Un exemple d’hyperarbre pointé en une arête est représenté sur la figure 1.16.
6 5 1 3 2 4 7
Figure 1.16 – Hyperarbre sur sept sommets, pointé en {1, 2, 3, 4}.
Définition 1.3.8. Un hyperarbre enraciné pointé en une arête est un hyperarbre H dont une arête a et un sommet s appartenant à l’arête a sont distingués. L’hyperarbre H est dit pointé
en a et enraciné en s.
Un exemple d’hyperarbre enraciné pointé en une arête est représenté sur la figure 1.17.
6 5 1 3 2 4 7
Figure 1.17 – Hyperarbre sur sept sommets, pointé en {1, 2, 3, 4} et enraciné en 3. Définition 1.3.9. Un hyperarbre creux sur un ensemble de sommets I est un hyperarbre sur l’ensemble {#} ∪ I, tel que le sommet étiqueté par #, appelé creux, n’appartient qu’à une et une seule arête, appelée arête creuse.
Un exemple d’hyperarbre creux est représenté sur la figure 1.18.
L’application qui à un ensemble I associe l’ensemble des hyperarbres d’un certain type (pointé ou non, enraciné ou non) dont les sommets sont étiquetés par I est une espèce. Nous noterons H (resp. Hp, Ha, Hpa) l’espèce qui, à un ensemble fini I, associe l’ensemble des hyperarbres (resp. hyperarbres enracinés, hyperarbres pointés en une arête, hyperarbres pointés en une arête et un sommet) dont les sommets sont étiquetés par I.
Nous invitons le lecteur à consulter le livre [BLL98, Chapitre 2.3] pour plus d’explications sur le principe de dissymétrie. De manière générale, un principe de dissymétrie est l’utilisation d’un centre naturel pour exprimer une espèce non pointée en fonction d’espèces pointées. Un exemple d’application de ce principe est l’utilisation du centre d’un arbre pour relier les arbres aux arbres enracinés.
Nous pouvons appliquer le principe de dissymétrie aux hyperarbres pointés et non pointés. Proposition 1.3.10. La relation suivante lie les espèces d’hyperarbres pointés et non pointés :
5 2 1 3 4 6 # 8 7
Figure 1.18 – Hyperarbre creux sur huit sommets. L’arête creuse est l’arête {1, 2, 3, 4}. Pour la preuve, nous avons besoin de la notion suivante qui utilise la proposition 1.3.5. Définition 1.3.11. L’excentricité d’un sommet ou d’une arête dans un hyperarbre est le nombre maximum d’arêtes et de sommets sur un chemin minimal le reliant à un autre sommet. Le
centre d’un hyperarbre (pointé en une arête ou non, enraciné ou non) est le sommet ou l’arête
d’excentricité minimum.
Exemple 1.3.12. Sur la figure 1.19 sont représentées les excentricités e de deux hyperarbres. Le centre de l’hyperarbre de gauche est une arête alors que le centre de l’hyperarbre de droite est un sommet. 9 8 2 1 3 4 6 5 7 e = 7 e = 6 e = 5 e = 4 9 8 2 1 3 4 6 5 7 e = 9 e = 8 e = 7 e = 6 e = 5
Figure 1.19 – L’excentricité e de deux hyperarbres Proposition 1.3.13. Le centre d’un hyperarbre est unique.
Démonstration. Nous prouvons cette proposition par l’absurde.
Considérons un hyperarbre H possédant deux centres a et b. Les centres a et b ont donc la même excentricité par définition. Le nombre de sommets et d’arêtes sur un chemin entre une arête et un sommet est pair. Le nombre de sommets et d’arêtes sur un chemin entre deux sommets est impair. Comme les chemins maximaux de longueur relient a et b à des sommets, les centres a et b sont donc tous les deux des arêtes ou tous les deux des sommets, suivant la parité de .
Comme a et b sont différents, il existe un chemin Cm minimal de longueur impaire de a à b, donc possédant au moins un élément c différent de a et de b. Considérons un chemin (b, . . . , en, vn = f ) de b à un sommet f tel que c ne soit pas dans ce chemin. Si c n’est pas dans le chemin minimal (a, . . . , e0p, v0p = f ) de a à f , alors la concaténation des chemins (b, . . . , en, f, e0p, . . . , a) est une marche de b à a ne contenant pas c. Les arêtes de type ei (res-pectivement e0j) sont toutes différentes. Si cette marche n’est pas minimale, il existe un indice i minimal tel que ei et e0j soient égaux pour un j et alors, le chemin (b, . . . , ei, vj0, . . . , a) serait un
chemin minimal de a à b ne contenant pas c donc différent de Cm : ceci contredit la proposition 1.3.5.
Ainsi, pour tout sommet f , c est soit sur le chemin de b à f , soit sur celui de a à f . L’excentricité de c est donc strictement plus petite que celle de a et b, ce qui contredit la minimalité de .
1.3 Hyperarbres 29
Démonstration de la proposition 1.3.10. Les applications suivantes sont des bijections réciproques : φ : H + Hpa → Ha+ Hp,
ψ : Ha+ Hp → H + Hpa.
Soit I un ensemble fini. Nous définissons les applications φ et ψ comme suit :
Si T appartient à l’image de I par H, φ(T ) est l’hyperarbre obtenu en enracinant ou pointant
T en son centre. Si le centre est un sommet, nous obtenons alors un hyperarbre enraciné, si son
centre est une arête, nous obtenons un hyperarbre pointé en une arête. (cas A)
Si T appartient à l’image de I par Hpa, φ(T ) est l’hyperarbre obtenu à partir de T en : – oubliant la racine de T si c’est son centre, ce qui donne un hyperarbre pointé en une arête,
(cas B)
– oubliant l’arête pointée de T si c’est son centre, ce qui donne un hyperarbre enraciné, (cas C)
– oubliant la racine ou l’arête pointé le plus près du centre de l’hyperarbre sinon.(cas D) Si T appartient à l’image de I par Ha, ψ(T ) est l’hyperarbre obtenu à partir de T en : – oubliant l’arête pointée de T si c’est son centre, (réciproque du cas A)
– enracinant le centre de T s’il appartient à l’arête pointée de T , (réciproque du cas B) – enracinant le sommet de l’arête pointée le plus proche du centre de T . (réciproque du cas
D)
Sinon, T appartient à l’image de I par Hp, ψ(T ) est l’hyperarbre obtenu à partir de T en : – oubliant la racine de T si c’est son centre, (réciproque du cas A)
– pointant le centre de T si c’est une arête contenant sa racine, (réciproque du cas C) – pointant l’arête la plus proche du centre de T et qui contient la racine de T . (réciproque
du cas D)
1.3.3 Le poset des hyperarbres
Soient I un ensemble fini de cardinal n, S et T deux hyperarbres sur I. L’hyperarbre S est
plus petit que T , noté S T , si chaque arête de S est union d’arêtes de T , et l’hyperarbre S est strictement plus petit que T , noté S ≺ T si S T mais S 6= T . Un exemple est présenté figure
1.20. ♠ ♦ ♥ ♣ ♠ ♦ ♥ ♣ , ♠ ♦ ♥ ♣ , ♠ ♦ ♥ ♣ .
Figure 1.20 – Exemple d’ordre dans le poset des hyperarbres à quatre sommets étiquetés par
I = (♦, ♥, ♣, ♠).
L’ensemble (H(I), ) est un ensemble partiellement ordonné (ou poset), noté HT(I). Le poset des hyperarbres est parfois aussi appelé poset de Whitehead. Nous noterons \HT(I) le poset obtenu en ajoutant à HT(I) un maximum ˆ1. Pour tout entier naturel n, nous noterons de plus HTn le poset HT({1, . . . , n}).
Dans HT(I), il est possible de définir le rang r(h) d’un hyperarbre h à A arêtes par :
r(h) = A − 1.
Les relations de couverture augmentent (ou diminuent) le rang de 1 : le poset HT(I) est gradué par le nombre d’arêtes de chaque hyperarbre.
Les posets des hyperarbres apparaissent lors de l’étude de groupes d’automorphismes de groupes libres et de produits libres dans les articles de D. McCullough-A. Miller [MM96], N. Brady-J. McCammond-J. Meier-A. Miller [BMMM01], J. McCammond-J. Meier [MM04] ou encore C. Jensen-J. McCammond-J. Meier [JMM07] et [JMM06]. L’ensemble de ces travaux a motivé l’étude de ces objets qui sera exposée dans les chapitres suivants.
1.3.4 Homologie du poset des hyperarbres
N. Brady, F. Chapoton, C. Jensen, J. McCammond, J. Meier et A. Miller ont montré plusieurs résultats sur le poset des hyperarbres que nous regroupons ci-après.
En montrant que le poset obtenu en renversant l’ordre des posets des hyperarbres admet un ordre récursif sur ses atomes, N. Brady, C. Jensen, J. McCammond, J. Meier et A. Miller ont prouvé le théorème suivant.
Théorème 1.3.14 ([BMMM01]). Les posets des hyperarbres HTdn sont Cohen-Macaulay.
Un calcul sur les nombres de Möbius du poset des hyperarbres effectué par J. McCammond et J. Meier donne le résultat suivant.
Théorème 1.3.15 ([MM04]). La caractéristique d’Euler réduite du poset des hyperarbres est (n − 1)n−2.
En utilisant la notion d’hyperarbre cyclique, F. Chapoton a montré le résultat suivant. Proposition 1.3.16 ([Cha07]). Le polynôme caractéristique du poset des hyperarbres sur n
sommets est donné par la fonction génératrice de l’ensemble fini des hyperarbres cycliques sur n sommets selon le nombre d’arêtes.