Composante des fibres le long d’une section

Lemme 4.1.1.1 Soient k un corps, X un k-sch´ema connexe localement de type fini, L

une extension de k et p la projection de X

L

dans X. Alors les fibres de p rencontrent

toutes les composantes connexes de X

L. Autrement dit, pour toute composante connexe

U

de X

L, le morphisme induit

p

|U

:U X est surjectif.

D´emonstration. En d´evissant l’extension, il suffit clairement de traiter le cas d’une

extension alg´ebrique et le cas d’une extension transcendante pure. Dans le premier cas, le

morphisme SpecL Speck est universellement ouvert ([29] 2.4.9) et universellement

ferm´e ([27] 6.1.10). Si U est une composante connexe deX

L, son image

p(U) dansX est

ouverte, ferm´ee et non vide, donc c’est X tout entier.

Supposons maintenant l’extensionL/ktranscendante pure. Si Ω est une autre

exten-sion dek, alors l’anneauL⊗

k

Ω est int`egre. En effet, en ´ecrivantL=k(T), o`uT est une

famille d’ind´etermin´ees, on voit queL⊗

k

Ω est isomorphe `aS

−1

Ω[T] avecS=k[T]. Il en

r´esulte que les fibres de psont g´eom´etriquement int`egres. Notons (X

i)i∈I

la famille des

composantes connexes de X

L. Vu que les fibres de

p sont connexes, chaque X

i

est une

r´eunion de fibres. Donc les p(X

i) forment une partition de

X, et ils sont ouverts puisque

pest ouvert. Par connexit´e un seul d’entre eux est non vide, doncX

L

est connexe.

Lemme 4.1.1.2 Soit

X

f

S

′ g e

S

un diagramme commutatif de sch´emas. On suppose que f est lisse et quasi-compact, et

que g est universellement ouvert. Alors il existe un unique ouvert U de X tel que pour

touts∈S,U

s

soit la r´eunion des composantes connexes de X

s

qui rencontrente(S

′

).

D´emonstration.On noteX

′

le produit fibr´eX×

S

S

′

ete

′

:S

′

X

′

la section induite

pare. D’apr`es [30] (15.6.5), on a un ouvertU

′

deX

′

tel que pour touts

′

∈S

′

, la fibre de

U

′

au-dessus des

′

soit la composante connexe deX

′

s′

contenante

′

(s

′

). SoitU l’image de

U

′

dansX. C’est un ouvert deX puisqueg est universellement ouvert.

Sis est un point deS, il est clair que la fibreU

s

est l’image de U

′

s

par le morphisme

X

′

s

X

s

obtenu par changement de base. Donc pour montrer queU v´erifie la propri´et´e

annonc´ee, on peut supposer que S est le spectre d’un corps k. Pour tout s

′

∈ S

′

, la

fibre U

′

s′

est connexe et contient e

′

(s

′

), de sorte que son image dans X est incluse dans

la composante connexe de e(s

′

). Comme U est la r´eunion des images des U

′

s′

, on en

d´eduit que U est inclus dans la r´eunion des composantes connexes de X qui rencontrent

e(S

′

). R´eciproquement, ´etant donn´e un points

′

deS

′

et un pointxdeX qui est dans la

composante connexe dee(s

′

), montrons quexappartient `aU. NotonsC

′

la composante

connexe deX

′

s′

qui contiente

′

(s

′

), etCla composante connexe dee(s

′

) dansX. D’apr`es le

lemme (4.1.1.1), le morphisme induit deC

′

versCest surjectif. En particulierxappartient

`

a l’image deC

′

, donc `aU.

L’unicit´e deU est claire, puisque l’ensemble sous-jacent `aU est d´etermin´e de mani`ere

unique par ses fibres.

Remarque 4.1.1.3 Dans le lemme pr´ec´edent, pour touts∈S,X

s

est lisse surκ(s) donc

ses composantes connexes sont irr´eductibles. On en d´eduit que si S

′

est un ouvert deX,

alorsU

s

est l’adh´erence deS

′

s

dansX

s.

Remarque 4.1.1.4 L’hypoth`ese de quasi-compacit´e sur f n’est pas n´ecessaire. Elle est

cependant pr´esente dans l’´enonc´e [30] (15.6.5), et c’est le seul endroit o`u nous l’utilisons.

Nous allons nous en affranchir dans le lemme (4.1.1.5) ci-dessous. Ceci prouve en

parti-culier, en reprenant la d´emonstration du lemme (4.1.1.2) et en y rempla¸cant

D’apr`es

[30] (15.6.5)

par

D’apr`es le lemme (4.1.1.5)

, que l’´enonc´e (4.1.1.2) est encore valable

mˆeme lorsquef n’est plus suppos´e quasi-compact.

Lemme 4.1.1.5 SoientS un sch´ema et X un espace alg´ebrique lisse surS muni d’une

sectione:S X. Alors il existe un sous-espace alg´ebrique ouvert deX, not´eU(X/S),

tel que pour tout s∈S, la fibre de U(X/S)au-dessus de ssoit la composante connexe de

e(s)dansX

s.

D´emonstration.Il suffit de traiter le cas o`uS est quasi-compact. On notef :X S

le morphisme structural deX. Soitπun morphisme ´etale d’un sch´ema quasi-compactX

1

vers X tel que le morphisme compos´e f ◦π soit surjectif. On note S

1

le produit fibr´e

S×

e,X,π

X

1. Le diagramme commutatif

X

1 f◦π

S

1 e′

S

v´erifie bien les hypoth`eses du lemme (4.1.1.2), donc il existe un ouvertU

1

deX

1

tel que

pour tout s ∈S, U

1s

soit la r´eunion des composantes connexes de X

1s

qui rencontrent

e

′

(S

1). On note

U l’image deU

1

parπ(c’est un ouvert deX), puisV

1

l’image r´eciproque

deU parπ(c’est un ouvert deX

1). Autrement dit

V

1

est le satur´e deU

1

pour la relation

d’´equivalence d´efinie par π. On applique maintenant le lemme (4.1.1.2) au diagramme

commutatif

X

1 f◦π

4.1 Pr´eliminaires 63

et on obtient ainsi un ouvertW

1

deX

1

tel que, pour touts∈S,W

1s

soit la r´eunion des

composantes connexes deX

1s

qui rencontrentV

1s, c’est-`

a-dire l’adh´erence deV

1s

dansX

1s

(cf. remarque (4.1.1.3)). On note maintenantW l’image deW

1

parπ. C’est un ouvert de

X.

NotonsC

s

la composante connexe deX

s

qui contiente(s). L’ouvertU

1s

est la r´eunion

des composantes connexes de X

1s

qui rencontrent e

^′

(S

1s). Donc son image

U

s

est une

r´eunion de parties connexes qui contiennente(s). En particulierU

s

est inclus dansC

s. De

plusU

s

est non vide car tout point deSest dans l’image deX

1. Comme

C

s

est irr´eductible

(puisque X

s

est lisse), on aC

s

=U

s

=π

s(

V

1s).

Par ailleurs, on a la suite d’inclusions et d’´egalit´es ensemblistes suivante :

π

_s⁻¹

(W

s)

= π

_s⁻¹

(π

s(

W

1s))

= π

_s⁻¹

(π

s(

V

1s))

par construction deW

1s

⊂ π

−1

s

(π

s(

V

1s))

par continuit´e deπ

s

⊂ π

s⁻¹

(π

s(

V

1s))

parce queπ

s

est un morphisme ouvert

= V

1s

= W

1s

⊂ π

−1 s

(W

s)

.

D’o`u l’´egalit´e entreπ

−1

s

(W

s) et

π

−1

s

(π

s(

V

1s)), qui peut encore s’´ecrire :

W

s

=π

s(

X

1s)

∩C

s

.

Maintenant, soit (π

i

: X

i

X)i

∈I

une famille couvrante ´etale, o`u les X

i

sont des

sch´emas affines et o`u chacun des morphismes compos´esf◦π

i

est surjectif (c’est possible :

il suffit de veiller `a ce que chacun desX

i

recouvre l’image, quasi-compacte, de la section

e dans X). Pour chaque i ∈ I, on note W

i

l’ouvert de X obtenu par la construction

pr´ec´edente. Soit U(X/S) la r´eunion des W

i. Il est clair que pour tout

s∈S, la fibre de

U(X/S) au-dessus desest ´egale `aC

s.

Remarque 4.1.1.6 Comme sous-foncteur de X, l’ouvert U = U(X/S) est caract´eris´e

par la propri´et´e suivante. Pour tout S-sch´ema T et pour tout ξ∈X(T),ξ appartient `a

U(T) si et seulement si pour tout s ∈ S, le point ξ

s

∈ X

s(

T

s) obtenu par changement

de base appartient `a C

s(

T

s), autrement dit le morphisme correspondant

T

s

X

s

se

factorise parC

s. La v´erification est imm´ediate et laiss´ee au lecteur. En particulier on voit

que la propri´et´e v´erifi´ee par les fibres d´etermine U(X/S) de mani`ere unique.

Remarque 4.1.1.7 La formation de U(X/S) commute `a tout changement de base. En

effet, soit S

′

S un morphisme de changement de base. Notons U = U(X/S), X

′

=

X ×

S

S

′

, U

′

=U ×

S

S

′

, et e

′

: S

′

X

′

la section obtenue par changement de base.

D’apr`es la remarque pr´ec´edente il suffit de montrer que pour tout points

′

deS

′

, la fibre

U

′

s′

est la composante connexe deX

′

s′

contenante

′

(s

′

). Soients

′

un point deS

′

et sson

image dansS. On a un diagramme commutatif `a carr´es cart´esiens :

U

_s^′′

X

_s^′′ p

Specκ(s

^′

)

U

s

X

s

Specκ(s).

L’ouvert U

s

est un κ(s)-sch´ema connexe qui a un κ(s)-point, donc d’apr`es [29] 4.5.13 il

est g´eom´etriquement connexe. En particulierU

′

s′

est connexe, et comme il contiente

′

(s

′

)

il est inclus dans la composante connexeC

′

s′

dee

′

(s

′

). D’autre part,C

′

s′

est connexe donc

son image aussi et elle contiente(s), doncp(C

′

s′

) est inclus dansC

s, ou, ce qui revient au

mˆeme, C

′

s′

est inclus dansp

−1

(U

s) =

U

′

s′

.

Dans le document Champs algébriques et foncteur de Picard (Page 62-65)