Ce raisonnement, considéré sur les ensembles sous-jacents, se généralise à tout

poset Cohen-Macaulay.

Corollaire 2.1.9. Considérons l’action par permutation de S_n sur {1, . . . , n}. Les caractères χ_k et χ^s_i des actions induites sur les espaces vectoriels H_k({1, . . . , n}) et H^s_i({1, . . . , n}) satisfont :

(2.4) χk= n−2 X i=0 k i ! χ^s_i.

Démonstration. L’isomorphisme de la proposition 2.1.6 est un isomorphisme d’espèces : il

pré-serve donc l’action du groupe symétrique. Nous obtenons alors :

H_k({1, . . . , n}) ∼=^X

i≥0

H^s_i({1, . . . , n}) · M_k,i(∅).

De plus, l’action de S_n sur M_k,i(∅) est triviale, nous obtenons alors :

χk =^X

i≥0

χ^s_i × |M_k,i|.

Le cardinal de M_k,i est ^k_i

. Comme la longueur d’une chaîne stricte maximale de HT_n est

n − 2, la somme est finie.

L’expression χ_k = ^Pn−2_i=0 ^k_i

χ^s_i est un polynôme en k, de degré borné par n : il est donc possible d’étendre le polynôme χ_k aux entiers relatifs. De plus, le coefficient binomial ⁻¹_i

est égal à (−1)ⁱ : nous obtenons alors χ₋₁ = ^Pn−2_i=0(−1)ⁱχ^s_i. L’équation (2.3) montre que la valeur absolue du polynôme χ_k évalué en k = −1 est égale à la valeur absolue du caractère de l’action du groupe symétrique S_n induite sur l’homologie du poset.

Proposition 2.1.10. Notons P_n(X) le polynôme qui, évalué en k, donne le caractère des

k-chaînes larges dans le posetHTnd. Le caractère donné par l’action de S_n induite sur l’homologie du posetHTd_n est donnée par (−1)ⁿP_n(−1).

Cette proposition se généralise à tout autre poset Cohen-Macaulay muni d’une action du groupe symétrique compatible, avec une évaluation du polynôme des caractères des k-chaînes larges en un k₀ pouvant varier suivant les cas.

2.2 Relations entre espèces et espèces auxiliaires

Nous avons ainsi relié l’action du groupe symétrique sur l’homologie du poset des hyperarbres à l’action du groupe symétrique sur les k-chaînes larges du poset des hyperarbres. Il nous faut maintenant calculer cette action. Pour ce faire, nous définissons dans cette section de nouvelles espèces et relions les espèces introduites entre elles. Nous renvoyons le lecteur à la partie 1.1 pour une introduction à la théorie des espèces.

2.2 Relations entre espèces et espèces auxiliaires 35

2.2.1 Hyperarbres enracinés et pointés

Nous renvoyons le lecteur à la section 1.3.2 pour les définitions des hyperarbres enracinés, pointés en une arête, pointés en un sommet et une arête et creux.

Soit k un entier naturel.

Rappelons que le minimum d’une chaîne est l’hyperarbre de la chaîne qui possède le moins d’arêtes.

L’espèce associée aux k-chaînes larges d’hyperarbres, dont le minimum est un hyperarbre enraciné, est notée H_k^p. Le sommet racine dans le minimum est alors distingué dans les autres hyperarbres de la chaîne, si bien que tous les hyperarbres de la chaîne peuvent être considérés comme enracinés en ce sommet. Nous appellerons ces chaînes k-chaînes larges d’hyperarbres

pointées et noterons H_k^p l’espèce associée.

L’espèce associée aux k-chaînes larges d’hyperarbres dont le minimum est un hyperarbre pointé en une arête, appelées k-chaînes larges d’hyperarbres pointées en une arête, est notée H^a_k. L’espèce associée aux k-chaînes larges d’hyperarbres dont le minimum est un hyperarbre pointé en une arête et un sommet, appelées k-chaînes larges d’hyperarbres pointées en une arête et un

sommet, est notée H_k^pa.

2.2.2 Principe de dissymétrie

Nous renvoyons le lecteur à la proposition 1.3.10 pour une explication du principe de dissy-métrie sur les hyperarbres. Nous appliquons ce principe aux chaînes larges d’hyperarbres. Soit

k un entier naturel, la proposition suivante relie les k-chaînes larges d’hyperarbres non pointées,

enracinées, pointées en une arête et pointées en une arêtes et un sommet.

Proposition 2.2.1 (Principe de dissymétrie pour les chaînes d’hyperarbres). Les espèces des

chaînes d’hyperarbres vérifient la relation suivante :

(2.5) H_k+ H^pa_k = H_k^p+ H^a_k,

où = signifie l’existence d’un isomorphisme d’espèces.

Démonstration. La proposition résulte de l’application du principe de dissymétrie aux minima

des chaînes.

2.2.3 Relations entre espèces Relations pour H_k^p

Pour obtenir une équation fonctionnelle pour H^p_k, nous avons besoin d’introduire un dernier type de chaîne à partir de la notion d’hyperarbre creux, définie dans la partie 1.3.2.

Définition 2.2.2. Une k-chaîne large d’hyperarbres creuse est une chaîne large de longueur k dans le poset des hyperarbres sur {#, 1, . . . , n − 1}, dont le minimum est un hyperarbre creux. L’espèce des k-chaînes larges d’hyperarbres creuses est notée H^c_k. L’espèce des k-chaînes larges d’hyperarbres creuses dont le minimum n’a qu’une seule arête est notée H^cm_k .

Remarquons que les autres hyperarbres de la chaîne ne sont pas forcément des hyperarbres creux parce que le sommet étiqueté par # est dans une et une seule arête dans le minimum de la chaîne mais peut par la suite appartenir à plusieurs arêtes après division de l’arête le contenant.

Toutes ces espèces sont reliées par la proposition suivante. Proposition 2.2.3. Les espèces H^p_k, H^c_k et H^cm_k vérifient :

(2.7) H^c_k= H^cm_k ◦ H^p_k,

(2.8) H^cm_k = Comm ◦H^c_k−1.

Démonstration. Toutes les bijections décrites ci-dessous sont compatibles avec l’action du groupe

symétrique : ce sont des isomorphismes d’espèces.

Équation (2.6) Une k-chaîne d’hyperarbres enracinée sur un ensemble de cardinal 1 est consti-tuée d’un sommet répété à chaque étape. C’est donc le même objet qu’un singleton : l’espèce associée est l’espèce X.

Considérons maintenant les k-chaînes d’hyperarbres enracinées sur au moins deux som-mets. Une telle chaîne peut être divisée en un singleton et un ensemble de k-chaînes larges creuses d’hyperarbres. Le singleton correspond en effet à la racine du minimum de la chaîne et l’ensemble de chaînes creuses d’hyperarbres est obtenu en :

– supprimant la racine dans tous les hyperarbres de la chaîne, – mettant un creux # dans les arêtes où se trouvait la racine,

– séparant les arêtes contenant les creux dans le minimum de la chaîne de manière à obtenir un ensemble d’hyperarbres creux.

Le troisième point induit une décomposition de la chaîne en un ensemble de chaînes creuses. En effet, il permet d’obtenir une partition de l’ensemble des arêtes telle que chaque sommet différent de la racine apparaisse dans une et une seule part et telle que les parts soient connexes. De plus, cette partition est préservée dans la chaîne puisque les autres éléments dans la chaîne sont obtenus par division des arêtes uniquement : ceci donne le résultat (2.6).

Exemple 2.2.4. Une chaîne d’hyperarbres enracinée et sa décomposition en un singleton et un ensemble de chaînes creuses d’hyperarbres est présentée sur la figure 2.1. Nous avons ici représenté seulement les minima (en haut) et les maxima (en bas) des chaînes.

9 8 2 1 3 4 6 5 7 9 8 2 1 3 4 5 6 7 1 + 9 8 # 9 8 # 2 # 3 4 6 5 7 2 # 3 4 5 6 7

Figure 2.1 – Décomposition d’une chaîne d’hyperarbres enracinée. Équation (2.7) Soit S une k-chaîne creuse d’hyperarbres selon la définition 2.2.2.

L’arête creuse dans le minimum, c’est-à-dire l’arête contenant le creux, donne à chaque niveau l de la chaîne un ensemble d’arêtes distinguées D^l_e. Ces arêtes distinguées forment une chaîne creuse d’hyperarbres D dont le minimum n’a qu’une arête.

Supprimer l’arête creuse D¹_e dans le minimum de S donne une forêt d’hyperarbres, c’est-à-dire un ensemble d’hyperarbres {h¹₁, . . . , h¹_f}. Tout hyperarbre h_i a un sommet distingué

s_i qui était dans l’arête creuse. Enracinons h_i en s_i. L’évolution des arêtes de l’hyperarbre

hi dans S induit une chaîne S_hi. L’enracinement de h_i implique un enracinement de la chaîne S_hi.

2.2 Relations entre espèces et espèces auxiliaires 37

Remarquons maintenant que la forêt d’hyperarbres {h^l₁, . . . , h^l_f} obtenue au niveau l de la chaîne en supprimant D^l_e est identique à la forêt d’hyperarbres obtenue en prenant les hyperarbres au niveau l dans les chaînes S_h1, . . . , S_hf.

Ainsi la chaîne S est la chaîne D, où à chaque niveau l, sur un sommet i, on greffe l’hyperarbre h^l_i. La greffe consiste à remplacer le sommet i par la racine de l’hyperarbre

h^l_i.

La chaîne S peut aussi être vue comme la chaîne D, où une chaîne d’hyperarbres enracinée

S_hi a été insérée au sommet i. Ceci donne le résultat (2.7).

Exemple 2.2.5. Une chaîne creuse d’hyperarbres est équivalente à une chaîne creuse