Un rapport indépendant de la déformation : le paramètre de Read

∆-- ^{ 1}2 ,^{∆  9}2 , 1 2.9⁰ ( (_{* ∆) } ^{1 9}_{2 , 1 2.10}⁶

où f, K, Q et ) sont respectivement la fréquence de résonance, le module élastique, le facteur de qualité et le décrément logarithmique. L’indice « 0 » correspond à la valeur obtenue pour le plus petit niveau d’excitation (hypothèse d’un régime linéaire). Nous pouvons remarquer que la dépendance en amplitude est linéaire comme dans le cas d’une élasticité non-linéaire hystérétique quadratique représentée par le modèle de Davidenkov (m = 2, voir les Eq. 2.4 et 2.5). Les deux paramètres αf et αQ sont reliés au paramètre général α de l’Eq.2.7.

Pour résumer, les trois modèles phénoménologiques (Granato-Lücke, Davidenkov et Preisach-Mayergoyz) que nous venons de décrire, proposent de modéliser les phénomènes d’ADIF et d’ADMD que nous observons expérimentalement à travers le décalage de la fréquence de résonance (ou. du module élastique) et le changement de l’atténuation (ou. du décrément logarithmique), bien que l’origine de l’ADIF et de l’ADMD soit différente pour chacun des modèles.

2.2.2 Un rapport indépendant de la déformation : le paramètre de Read

En 1940, Read propose de calculer le rapport entre le facteur de perte non-linéaire et la variation non-linéaire du module élastique, ce rapport étant indépendant de la déformation :

D  

∆

?^∆E_EFA ^2.11

où ∆δ and 1 / sont respectivement la partie non-linéaire dissipative ADIF (∆δ = ∆(π/Q) avec Q, le facteur de qualité) et la partie non-linéaire élastique ou réactive ADMD (∆K/K₀ = 2∆f/f₀). L’existence d’un rapport indépendant de l’amplitude de vibration a été confirmée pour les modèles de Granato-Lücke et Davidenkov dans le cas particulier d’une relation en loi de puissance pour l’ADIF et l’ADMD (Lebedev, 1999). Afin de comparer les deux types de boucles hystérétiques, Lebedev a décrit la relation entre le rapport r et l’exposant de la fonction de la loi de puissance n = m+1 pour chacun des deux modèles :

CHAPITRE 2.ACOUSTIQUE NON LINEAIRE NON CLASSIQUE DANS LES SOLIDES

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D_H  4/  2 Davidenkov 2.12 D_OP  /  2 Granato  Lücke 2.13

Dans le cas particulier d’une hystérésis quadratique (n=1), r_D = 4/3 et r_GL = 1/3 (dans le cas du modèle GL généralisé par Nazarov, rGL=2/3). Ce rapport a aussi été défini pour le modèle PM-Space par Van Den Abeele (Van Den Abeele, 2007):

D_VWX  ^*_{2 ,}⁹₉⁶

0  ⁴_{3 Y 1.33 2.14}

Ce résultat est uniquement valide si le décalage en fréquence et la variation d’atténuation présentent une dépendance linéaire avec l’amplitude de déformation (voir Eqs. 2.9 et 2.10). Nous pouvons remarquer que le rapport rPMS est égal à rD dans le cas particulier d’une hystérésis quadratique. Cette observation semble conforter l’idée que la relation non-linéaire contrainte/déformation déterminée avec le PM-space n’est qu’un cas particulier du modèle de Davindenkov bien que l’approche mathématique soit différente.

Expérimentalement, les auteurs trouvent des valeurs proches du rapport r_D pour les métaux polycristallins (voir la table récapitulatif dans (Lebedev, 1999)). Par contre, le rapport r_PMS, calculé pour les roches ayant une hystérésis quadratique, est généralement bien inférieur à celui prédit par la théorie (Johnson and Sutin, 2005).

Cependant, d’autres auteurs ont montré que le rapport de Read n’est pas toujours indépendant de la déformation. Ainsi Kustov et Gremaud (Gremaud and Kustov, 1999; Kustov et al., 1999) ont observé que le rapport de Read d’un alliage de cuivre-nickel (avec 7.6% de Ni) à très faible température (8°K), excité autour de sa fréquence de résonance (de l’ordre de 100kHz), augmente subitement après le dépassement d’un seuil de déformation (ε>10^-4) (Fig. 7). Sur la figure sont aussi représentées les valeurs théoriques de r pour le modèle breakaway (ou GL) et le modèle de friction non-localisée (ou Davidenkov) dans le cas d’une loi de puissance d’exposant m = 0.7 (partie linéaire de la courbe pour ε<10^-4). Aussi, lorsque le rapport de Read est indépendant de la déformation (ε<10^-4), le modèle de friction non-localisée semble le plus adéquat. Kustov et Gremaud ont aussi remarqué que le rapport de Read évolue de manière non-linéaire pour d’autres alliages de Cuivre-Nickel (avec 2.3% de Ni) ayant subit des traitements (recuit ou grande déformation) (Fig.8).

S. Haupert – Juin 2012 65 Figure 7 : Dépendance en amplitude de l’atténuation [« Amplitude dependent internal friction » (ADIF)] et dépendance en amplitude de la variation du module [« Amplitude dependent modulus defect » (ADMD)] mesuré pour un alliage de cuivre-nickel (7.6% de Ni) à très faible température (8°K), excité à sa fréquence de résonance (de l’ordre de 100kHz). Le rapport de Read r expérimental est calculé et comparé au rapport de Read théorique

rGL (breakaway model) et rD (unlocalized friction model) dans le cas d’une loi de puissance d’exposant m = 0.7 (partie linéaire de la courbe pour ε<10^-4). Extrait de (Kustov et al., 1999)

Figure 8 : Rapport de Read r pour un alliage de cuivre-nickel (avec 2.3% de Ni) ayant subi différents traitements (recuit « annealed » ou grande déformation « deformed »). Extrait de (Kustov et al., 1999)

Pour conclure, le rapport de Read r, souvent négligé dans la littérature, permet de caractériser la forme de la boucle d’hystérésis dans la relation contrainte/déformation. En effet, sa forme dépend de l’exposant m de la loi de puissance reliant la contrainte à la déformation mais aussi du type de non-linéarité : élastique (modèle GL (Eq. 2.2, Fig.4)) ou inélastique (modèle de Davidenkov (Eq. 2.6, Fig. 6)). Ainsi suivant l’exposant m de la loi de puissance et la valeur r du rapport de Read, il est possible d’émettre des hypothèses quant au

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modèle le plus approprié pour décrire les phénomènes non-linéaires hystérétiques élastique (ADMD) et dissipative (ADIF), et peut-être de conclure quant à l’origine physique de l’hystérésis (dislocation localisée, non-localisée ou micro-plasticité, friction au niveau des joints de grain, présence de microfissures…). Par contre si le rapport n’est pas constant avec l’amplitude d’excitation, de nouveaux outils d’interprétation sont nécessaires pour tenter de comprendre les phénomènes physiques mis en jeu (Gremaud and Kustov, 1999). D’autre part, l’évolution du rapport de Read peut donner des informations complémentaires sur les paramètres non-linéaires dissipatif et élastique lorsque le matériau est modifié (par traitement thermique, endommagement progressif…). Pour cela, il est préférable de s’appuyer sur un paramètre de Read modifié comme le propose Inserra (Inserra et al., 2008) qui définit un nouveau rapport de Read rnl permettant de s’affranchir des variations des propriétés linéaires

du matériau : D_"Z  ₆^π

F D. Grace à rnl, Inserra a pu mettre en évidence un changement de régime non-linéaire au cours du processus de compaction d’un milieu granulaire non consolidé.

2.3 Dépendance en température, en amplitude, en fréquence et en

saturation. Des clés pour comprendre l’activation et la relaxation des

mécanismes hystérétiques

Nous venons de présenter trois modèles permettant la description phénoménologique des manifestations d’ADIF ou d’ADMD à l’échelle macroscopique dans des matériaux de structures aussi différentes que les roches, les métaux ou les matériaux endommagés, ayant en commun la présence de micro-hétérogénéités. Pourtant il existe de nombreux cas où ces modèles ne suffisent pas pour expliquer les observations expérimentales. En effet, ces modèles se limitent à la description de la boucle hystérétique, résultat du processus non-linéaire élastique non classique. Ils ne tiennent pas compte des dépendances en fréquence, en température, en amplitude ou en saturation que les matériaux peuvent exprimer dans certaines conditions. Or la compréhension de ces dépendances devrait nous permettre de mieux appréhender les origines des phénomènes d’ADIF et d’ADMD, en particulier l’activation et la relaxation du mécanisme hystérétique. Lorsque l’activation et la relaxation du mécanisme hystérétique sont quasi-instantanées, les phénomènes sont qualifiés de dynamique rapide [en anglais « fast dynamics »] en opposition à d’autres phénomènes dits de "dynamique lente" [en anglais « slow dynamics »] tels que le conditionnement (TenCate and Shankland, 1996;

S. Haupert – Juin 2012 67 Johnson and Sutin, 2005) et la relaxation (Holcomb, 1981), ce dernier terme étant également utilisé couramment pour les modèles visco-élastiques en rhéologie.

Dans cette partie, nous nous attacherons à présenter les liens potentiels qui existent entre les dépendances en température, en amplitude, en fréquence et en saturation observées expérimentalement et l’activation ou la relaxation des mécanismes hystérétiques, qu’elles soient visibles en dynamique rapide ou lente.