T ransition entre les diérents états - Modèle à états de joints

2.3 Modèle à états de joints

2.3.3 T ransition entre les diérents états

2.3.3.1 Critère d'ouverture loal

Après avoir développé une méthode permettant d'identier le omportement eetif

pour haque état de joints, un ritère doit être introduit an de dénir l'état des joints

danslastruture.Laonstrution dee ritèrepourraits'appuyersurlesmodèles

dévelop-pésdanslesartilesde [Luiano et Sao, 1997 ,Luianoet Sao, 1998 ℄.Eneetdanses

publiations, un ritère énergétique et un ritère ohésif de type Coulomb ont été dénis

pour passerd'un étatdejoint àl'autre. Le ritèreénergétiquereposesurladétermination

desénergiesderupturequidoiventêtreidentiéesexpérimentalement,equiestloind'être

évident lorsque les ruptures sont fragiles. Dans la littérature, deux typesde rupture sont

majoritairementrépertoriés àl'interfaebrique/mortier:rupture entrationeten

isaille-ment [Abdouet al.,2006 , Kawa et al.,2008 ℄. Ces observations onduisent à l'utilisation,

dans ette thèse, d'un ritère en deux parties : un ritère de tronature en tration et

unritère de typeMohr-Coulomb en isaillement. L'ouverture desjointsdépend don des

ontraintes normales et tangentielles à l'interfae brique/mortier, et don des ontraintes

à rupture lors de es solliitations. Ces ontraintes sont à l'éhelle de la brique,

'est-à-direl'éhelle loale, alors quelasimulation de lastrutureave lesMHE donneseulement

des grandeurs marosopiques. Le ritère doit être apable de déteter l'état des joints

et don le omportement équivalent orrespondant à et état. Un passage de l'éhelle

lo-ale à l'éhelle globale doit don être eetué dans le ritère. La formulation du ritère

est présentée i-après tandis que lepassage du loal au global sera abordédans la partie

suivante.

An de traduire les ouvertures de joint en isaillement et en tration, le ritère doit

s'exprimer en fontion des ontraintes loales. Soient

σ ii

^les ^ontraintes ^normales ^dans ^la

diretion

i

^et

σ ji

^les ^ontraintes tangentielles à l'éhelle loale. Le ritère d'ouverture des jointspeut s'érirede lamanièresuivante :

 



σ _ii > f _t

q

σ ² _ji + σ _ki ² > f cis

(2.29)

où

f _t

^et

f _cis

^dénommentrespetivement lesvaleursàruptureentrationet enisaillement del'interfae brique/mortier. Leritèreassoieainsiunritère detronatureentrationà

unritèredetypeMohr-Coulomb.Cedernierestmodiéandeonsidérerl'évolutiondela

valeuràruptureenisaillementenfontionduhargement normal.Eneet,untermeaété

ajoutéà l'équation lassique pour prendre en ompte l'érouissagede lavaleur à rupture

lorsdesolliitationsenompression.Lavaleuràruptureenisaillement

f cis

^s'exprime^alors

omme suit :

f cis = c − 1

2 tan φ (1 − sign(σ ii )) σ ii

^(2.30)

ave

 



 

sign(σ ii ) = −1

^si

σ ii < 0 sign(σ ii ) = 1

^si

σ ii > 0

ave

c

^la ^ohésion ^de ^l'interfae brique/mortier et

φ

^l'angle ^de frottement. La gure 2.20 illustreleritère de transitionentre les diérentsétats de joints.

PSfragreplaements

2 3 ( σ ₂₂ > f t

p

σ ₁₂ ² + σ ₂₃ ² > f _cis

( σ ₃₃ > f t

p

σ ₁₃ ² + σ ² ₂₃ > f cis

( σ ₃₃ > f t

p

σ ₁₃ ² + σ ₂₃ ² > f _cis

( σ ₂₂ > f t

p

σ ₁₂ ² + σ ² ₂₃ > f _cis

Figure 2.20 Critère d'ouverture.

2.3.3.2 Passage du loal au global

Le ritère a été dénià l'éhelle loalean de prendre en ompte lesparamètres

phy-siquesintervenantdansl'ouverturedesjoints.Maintenantqu'ilestexpliité,ilestnéessaire

dedénirles relationsentrelesontraintesloales etles ontraintes marosopiquesissues

delasimulation.Pour ela,une approhesimilaireauxtravauxdeNguyen[Nguyen,2007 ℄

a été adoptée. Le omportement de la maçonnerie évolue au ours des solliitations, une

formeinrémentalepourl'érituredesontraintesestdonlaplusadaptée.Deplusomme

le omportement loal est linéaire, la relation entre les hamps loaux et marosopiques

peut s'érire d'aprèsl'équation2.7:

dσ = B ^(k) : dΣ

^(2.31)

ave

B ^(k)

^le^tenseur ^deloalisationdesontraintes pour l'état

(k)

^. ^En^ombinant ^la^loi^de

omportement duMatériauHomogène Équivalentave l'équationpréédente,onendéduit

queletenseurde ontrainte mirosopiquedépendlinéairement dutenseurdedéformation

marosopique :

dσ = B ^(k) : dΣ = B ^(k) : A ^(k) : dE = L ^(k) : dE

^(2.32)

ave

A ^(k)

^le ^tenseur ^des ^oeients d'élastiité marosopiques de l'état numéro

(k)

^et

L ^(k)

^, ^le ^tenseur ^des ^oeients ^physiques ^de ^l'état ^numéro

(k)

^, ^qui ^permet ^de ^dénir ^la

ontrainte loale onnaissant la déformation globale. Il est déni ainsi omme le produit

doublement ontraté du tenseur de onentration

B ^(k)

^et ^du^tenseur d'élastiité

A ^(k)

^. ^Le

tenseur de ontraintes loales résulte alors de l'intégration de l'équation 2.32 entre l'état

initial et l'étatourant:

Étantdonnéqueleomportement desMHEestélastiquelinéaireparmoreaux,l'équation

préédente peut s'érire souslaforme :

σ = X p

n=1

L ⁿ : ∆E ⁿ + σ

0

^(2.34)

où

p

êst ^le^nombre ^de ^hangements ^d'états ^de ^joints âu ôurs ^d'un ^hargement ^donné,

σ ₀

letenseur desontraintes initiales et

L ⁿ

^orrespond ^au omportement assoiéà l'étape

n

du matériau. Le terme

∆E ⁿ

^représente ^le ^tenseur ^de déformation globale durant l'étape numéro

n

^. ^And'illustrerette équation, prenonsl'exemple d'un essaide trationdansla diretion perpendiulaire aux joints horizontaux. Le matériau homogène peut passer, par

exemple,par3étapes(p=3) :état0,état3puisl'état2-3(gure2.15).Danseaslà,les

étapes1,2 et 3orrespondent respetivement auxétats dejoints 0,3et 2-3.

L'équation2.34permet d'exprimerles ontraintes tangentielleset normales àl'éhelle

loale et ainsi de réérire le ritère (2.29) en fontion des déformations marosopiques,

dansleasoù iln'y apas deontrainte initiale:

 

Pour obtenir l'expression omplète des ontraintes loales, il faut don déterminer les

oeients

L ^(k) _ijlm

^pour ^les ^diérents^états ^de ^joints. ^Comme ^dérit préédemment 4as se distinguent dans le as des maçonneries sans joint de mortier dans une diretion. Pour

haun deesétats, ladétermination dees onstantesestexpliitée par lasuite.

État 0

Dansetétatdejoint,lamaçonnerie delaelluleélémentaire estontinuepuisquetousles

joints sont parfaitement fermés. Pour le ritère d'ouverture, la ontrainte normale loale

est assimilée à la moyenne des ontraintes loales normales sur toute la surfae S (gure

2.17).Le ritèrepeut alors s'érirediretement :

 

D'aprèslarelationmarosopique ontrainte-déformation

Σ = A : E

^,^le^ritèred'ouverture seformuleen fontion des déformations marosopiques. Ainsi, par exemple, leritère en

trationdevient :

Σ ii = P ³

j=1

A iijj E jj > f t

^(2.37)

e quipermet de déduireles oeientssuivants:

Dansetétatdejoint,lastruturen'estplusunmilieuontinu(gure2.16),lesoeients

doivent donêtredéterminésnumériquement. Leritèred'ouverturedansladiretion

i

^est

donné par laformule suivante :

 

Pour estimer les oeients

L ² _iijj

^et

L ² _ijij

^ave

i 6= j

^, ⁵ ^hargements élémentaires doivent être appliqués sur les bords de la ellule hétérogène. Les oeientsreherhés sont alors

déduits en divisant lamoyenne desontraintes loales

σ ii

^par ^ladéformation appliquée :

 

Danseasoùlesjointshorizontauxsontouverts,lastruturedelaelluleélémentaire est

omposéede3tranhesontinues(gure2.16).Cetétatdejointsestdonunaspartiulier

de l'état 0. Ainsi les ontraintes loales dans la diretion

i

('est-à-dire dans la diretion perpendiulaireauxjointshorizontaux)oinidentavelesontraintesmarosopiquesdans

ladiretion

i

^,^ainsi^que^les^ontraintestangentielles.Onobtientdonlesrelationssuivantes:

σ ii = Σ ii , σ ij = Σ ij

^ave

i 6= j

^. ^Le ^ritère d'ouverture s'éritalors :

Lesoeientsd'ouverture seprésentent ainsisous laforme:

 

Dans le document Modélisation thermomécanique d'un piédroit de four à coke (Page 54-57)

T ransition entre les diérents états

2.3 Modèle à états de joints

2.3.3 T ransition entre les diérents états

σ ii

i

σ ji

 



σ ii > f t

q

σ 2 ji + σ ki 2 > f cis

f t

f cis

f cis

f cis = c − 1

2 tan φ (1 − sign(σ ii )) σ ii

 



 

sign(σ ii ) = −1

σ ii < 0 sign(σ ii ) = 1

σ ii > 0

c

φ

2 3 ( σ 22 > f t

p

σ 12 2 + σ 23 2 > f cis

( σ 33 > f t

p

σ 13 2 + σ 2 23 > f cis

( σ 33 > f t

p

σ 13 2 + σ 23 2 > f cis

( σ 22 > f t

p

σ 12 2 + σ 2 23 > f cis

dσ = B (k) : dΣ

B (k)

(k)

dσ = B (k) : dΣ = B (k) : A (k) : dE = L (k) : dE

A (k)

(k)

L (k)

(k)

B (k)

A (k)

σ = X p

n=1

L n : ∆E n + σ

0

p

σ 0

L n

n

∆E n

n

 

L (k) ijlm

 

Σ = A : E

Σ ii = P 3

j=1

A iijj E jj > f t

i

 

L 2 iijj

L 2 ijij

i 6= j

σ ii

 

i

i

σ ii = Σ ii , σ ij = Σ ij

i 6= j

 

σ _ii > f _t

σ ² _ji + σ _ki ² > f cis

f _t

f _cis

2 3 ( σ ₂₂ > f t

σ ₁₂ ² + σ ₂₃ ² > f _cis

( σ ₃₃ > f t

σ ₁₃ ² + σ ² ₂₃ > f cis

( σ ₃₃ > f t

σ ₁₃ ² + σ ₂₃ ² > f _cis

( σ ₂₂ > f t

σ ₁₂ ² + σ ² ₂₃ > f _cis

dσ = B ^(k) : dΣ

B ^(k)

dσ = B ^(k) : dΣ = B ^(k) : A ^(k) : dE = L ^(k) : dE

A ^(k)

L ^(k)

B ^(k)

A ^(k)

L ⁿ : ∆E ⁿ + σ

σ ₀

L ⁿ

∆E ⁿ

L ^(k) _ijlm

Σ ii = P ³

L ² _iijj

L ² _ijij