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Diferentemente do modelo elástico linear, os modelos elastoplásticos permitem que ocorram deformações permanentes no solo. O incremento de deformação total originado por uma variação do estado de tensão é composto por uma componente elástica e uma plástica. Um material no regime elastoplástico pode apresentar um dos três comportamentos idealizados mostrados na Figura 4.12.

Um material elastoplástico perfeito tem comportamento elástico até que seja atingida a tensão de plastificação (representada na figura por 𝜎𝑦), a partir da qual o material

passa a ter comportamento plástico. Enquanto a tensão 𝜎𝑦 estiver sendo aplicada, a

deformação axial prossegue. Se ocorrer um descarregamento no ponto C, o material volta a apresentar comportamento elástico. O ponto D representa a deformação axial plástica ocorrida.

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Figura 4.12 – Modelos elastoplásticos: a) perfeito; b) com endurecimento; c) com amolecimento.

Materiais elastoplásticos com endurecimento também apresentam um comportamento inicial elástico, até atingir-se a tensão inicial de plastificação 𝜎_𝑦𝐵. Diferentemente do modelo elastoplástico perfeito, se o carregamento prosseguir a tensão aumenta, atingindo o ponto 𝜎𝑦𝐶, tendo ocorrido deformações elásticas e

plásticas. Se o material for descarregado até o ponto D e na sequência recarregado, terá comportamento elástico linear até o ponto C, até que a nova tensão de plastificação 𝜎𝑦𝐶 seja atingida. Se o carregamento continuar a ser aumentado, o

material volta a apresentar comportamento plástico. Já em materiais elastoplásticos com amolecimento, ocorre o oposto ao caso com endurecimento, ou seja, após o trecho em regime elástico, durante a ocorrência de deformações plásticas, a tensão de plastificação decresce. Materiais com este comportamento requerem atenção especial, pois se a tensão inicial de plastificação é atingida, esta se reduz juntamente com a resistência a solicitações.

Figura 4.13 – Exemplo idealizado do comportamento real de um solo.

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O comportamento real de um solo quando carregado se aproxima mais da curva ilustrada na Figura 4.13, onde são observados trechos distintos de comportamento, representando cada um dos modelos apresentados em distintas fases do carregamento. A complexidade deste comportamento não é possível de ser representada pelos modelos elastoplásticos, entretanto verifica-se em geral boa precisão nos resultados fornecidos por estes modelos.

A formulação de um modelo constitutivo elastoplástico requer a definição de alguns princípios básicos: função de plastificação, lei de fluxo e lei de endurecimento ou amolecimento.

A função de plastificação (𝐹) define um limite no qual o material deixa de ter comportamento puramente elástico e passa a ter comportamento plástico. Esta função é definida em termos de componentes de tensão e de parâmetros de endurecimento (ℎ), sendo expressa pela Equação (4.9).

𝐹({𝜎}, ℎ{𝜀_𝑝}) = 0 (4.9)

Valor negativo da função de plastificação representa a região onde ocorrem unicamente deformações elásticas, denominada domínio elástico. Se o seu valor for igual a zero, o estado de tensão atingiu a superfície de plastificação, com o material apresentando a partir deste ponto um comportamento elastoplástico. Valores positivos de 𝐹 não são possíveis. No espaço geral das tensões, a superfície de nível da função 𝐹 representa uma superfície de plastificação.

A lei de endurecimento ou amolecimento dá a relação da tensão de plastificação com a deformação plástica, controlando assim a variação da posição da superfície de plastificação durante o escoamento plástico. O parâmetro do endurecimento ℎ depende das deformações plásticas acumuladas e de como é efetuado o carregamento.

A lei de fluxo permite definir a direção e a magnitude dos incrementos da deformação plástica empregando o conceito de potencial plástico e baseando-se no princípio da normalidade, segundo o qual os incrementos da deformação plástica em um ponto de um corpo (submetido a uma variação do estado de tensão) são normais à superfície definida pela função de plastificação. Os incrementos de deformação plástica (Δ𝜀_𝑖𝑝) podem ser expressos como:

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𝛥𝜀_𝑖𝑝 = 𝜆𝜕𝑔 𝜕𝜎_𝑖

(4.10)

Onde:

- 𝑔 é a função de potencial plástico, dependente do estado de tensões e que representa uma superfície de potencial plástico no espaço geral das tensões. O vetor normal à superfície de potencial plástico indica a direção da resultante dos incrementos de deformação plástica;

- 𝜆 é um fator de proporcionalidade, que dá a magnitude do incremento resultante da deformação plástica.

Se a função de potencial plástico coincide com a função de plastificação (𝐹 = 𝑔), diz- se que o fluxo é associado e o caso contrário é denominado de fluxo não-associado. A lei de fluxo é importante para controlar o efeito da dilatância, que tem influência significativa no controle das alterações de volume e resistência dos solos.

Nos materiais com comportamento elastoplástico perfeito, a superfície de plastificação é fixa no espaço geral das tensões e não muda de tamanho ou posição quando ocorrem deformações plásticas. Já em um material elastoplástico com endurecimento, quando ocorrem deformações plásticas o material apresenta variação da superfície de plastificação. Esta variação pode ocorrer de duas maneiras (Figura 4.14): um endurecimento isotrópico, quando a superfície de plastificação aumenta de tamanho; ou endurecimento cinemático, quando a superfície de plastificação não muda de tamanho, mas muda de posição. Modelos mais complexos consideram a associação destes dois modos de endurecimento, com a superfície de plastificação sofrendo translação e expansão uniforme em todos os sentidos.

Figura 4.14 – Endurecimento isotrópico e cinemático.

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Neste trabalho serão realizadas análises numéricas utilizando dois modelos constitutivos elastoplásticos: o elastoplástico perfeito conhecido como Mohr- Coulomb e o elastoplástico com endurecimento denominado Hardening Soil. A seguir estes dois modelos serão apresentados com mais detalhes.