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2 Contexte de l’étude et problématique

Chapitre 2. Contexte de l’étude et problématique

2.4 Présentation de la conversion analogique-numérique

2.4.1 Rappels sur la numérisation

La numérisation est l’opération qui permet de passer du domaine analogique au domaine numérique. Pour cela, le signal analogique est quantifié dans le domaine temporel (opération d’échantillonnage) ainsi qu’en amplitude (opération de quantification). En pratique, on utilise un CAN pour effectuer cette opération. Celui-ci possède deux paramètres fondamentaux : sa fréquence d’échantillonnage fset sa résolution N . La fréquence d’échantillonnage définit le pas d’échantillonnage Tset la résolution définit le pas de quantification∆ :

Ts = 1

fs

(2.3) ∆ = VF S

2N (2.4)

VF Sdésignant la tension à pleine échelle en entrée du CAN (c’est-à-dire l’amplitude maximale du signal avant saturation).

Le bruit de quantification NQest défini comme la différence entre le signal analogique Van.et le signal numérisé Nnum.:

NQ= Van.− Vnum. (2.5)

Il est donc compris entre −2 et2, et sa distribution est uniforme entre ces deux bornes. Sa valeur efficace vaut [Gupta 12] :

NQ= ∆

p

12 (2.6)

À partir du bruit de quantification, on définit le Signal-to-Quantization Noise Ratio, ou rapport signal à bruit de quantification (SQNR) comme le rapport entre un signal à pleine échelle du CAN et le bruit de quantification. Celui-ci est défini en décibels à partir de la résolution du CAN par [Gupta 12] :

SQ N R = 6,02 · N + 1,76 (2.7)

Le SQNR est suffisant pour décrire le fonctionnement d’un CAN idéal, mais en pratique ceux-ci ont des non-linéarités, provenant de défauts propres à chaque CAN. En effet, leur fonction de transfert diffère légèrement de la fonction de transfert idéale par des Differential Non-Linearities, ou linéarités différentielles (DNL) et Integral Non-Linearities, ou non-linéarités intégrales (INL).

Pour illustrer ces DNL et INL, on peut approximer la fonction de transfert d’un CAN par une courbe : les INL mesurent l’écart global de cette courbe par rapport à la droite théorique tandis que les DNL mesurent les écarts ponctuels par rapport à cette droite. Cela est illustré sur la Figure 2.5 : à gauche, la fonction de transfert idéale est présentée avec la droite l’approximant (en tirets). Au centre, on peut voir la même fonction avec des INL : la courbe de la fonction de transfert (en pointillés) ne suit pas la droite idéale. La méthode de mesure de l’INL peut différer selon les constructeurs : certains prennent l’écart maximum entre les deux fonctions de transfert, et d’autres utilisent l’écart entre la droite théorique et une droite correspondant à

2.4. Présentation de la conversion analogique-numérique −1 0 1 −1 −0.5 0 0.5 1

Fonction de transfert idéale

Amplitude d’entrée (V) Amplitude de sortie (V) −1 0 1 −1 −0.5 0 0.5 1 INL

Fonction de transfert avec INL

Amplitude d’entrée (V) Amplitude de sortie (V) −1 0 1 −1 −0.5 0 0.5 1 DNL Fonction de transfert avec DNL

Amplitude d’entrée (V)

Amplitude de sortie (V)

FIGURE2.5 – Présentation des non-linéarités d’un CAN : à gauche, on peut voir la fonction de transfert idéale. Au centre, les effets des INL sont illustrés, tandis que ceux des DNL sont présentés à droite.

la fonction de transfert réelle avant les corrections d’offset et de gain [Maxim Integrated 01a] (cet offset et ce gain faisant partie des défauts du CAN). C’est la première définition qui est illustrée sur la Figure 2.5.

À droite sur la Figure 2.5, on observe l’effet des DNL : la droite de transfert n’est pas affectée, mais les DNL mesurent les écarts ponctuels à cette droite.

Les DNL sont définies pour l’état de quantification i (avec 0 < i < 2N− 2) par la relation [Maxim Integrated 01a] :

D N L(i ) =Vnum(i + 1) − Vnum(i )

i d eal − 1 (2.8) ∆i d ealétant le pas de quantification de la fonction de transfert idéale.

Ces non-linéarités ont un effet sur le signal numérisé : certaines composantes fréquen-tielles, appelées spurs ou parasites, apparaissent. Les performances de numérisation du CAN sont ainsi réduites. Pour les quantifier, plusieurs métriques sont utilisées. En notant S l’ampli-tude efficace du signal numérisé, N celle du bruit et D celle des parasites, on a :

— le Total Harmonic Distortion, ou distorsion harmonique totale (THD) représente le rapport entre la valeur efficace de l’amplitude des harmoniques et celle du signal d’intérêt. On utilise parfois le THD+N, représentant le même rapport en ajoutant l’influence du bruit (incluant la composante DC) à celle des harmoniques :

T H D = 20log10 µS

D

(2.9) — le Spurious-Free Dynamic Range, ou plage dynamique exempte de parasite (SFDR) est le rapport des valeurs efficaces d’amplitudes d’un signal à pleine échelle du CAN et de la composante parasite la plus forte

— le SIgnal-to-Noise And Distortion ratio, ou rapport signal à bruit et distorsion (SINAD) est le rapport entre le niveau d’amplitude du signal et celui du bruit et des autres

Chapitre 2. Contexte de l’étude et problématique harm. 5 harm. 1 harm. 2 harm. 4 fond. harm. 3 fs/2 N Q V harm.1 V sig. V FS bruit de quantification SQNR THD SFDR

FIGURE2.6 – Illustration des non-linéarités sur un CAN. Le signal génère ici cinq harmoniques après la numérisation. Le SQNR, le THD et le SFDR sont illustrés à partir de l’amplitude maximale d’entrée du CAN (VF S), de la puissance du signal d’intérêt (Vsi g .) et de la puissance de la première harmonique (Vhar m.1).

composantes spectrales (incluant les harmoniques, mais pas la composante DC) :

SI N AD = 20log10

µ S

D + N

(2.10) — l’Effective Number Of Bits, ou nombre de bits effectif (ENOB) représente le nombre de

bits de résolution du CAN réel. Il est calculé à partir du SINAD :

E NOB =SI N AD − 1,76

6, 02 (2.11)

On peut noter qu’il se calcule de la même manière que la résolution d’un CAN à partir du SQNR (voir (2.7))

Certaines de ces métriques sont illustrées sur la Figure 2.6, qui représente schémati-quement le spectre d’un signal sinusoïdal après numérisation. Les non-linéarités du CAN entraînent l’apparition d’harmoniques sur le spectre numérisé. L’harmonique de plus forte intensité (généralement l’harmonique d’ordre 3) permet de définir le THD et le SFDR avec respectivement l’amplitude du signal fondamental et l’amplitude maximale d’entrée du CAN. Le SQNR est lui défini à partir de l’amplitude maximale d’entrée du CAN et du plancher de bruit de quantification (lui-même défini par la résolution du convertisseur).

On peut mentionner la technique du suréchantillonnage [Cygnal 01], qui permet d’amé-liorer la résolution d’un CAN en échantillonnant à une fréquence fossupérieure à la fréquence de Nyquist fs. Le bruit de quantification étant étalé sur toute la bande numérisée, la densité spectrale de bruit est alors réduite par un facteur de fos/ fs. En conséquence, la puissance du bruit de quantification est réduite après filtrage du signal de largeur de bande B d’un facteur de fos/(2 · B) (le bruit de quantification étant un bruit blanc).

2.4. Présentation de la conversion analogique-numérique 0 0 0 1 1 1 Décodeur Vref+ V ref-Vin Vout Code « thermomètre » numérique

FIGURE2.7 – Schéma bloc d’un CAN flash

dans la bande B de 3 dB. Or, si on se réfère à (2.11), on constate qu’une diminution du bruit de 3 dB correspond à un demi bit de résolution de gagné. Pour chaque quadruplement de la fréquence d’échantillonnage, la résolution du CAN est donc améliorée d’un bit.