Racine n i` eme d’un faisceau inversible

d’un faisceau inversible 71

o`u L

_t

d´esigne la restriction de L `a la fibre P

n

κ(t)

. Nous allons montrer que la fonction

deg

L

est localement constante sur T. SoientL et M deux faisceaux inversibles sur P

n

T

et soient λ,µ, lesT-points de PicX/S associ´es. On forme le produit fibr´e :

U

T

(λ,µ)

PicX/S

^∆

PicX/S×

S

PicX/S.

Vu que PicX/S est non ramifi´e, la diagonale ∆ est une immersion ouverte si bien queU est

un ouvert deT. Par ailleurs, il est clair qu’un pointxdeT appartient `aU si et seulement

si deg

L

(x) et deg

M

(x) sont ´egaux. On en d´eduit facilement que deg

L

est localement

constante surT.

On peut donc d´efinir un morphisme

degr´e

deg : PicX/S Z

qui `a un faisceau inversibleL associe deg

L

. Il est clair que ce morphisme est l’inverse de

ϕ.

Enfin pour d´eterminer le champ de Picard deX on peut appliquer (1.3.8) et l’on voit

qu’il est isomorphe `aZ×BG

_m.

Pic(P

n

Z

/SpecZ)≃Z×BG

_m

5.2 Racine ni`eme d’un faisceau inversible

Passons maintenant `a un exemple un peu plus ´elabor´e. Soient X unS-sch´ema et L

un faisceau inversible surX. Soitn un entier strictement positif. On fabrique un champ

[L

n¹

] `a partir de ces donn´ees de la mani`ere suivante. SiU est un objet de (Aff/S), [L

n¹

]U

est la cat´egorie des triplets (x,M, ϕ) o`u







x:U X est un ´el´ement deX(U)

M est un faisceau inversible sur U

ϕ:M

^⊗n

x

∗

L est un isomorphisme de faisceaux inversibles.

L’ensemble des morphismes de (x,M, ϕ) vers (x

′

,M

′

, ϕ

′

) est vide six6=x

′

, et sinon c’est

l’ensemble des isomorphismesψ:M M

′

tels queψ

⊗n

soit compatible avecϕetϕ

′

.

Remarquons que nous avons un morphisme canoniqueπ: [L

¹n

] X. Si l’on regarde

[L

n¹

] comme un groupo¨ıde sur X, alors pour tout U ∈ ob (Aff/X), la cat´egorie fibre

[L

n¹

]U est simplement la cat´egorie des couples (M, ϕ).

Si U ∈ ob (Aff/S) et si α est un objet de [L

¹n

]U, un calcul rapide montre que le

foncteurAut

U

(α) est repr´esentable parµ

n. Plus g´en´eralement, si

α

1

, α

2

sont deux objets

de [L

¹n

]U, alors le foncteur Isom(α

1

, α

2) est repr´esentable par un sch´ema fini sur

U

(localement ce sch´ema est de la forme Spec (A[X]/(X

n

−γ)) o`u SpecAest un ouvert de

U qui trivialise les objets α

1

et α

2

et γ est un ´el´ement de A

×

). En d’autres termes le

morphisme diagonal

∆π: [L

n¹

] [L

n¹

]×

X

[L

¹n

]

est sch´ematique et fini. En particulier [L

n¹

] est unS-pr´echamp. Il est clair que c’est mˆeme

unS-champ.

Remarque 5.2.1 Si f : Y X est un morphisme de S-sch´emas, alors le S-champ

[L

n¹

]×

X

Y est canoniquement 1-isomorphe `a [(f

∗

L)

n¹

] (´evident).

Proposition 5.2.2 Le champ[L

¹n

]est une gerbefppfsurX. SiS est unZ[

1

n

]-sch´ema,

alors [L

n¹

] est mˆeme une gerbe ´etale surX.

D´emonstration.Il est clair que [L

n¹

] a des objets partout localement pour la topologie

de Zariski, puisque pour tout U le faisceauO

_U

a une racinen

i`eme

´evidente. A fortiori π

est un ´epimorphisme (au sens que l’on veut, ´etale oufppf).

Montrons que le morphisme diagonal est un ´epimorphismefppf, et que c’est mˆeme un

´epimorphisme ´etale lorsquenest inversible. SoientU ∈ob (Aff/S) etx∈X(U). Il s’agit de

montrer que deux objets quelconques de [L

n¹

]U au-dessus dexsont isomorphes localement

pour la topologiefppf (resp. ´etale). Quitte `a localiser pour la topologie de Zariski, on peut

supposer que les faisceaux sous-jacents `aα

1

etα

2

sont triviaux. La question revient alors `a

montrer que tout ´el´ement deG

m(

U) admet une racinen

i`eme

localement pour la topologie

consid´er´ee. Soit γ∈G

m(

U). On noteU = SpecAetB=A[X]/(X

n

−γ). Il est clair que

Best fini et plat surA. D’apr`es le going-up theorem, le morphisme SpecB SpecAest

surjectif, donc c’est une famille couvrante pour la topologiefppf qui r´epond au probl`eme

pos´e. Si de plus nest inversible alors c’est mˆeme une famille couvrante pour la topologie

´etale.

Proposition 5.2.3 SiL a une racinen

i`eme

surX, i.e. s’il existe un faisceau inversible

M sur X tel que M

^⊗n

soit isomorphe `a L, alors [L

n¹

] est canoniquement (une fois

qu’on a fix´eM et un isomorphisme entreM

^⊗n

etL) 1-isomorphe au champ classifiant

(Bµ

n)fppf

du groupe µ

n

pour la topologie fppf. En particulier c’est un champ alg´ebrique

([38] (10.6) et (10.13.1)).

Remarque 5.2.4 Si nest inversible, alorsµ

n

est ´etale et les champs (Bµ

n)fppf

et Bµ

n

co¨ıncident ([38] (9.6)). Dans ce cas ce sont des champs de Deligne-Mumford. Notons que si

nn’est pas inversible, alorsµ

n

n’est pas lisse, et le champ Bµ

n

qui classifie lesµ

n-torseurs

´etales n’a aucune raisona priori d’ˆetre alg´ebrique.

D´emonstration.La donn´ee d’un faisceau inversibleM surX et d’un isomorphisme

ϕ: M

⊗n ^∼

L

d´efinit une sections:X [L

n¹

] du morphisme structuralπ. Donc la gerbefppf [L

n¹

]

surX est une gerbe neutre (au sens de [38] (3.20)). Le r´esultat d´ecoule donc de l’analogue

fppf de [38] (3.21).

Remarque 5.2.5 On a d´ej`a vu que [L

¹n

] est un S-champ fppf, donc a fortiori un S

-champ (´etale), et que sa diagonale est repr´esentable, s´epar´ee, et quasi-compacte (puisque

∆π est sch´ematique et fini et que le morphisme [L

n¹

]×

X

[L

n¹

] [L

n¹

]×

S

[L

n¹

],

obtenu par changement de base `a partir de la diagonale deX/S, est une immersion

quasi-compacte). Soit X

′

X une famille couvrante (pour la topologie de Zariski) telle que

L

_|X′

soit trivial. Alors d’apr`es la proposition pr´ec´edente et la remarque (5.2.1), on a un

diagramme 2-cart´esien

(Bµ

n)fppf

[L

n¹

]

X

′

X

5.2 Racine n

i`eme

d’un faisceau inversible 73

Remarque 5.2.6 On suppose queS est unZ[

1

n

]-sch´ema et queX est noeth´erien. Alors

π est propre, lisse, de pr´esentation finie, et cohomologiquement plat en dimension z´ero.

En particulier siX/S v´erifie ces propri´et´es, le morphisme [L

n¹

] S les v´erifie aussi.

Calcul du groupe de Picard de [L

¹n

]

Lemme 5.2.7 SoientX un sch´ema et Aun sch´ema en groupes commutatifs surX. Soit

F un faisceau inversible sur une A-gerbe (fppf) π :X X. Il existe un unique X

-morphisme de sch´emas en groupes

χ

F

:A G

_m

tel que l’action naturelle de A sur F soit induite parχ

F

et par la multiplication F ×

G

_m

F induite par la structure de O

_X

-module de F, autrement dit tel que le

dia-gramme suivant soit commutatif :

A×F

F

G

_m

×F

D´emonstration. Un faisceau inversible sur la gerbe X est la donn´ee, pour tout x ∈

obX

_U

, d’un faisceau inversibleF

_x

surU, et pour tout morphismeϕ:x x

′

dansX,

d’un isomorphisme

L

F

(ϕ) :F

_x

π(ϕ)

^∗

F

_x′

ces isomorphismes v´erifiant de plus une condition de compatibilit´e ´evidente.

Construisons d’abordχ

F

(U) pour unU ∈ob (Aff/X) sur lequelX a des objets. Soit

x ∈obX

_U

et soitg ∈ A(U). Via l’identification entre A(U) et Aut(x), g correspond `a

un automorphisme ϕ de x, et induit de ce fait un automorphisme L

F

(ϕ) de F

x. Cet

automorphisme correspond `a la multiplication par un unique ´el´ement deG

m(

U), que l’on

note pour l’instantχ

F

(U)(x, g). Maintenant sixetx

′

sont deux objets deX

_U

, on v´erifie

facilement que χ

F

(U)(x, g) = χ

F

(U)(x

′

, g) en utilisant la condition de compatibilit´e

entre les L

F

(ϕ), le fait quexet x

′

sont localement isomorphes pour la topologiefppf et

le fait que G

_m

est un faisceau pour cette mˆeme topologie. D’o`u le morphismeχ

F

(U) :

A(U) G

m(

U). Il est clair, vu sa construction, que ce morphisme est d´etermin´e de

mani`ere unique par les actions naturelles deAet de G

_m

surF.

´

Etant donn´e que X a des objets partout localement pour la topologie fppf, cette

collection de morphismes se prolonge de mani`ere unique en un caract`ereχ

F

deAv´erifiant

les propri´et´es annonc´ees.

Remarque 5.2.8 Siχest un caract`ere fix´e deA, un faisceau inversibleF surX est un

faisceauχ-tordu de degr´ed(au sens de Lieblich, [40] 2.1.2.2) si et seulement siχ

F

=χ

d

.

Propri´et´es 5.2.9 (1) La construction de χ

F

est compatible au changement de base

en un sens ´evident.

(2) SiF etG sont des faisceaux inversibles sur X, alors

χ

F⊗G

=χ

F

.χ

G

.

D´emonstration. La premi`ere propri´et´e est ´evidente : il suffit de l’´ecrire. La deuxi`eme

r´esulte imm´ediatement du fait que si l’automorphismeL

F

(ϕ) (resp.L

G

(ϕ)) deF

_x

(resp.

G

x) est la multiplication par

χ

F

(ϕ) (resp.χ

G

(ϕ)), alors l’automorphismeL

F

(ϕ)⊗L

G

(ϕ)

deF

_x

⊗G

_x

est la multiplication parχ

F

(ϕ).χ

G

(ϕ). Montrons maintenant le dernier point.

Supposons tout d’abord que F soit isomorphe `a un faisceau de la forme π

∗

M, o`u

M est un faisceau inversible sur X. Il est clair que χ

F

est ´egal `a χ

π∗M

donc il suffit

de montrer que χ

π∗M

est trivial, c’est-`a-dire que pour tout objet xde X et pour tout

automorphismeϕdex, l’automorphismeL

π∗M

(ϕ) de (π

∗

M)xest l’identit´e. C’est ´evident

par construction de l’image inverse.

R´eciproquement, supposonsχ

F

trivial, i.e. supposons que pour tout objetxdeX et

tout automorphismeϕdex, L

F

(ϕ) soit l’identit´e deF

x. En utilisant le lemme (1.2.2.7)

on voit que provenir de la base est une question locale sur X pour la topologie fppf.

On peut donc supposer, grˆace `a la propri´et´e (1) ci-dessus, que X est une gerbe neutre,

c’est-`a-dire que le morphisme structuralπ:X X a une sections:X X.

On va alors montrer que F est isomorphe `a π

∗

s

∗

F. Le faisceau π

∗

s

∗

F est celui

qui `a tout objet x de X associe F

s(π(x)), les isomorphismes de changement de base

´etant simplement les isomorphismes canoniques. Nous allons construire une collection

d’isomorphismesρ

x

deF

_x

dans F

_s(π(x))

(pour chaque objetxdeX), compatibles avec

lesL

F

(ϕ) et lesL

π∗s∗F

(ϕ).

Si xet s(π(x)) sont isomorphes dans X

_U

on choisit un isomorphismeϕ de x dans

s(π(x)) et on poseρ

x

=L

F

(ϕ). Siϕ

1

etϕ

2

sont deux tels isomorphismes, alors (ϕ

2)−1

◦ϕ

1

est un automorphisme dex, donc d’apr`es l’hypoth`ese surF on aL

F

((ϕ

2)−1

◦ϕ

1) = IdF_x

de sorte que ρ

x

est bien d´efini et ne d´epend pas du choix deϕ.

Dans le cas g´en´eral, on sait quexets(π(x)) sont localement isomorphes pour la

topo-logiefppf puisqueX est une gerbe. Vu l’unicit´e dans la construction deρ

x

lorsque xest

isomorphe `as(π(x)), il est clair qu’il existe un unique isomorphismeρ

x

:F

_x

F

_s(π(x))

compatible avec ceux construits dans le cas pr´ec´edent. La collection de tous les ρ

x

ainsi

construits r´epond au probl`eme pos´e.

Exemple 5.2.10 (groupe de Picard de BG) En utilisant cette construction, on

re-trouve facilement le groupe de Picard du champ classifiant BG, o`u G est unX-sch´ema

en groupes ab´eliens. En effet, le morphisme structural π : BG X a une section,

donc π

∗

: Pic(X) Pic(BG) a une r´etraction et en particulier il est injectif. D’apr`es

la proposition pr´ec´edente, l’application F 7→ χ

F

induit un morphisme de groupes de

Pic(BG) dans Gb dont Pic(X) est le noyau. Ce morphisme est naturellement scind´e : si

χ:G G

_m

_{est un caract`ere deG, on lui associe la classe du faisceau inversible} L(χ)

construit de la mani`ere suivante. Pour toutU ∈ob (Aff/S) et toutG-torseurUe on d´efinit

L(χ)

_Ue

comme ´etant le faisceau inversible correspondant auG

m-torseur sur

U obtenu `a

partir de _Ue _{par extension du groupe structural via le caract`ereχ. On a donc une suite}

exacte courte scind´ee :

1 Pic(X) Pic(BG) Gb 1

de sorte que Pic(BG) est naturellement isomorphe au produit Pic(X)×_Gb_.

Dans le cas du champ [L

n¹

], on a un faisceau inversible

canonique

, que nous

noterons Ω, et que l’on peut construire de la mani`ere suivante. Pour toutU ∈ob (Aff/S) et

tout objetα= (x,M, ϕ) de [L

¹n

]U, on pose Ωα=M. Les isomorphismes de changement

de base sont d´efinis de mani`ere ´evidente. Il est clair que le caract`ere χ

Ω

associ´e `a Ω est

5.2 Racine n

i`eme

d’un faisceau inversible 75

simplement l’injection canonique

χ:µ

n

G

_m

.

En particulier, vu que χn’est pas le caract`ere trivial, on peut en d´eduire que le faisceau

Ω ne provient pas de la baseX! Enfin, pour tout objetα= (x,M, ϕ) de [L

¹n

]U (o`uU ∈

ob (Aff/S)), le faisceau (Ω

⊗n

)α, qui n’est autre que M

⊗n

, est canoniquement isomorphe

`

a x

∗

L (viaϕ!) de sorte que l’on a un isomorphisme canonique

Φ : Ω

⊗n ^∼

π

∗

L .

Nous avons maintenant presque tous les ´el´ements en main pour d´ecrire de mani`ere

com-pl`ete le groupe de Picard de [L

n¹

]. Nous terminons le travail dans la proposition ci-dessous.

Proposition 5.2.11 On notella classe du faisceauL dansPic(X)etωcelle deΩdans

Pic([L

n¹

]).

(1) Le morphismeπ

∗

: Pic(X) Pic([L

n¹

]) est injectif, et l’on a une suite exacte

courte :

1 Pic(X) Pic([L

n¹

]) µc

n

1.

(2) Le groupePic([L

n¹

])est isomorphe au quotient du groupePic(X)×H

0

(X,Z)par le

sousH

0

(X,Z_{)-module engendr´e par(l}

−1

, n)(autrement dit par la relationω

n

=l).

D´emonstration.La propri´et´e (5.2.9) (2) montre que l’application F 7→ χ

F

induit un

morphisme de groupes de Pic([L

¹n

]) dansµc

n. Il est clair que ce morphisme est surjectif,

vu que µc

n

est isomorphe au groupe H

0

(X,Z/nZ), engendr´e par l’injection canonique

χ:µ

n

G

m, et que

χ=χ

Ω. La propri´et´e (5.2.9) (3) montre que la suite ci-dessus est

exacte en Pic([L

n¹

]). Pour en finir avec le premier point il nous reste donc juste `a montrer

l’injectivit´e deπ

∗

.

SoitN un faisceau inversible surX et soitf un isomorphisme deπ

∗

N dansO

[Ln¹]

.

Il s’agit de montrer que N est trivial. L’isomorphisme f est donn´e par une collection

d’isomorphismes

f

α

: (π

∗

N)α=x

∗

N

^∼

(O

[Ln¹]

)α=O

_U

pour chaque objet α = (x,M, ϕ) de [L

n¹

]U, ces isomorphismes v´erifiant de plus une

condition de compatibilit´e que nous nous dispensons d’expliciter, mais qui, en particulier,

entraˆıne que les isomorphismes f

α

et f

α′

associ´es `a deux objetsα et α

′

au-dessus d’un

mˆeme ´el´ement xde X(U) sont ´egaux d`es queαet α

′

sont isomorphes. Si x∈X(U) est

un objet de X au-dessus duquel [L

n¹

]U a des objets, alors vu que deux objets αet α

^′

sont localement isomorphes, lesf

α

pourα∈ob [L

n¹

]U sont tous ´egaux et d´efinissent donc

une section f

x

du faisceauIsom(x

∗

N,O

_U

). En fait, vu que [L

n¹

] a des objets partout

localement pour la topologiefppf, la collection desf

α

d´efinit de mani`ere unique un ´el´ement

f

x

∈Isom(x

∗

N ,O

_U

)(U) pour toutx∈X(U), que [L

¹n

] ait des objets au-dessus dex

ou non. On v´erifie facilement que les isomorphismes ainsi construits

f

x

: x

^∗

N

^∼

O

_U

forment un syst`eme compatible d’isomorphismes et d´efinissent donc un isomorphisme de

Pour le point (2), notons G le quotient du groupe Pic(X)×H

0

(X,Z) par le sous

H

0

(X,Z)-module engendr´e par la relationω

n

=l. On a clairement un morphisme de G

dans Pic([L

n¹

]) qui envoie (0,1) surω. En utilisant les propri´et´es pr´ec´edentes, et le fait

queµc

n

est isomorphe `a H

0

(X,Z/nZ) et engendr´e parχ

Ω, on v´erifie tr`es facilement que

ce morphisme est un isomorphisme.

Exemple 5.2.12 Prenons pour X l’espace projectif P

k

sur SpecZ. Alors Pic(X) est

isomorphe `aZ. On fixe un entier relatiflet on poseL =O(l). La proposition pr´ec´edente

permet de calculer Pic([L

n¹

]) pour tout n appartenant `a N

∗

. Par exemple si l = 1, on

trouve

1

n

Z. Sil est un multiple de n, on est dans le cas o`u L a une racinen

i`eme

et l’on

trouve Z×Z/nZ. Dans le cas g´en´eral, le groupe Pic([L

n¹

]) est isomorphe (de mani`ere

non canonique) `a

^d_n

Z×Z/dZo`u dest le pgcd denetl.

Foncteur de Picard relatif de [L

n¹

]/S

NotonsX = [L

¹n

]. Pour tout sch´emaU surS, on a une suite exacte courte :

1 Pic(X×

S

U) Pic(X ×

S

U) H

0

(X×

S

U,Z/nZ) 1.

Elle induit la suite exacte

1 ^Pic_Pic(U)

^(X×SU)

^Pic_Pic(U)

^(X×SU)

H

0

(X×

S

U,Z/nZ) 1,

d’o`u une suite exacte de pr´efaisceaux

1 P

_X/S

P

X/S

f

∗

Z/nZ 1.

En appliquant `a cette suite exacte le foncteur

faisceau ´etale associ´e

on obtient une

suite exacte de faisceaux ´etales :

1 PicX/S

^ϕ0

Pic

X/S χ

f

∗Z

/nZ 1. (5.1)

Remarque 5.2.13 Si L a une racine n

i`eme

R, la suite exacte (5.1) est scind´ee par

i7→(ωr

−1

)

i

o`urest la classe deRdans Pic(X), si bien que Pic

X/S

s’identifie au produit

PicX/S×

S

f

∗

Z/nZ.

Remarque 5.2.14 Le faisceauf

∗Z

/nZn’esta priori pas repr´esentable. En cons´equence,

dans le cas g´en´eral, il ne suffit pas que PicX/S soit repr´esentable pour que Pic

X/S

le soit,

mˆeme lorsque la gerbe X est triviale. Cependant si f est ouvert, dominant et `a fibres

g´eom´etriquement connexes, alorsf

∗

Z_/nZ₌Z_/nZ_{. C’est le cas par exemple lorsquef est}

localement de type fini, plat et cohomologiquement plat en dimension z´ero.

On suppose maintenant que f

∗

Z/nZ _{co¨ıncide avec}Z/nZ et l’on consid`ere le produit

PicX/S×

S

Zde PicX/S par le groupe constantZ. On va voir que Pic

X/S

est isomorphe au

quotient de PicX/S ×

S

Zpar la relationω

n

=l. On noteH le sous-groupe engendr´e par

(l

−1

, n). Le foncteur PicX/S×

S

Zs’identifie `a une union disjointea

i∈Z

(PicX/S)i de copies

de PicX/S index´ees par Z. Pour tout i appartenant `a Z, on note µ

_ωi

le morphisme de

multiplication par ω

i

de Pic

X/S

dans lui-mˆeme, et on noteϕ

i

le morphisme compos´e

PicX/S

^ϕ0

Pic

X/S µ_ωi

5.2 Racine n

i`eme

d’un faisceau inversible 77

La collection desϕ

i

d´efinit donc un morphisme

ϕ: PicX/S×

S

Z _Pic

X/S

dont il est clair qu’il est invariant sous H. On v´erifie facilement avec les suites exactes

pr´ec´edentes qu’il est universel pour les morphismes invariants sousH de PicX/S×

S

Z`a

valeurs dans unS-sch´emaT. Le foncteur Pic

X/S

s’identifie donc bien au quotient ´evoqu´e

ci-dessus. On peut construire ce quotient

`a la main

comme suit (voir figure ci-dessous).

Pour tout couple d’entiers (i, k) on identifie les copies de PicX/S num´eroi et i+nkvia

l’isomorphisme de translation

(PicX/S)i+nk

^µlk

(PicX/S)i.

La loi de groupe est induite naturellement par celle de PicX/S et par la relationω

n

=l.

•

• ^•

•

• ^•

• ^•

• ^•

0

•

0

•

•⁰

•⁰

l

•

l

•

•^l

•^l

−l

•

−l

•

(PicX/S)n

(Pic

_X/S

)n

−1

(PicX/S)0

(PicX/S)

−1

..

.

..

.

..

.

Le foncteur de Picard de [L

¹n

]

Ceci montre en particulier que si PicX/S est repr´esentable, alors Pic

X/S

l’est aussi

1

.

Description du champ de Picard de [L

n¹

]

On a une

suite exacte

de champs de Picard :

1 Pic(X/S)

^π

∗

Pic(X/S)

^χ

f

∗

Z_/nZ _1. (5.2)

Autrement dit,π

∗

est pleinement fid`ele,χ est un ´epimorphisme, et siF est un objet

dePic(X/S), il provient dePic(X/S) si et seulement si son caract`ereχ

F

est nul. Tout

ceci a d´ej`a ´et´e prouv´e. De mˆeme que pr´ec´edemment, si l’on suppose quef

∗Z

/nZ=Z/nZ,

alors le champ Pic(X/S) s’identifie au champ obtenu `a partir de Pic(X/S)×

S

Z en

recollant les copies num´ero ieti+nkle long de l’isomorphisme

(Pic(X/S))i+nk

^µlk

(Pic(X/S))i

1. Mais bien sˆur, on le savait d´ej`a dans le cas o`u f est propre, plat et cohomologiquement plat en dimension z´ero.

pour tous i, k appartenant `a Z. En particulier il suffit dans ce cas que Pic(X/S) soit

alg´ebrique pour quePic(X/S) le soit aussi.

Dans le cas o`u L a une racine n

i`eme

R sur X, la suite exacte (5.2) est scind´ee et

Pic(X/S) s’identifie au produitPic(X/S)×

S

f

∗Z

/nZ.

Dans le document Champs algébriques et foncteur de Picard (Page 72-79)