.139 : il est plutôt creux. Un graphe avec le même nombre

de sommets et plus de 27 arrêtes aurait une densité supérieure à 0.75 et pourrait légitimement

être considéré comme dense.

La notion cruciale que nous étudions ici est celle d’isomorphisme entre graphes, c’est-à-dire

une application d’un graphe à un autre qui préserve la relation d’adjacence :

106 IV.2. Graphes, réseaux et problèmes algorithmiques

Définition IV.2.4 Un isomorphisme entre deux graphe G := (V,E) et G^′ := (V^′,E^′) est une

bijection f :V −→V^′ telle que pour tous sommets v,w∈V , on a(v,w)∈E si et seulement si

(f(v),f(w))∈E^′.

Un isomorphisme entre G et lui-même est appelé un automorphisme de G. L’ensemble

des automorphismes de G est un groupe fini (puisque c’est un sous-groupe du groupe des

permutations des sommets deG) , noté Aut(G).

Exemple IV.2.5 Les graphes présentés sur laFigure IV.2sont isomorphes, et un isomorphisme

est donné parf(v₁) =w₄, f(v₂) =w₁, f(v₃) =w₃et f(v₄) =w₂.

v₁

v₃

v₂

v₄

w₄ w₃

w₁

w₂

Fig. IV.2– Exemple de graphes isomorphes.

Nous concentrons notre attention sur deux problèmes algorithmiques classiques liés à ces

notions :

• Graphs Isomorphism problem(GI) : étant donné deux graphes, décider s’ils sont

iso-morphes.

• Graph Automorphisms problem(GA) : étant donné un graphe, déterminer une famille

génératrice de son groupe d’automorphisme.

La réduction polynomiale deGIàGAest bien connue. Nous reprenons ici une preuve qui sera

ensuite adaptée au cas des réseaux. Dans tout ce qui suit, parcalculer un groupe, nous entendons

calculer une famille génératrice de ce groupe.

Proposition IV.2.6 Le problème GI est réductible en temps polynomial au problème GA. Plus

précisément, décider si deux graphes à N sommets sont isomorphes est réductible au calcul du

groupe d’automorphisme d’un graphe à2N sommets.

Chapitre IV. Complexité du problème de l’isométrie de réseaux 107

Démonstration. Soient G et G^′ deux graphes à N sommets. On peut supposer sans perte

de généralité que G et G^′ sont connexes. Considérons G⊔G^′ l’union disjointe de G et G^′.

Les graphes G et G^′ sont isomorphes si et seulement si G⊔G^′ possède un automorphisme

permutantGetG^′. De plus, si un tel automorphisme deG⊔G^′existe, toute famille génératrice

de Aut(G⊔G^′)doit en contenir un.

Les problèmes GI etGA sont actuellement très étudiés. Il est bien connu que GIest un

problèmeNP, qui n’est pasNP-complet à moins d’un effondrement de la hiérarchie

polyno-miale[AB09, §8.2.4, p.156–157]. Un tel effondrement implique en particulier queP=NP, et

il est largement admis par la communauté que cette égalité n’a pas lieu[Gas02]. Le problème

GIest résolu en temps polynomial pour de nombreuses classes spécifiques de graphes

(ci-tons par exemple les cas des arbres [Kel+57], des graphes planaires [HW74], des graphes

de valence bornée [Luk82]...), mais l’existence d’un algorithme polynomial permettant de

résoudre le problèmeGIgénéral est encore à l’heure actuelle un problème ouvert. Jusqu’à

ré-cemment, le meilleur algorithme théorique connu était dû aux travaux de Babai et Luks[BL83]

et Zemlyachenko, Korneenko et Tyshkevich[ZKT85], dont la complexité est en 2^O

€p

nlognŠ

pour un graphe ànsommets. Cependant, fin 2015, Babai[Bab15]a présenté un algorithme

quasi-polynomial permettant de résoudreGIen temps exp log(n)^O(1)

. Le problèmeGIest aussi

relié à de nombreux autres problèmes algorithmiques concernant la notion d’isomorphisme

entre des structures mathématiques variées (voir[ZKT85]). Il s’avère même que le problème

de l’isomorphisme au sein d’une famille d’objets admettant une description raisonnable²est

réductible en temps polynomial àGI(voir[Bus+11]).

Dans la suite, il nous sera pratique de considérer des graphes auxquels une donnée

supplé-mentaire est ajoutée. On distingue les graphes étiquetés³, auxquels une donnée sur les arrêtes

est ajoutée, et les graphes colorés⁴, auxquels c’est sur les sommets qu’une donnée est ajoutée.

Définition IV.2.7 Un graphe étiqueté est un graphe G:= (V,E)muni d’une application

c_G:E−→M,

où M est un ensemble fini appelé ensemble des étiquettes de G. De manière similaire, un graphe

coloré est un graphe G:= (V,E)muni d’une application

c_G:V −→L,

où L est un ensemble fini appelé ensemble des couleurs de G.

2. Plus précisément, il faut que la famille en question soit une classe de structures finies (au sens de

[Mar06, §1.1, p.7–14]) sur un même vocabulaire fini, contenant des structures arbitrairement grandes, fermée

par isomorphisme et reconnaissable en temps polynomial.

3. Edge-labeled graphen anglais.

4. Vertex-labeled graphen anglais.

108 IV.2. Graphes, réseaux et problèmes algorithmiques

La matrice d’incidence d’un graphe étiqueté contient en plus l’information des étiquettes :

le coefficient (i,j) de cette matrice a pour valeur l’étiquette reliant les sommets v_i et v_j si

ces sommets sont adjacents, et• (ou tout symbole n’appartenant pas à l’ensemble des

éti-quettes du graphe considéré) sinon. LaFigure IV.3présente un graphe étiqueté par l’ensemble

{∞,℧,a,∇}et la matrice d’incidence associée, avec•comme symbole de non-adjacence.

v₁

v₂

v₃ v₄

v₅

∞ _∇

a

∇ a

℧

∞

∞

v₁ v₂ v₃ v₄ v₅





















v₁ ∞ ∇ • ∇ a

v₂ ∇ • a • •

v₃ • a ∞ • ℧

v₄ ∇ • • • ∞

v₅ a • ℧ ∞ 0

Fig. IV.3– Exemple de matrice d’incidence associée à un graphe étiqueté.

Dans le cas des graphes étiquetés ou colorés, on exige en plus que les isomorphismes

préservent l’étiquetage ou la coloration des graphes :

Définition IV.2.8 Un isomorphisme entre deux graphes étiquetés G:= (V,E,c_G)et G^′:= (V^′,E^′,c_G

′

)

est un isomorphisme f entre les graphes sous-jacents tel que e_G(v,w) =e^′_G(f(v),f(w))pour toute

arrête (v,w) ∈ E. De même, un isomorphisme entre deux graphes colorés G := (V,E,c_G) et

G^′:= (V^′,E^′,c_G

′

)est un isomorphisme f entre les graphes sous-jacents tel que e_G(v) =e^′_G(f(v))

pour tout sommet v∈V .

Notons que les conditions utilisées dans cette définition sont plus fortes que la simple

préservation de la relation d’équivalence donnée par l’étiquetage ou la coloration, condition

qui est parfois considérée lorsque la notion d’isomorphisme entre graphes colorés ou étiquetés

est introduite. En particulier, deux graphes colorés ou étiquetés isomorphes ont nécessairement

le même ensemble de couleurs ou d’étiquettes. Les versions des problèmesGIetGApour les

graphes colorés (resp. étiquetés) sont notéesVLGIetVLGA(resp.ELGIetELGA)⁵. Il est clair que

les problèmesGI/GAsont réductibles en temps polynomial aux problèmesVLGI/VLGAet aux

problèmesELGI/ELGA(il suffit de considérer une coloration ou un étiquetage trivial). Comme

nous le verrons plus loin, il s’avère que cette réduction est en fait une équivalence polynomiale.

Utilisée conjointement avec laProposition IV.2.6, cette équivalence permet de montrer que les

problèmesVLGIetELGI sont réductibles en temps polynomial aux problèmesVLGA etELGA

respectivement.

Chapitre IV. Complexité du problème de l’isométrie de réseaux 109

IV.2.2 Isométries entre réseaux euclidiens

Dans tout ce chapitre (excepté laSection IV.5), parréseau, nous entendonsréseau euclidien

de rang maximal. Nous nous plaçons donc dans le cadre de travail duChapitre IIavecK=Q:

pour toutn∈N>₀, l’espace euclidien Rⁿ est équipé du produit scalaire l₂, défini pour tous

x,y ∈Rⁿpar〈x|y〉:=P_n

i=1x_iy_i. On notek · kla norme euclidienne associée.

Rappelons les notions d’isométrie et d’automorphisme introduites dans laSection II.3.5:

deux réseauxΛ etΛ^′ deRⁿ sont dits isométriques s’il existe une isométrie deRⁿ envoyant

ΛsurΛ^′; une isométrie deΛsur lui-même est appelée un automorphisme deΛ. L’ensemble

Aut(Λ)des automorphismes deΛest un groupe fini. SiBest uneR-base deRⁿ, on noteΛ(B)

le réseau deRⁿ engendré par cette base. On considère ici les analogues des problèmesGIet

GApour les réseaux :

• Lattices Isometry problem(LI) : étant donnéesBetB′deux bases deRⁿ, décider si les

réseauxΛ(B)etΛ(B^′)sont isométriques.

• Lattice Automorphisms problem(LA) : étant donnée une baseB deRⁿ, déterminer le

groupe d’automorphisme du réseauΛ(B).

Commençons par modifier la réduction deGIàGAafin d’obtenir une réduction deLIàLA:

Proposition IV.2.9 Le problème LI est réductible en temps polynomial au problème LA. Plus

précisément, décider si deux réseaux deRⁿ sont isométriques est réductible au calcul du groupe

d’automorphisme d’un réseau deR²ⁿ.

Démonstration. SoientΛ,Λ^′deux réseaux deRⁿ, de base respectiveB,B^′∈GL_n(R).

Considé-ronsΛ⊕Λ^′le réseau deR²ⁿde base

B 0

0 B^′

∈GL_2n(R). Les réseauxΛetΛ^′sont isométriques

si et seulement si Λ⊕Λ^′ possède un automorphisme permutantΛ et Λ^′. De plus, si un tel

automorphisme deΛ⊕Λ^′ existe, toute famille génératrice de Aut(Λ⊕Λ^′) doit en contenir

un.

Malgré le rôle important joué par ces problèmes dans de nombreux domaines, leur

com-plexité est mal connue. Le meilleur algorithme connu et largement implanté pour attaquer

les problèmesLIetLAest celui de Plesken et Souvignier[PS97], mais à notre connaissance,

aucune analyse de complexité n’a été réalisée sur cette méthode. Haviv et Regev ont récemment

présenté dans[HR14]un algorithme théorique qui énumère toutes les isométries entre deux

réseaux deRⁿen temps n^O(n)s^O(1), oùsest la taille des entrées. Cet algorithme est

asympto-tiquement optimal, mais le problème de l’énumération des isométries entre deux réseaux est

bien différent du problème de décision de l’existence d’une telle isométrie.

Notons que similairement àGI,LIest un problèmeNP, qui n’est pasNP-complet à moins

d’un effondrement de la hiérarchie polynomiale (essentiellement car il appartient à la classe de

complexitéSZK). Nous renvoyons à[Kaz15, §4.10.1, p.58–59]ou[HR14, §1 et §5.2]pour plus

de détails sur ce résultat. Cependant, tous les algorithmes actuellement connus pour traiter les

problèmesLIetLA(y compris celui de Plesken et Souvignier[PS97]et celui de Haviv et Regev

Dans le document Méthodes algorithmiques pour les réseaux algébriques (Page 110-116)