Raccordement micro-macro

Comme pour le modèle de Stephan, on résout ce système avec un runge kunta d’ordre 4 couplé avec une méthode de tir, Prétant la pression de recul. Les conditions initiales considérées pour

ce système sont données par (4.30).

(Condi-Ini-S2)                      x = 0 y = 0 θ = θi d∆P dx = ρlLvap  Twall Tsat 1  (4.30)

Comme précédemment, en plus des conditions initiales, nous considérons une condition de courbure nulle à l’infini et la résolution du système se fait à l’aide d’une méthode de tir sur le flux Q. À noter qu’une étude paramétrique est proposée sur les solutions obtenues lors de la résolution du modèle de Mathieu en Annexe A.

4.2.3 Raccordement micro-macro

Les modèles en micro-couche nous permettent de calculer la contribution thermique des petites échelles de longueur difficilement accessibles par un code de calcul macroscopique. Ainsi, pour obtenir une bonne modélisation du transfert thermique lors de l’ébullition nucléée, il convient d’intégrer au code numérique, les résultats obtenus lors de la résolution du modèle de micro- couche. Le raccordement entre ces régions doit se faire de sorte que les valeurs de l’angle de contact et du flux de masse aux bornes supérieures de la micro-région correspondent à celles aux bornes inférieures de la macro région. De cette façon, on préserve une continuité entre le flux total transmis par la micro-couche et le flux calculé par le code numérique dans la première maille à travers la relation qmicro tot= 2π (xmic x0) Qmic+ qtransoù Qmicest la puissance

linéique obtenue lors de la résolution du modèle de micro-couche, qtrans est la puissance cal-

culée dans la zone de transition représentée sur la figure 4.5 et qmicro tot est la puissance totale

CHAPITRE 4. SIMULATION NUMÉRIQUE DE L’ÉBULLITION EN PAROI 81

une continuité de courbure θapp(micro) = θapp(mac)lors de la transition entre la micro-couche

et le domaine macroscopique.

FIGURE4.5 – Domaines microscopique et macroscopique

Nous pouvons noter que la transition se fait dans une région où la courbure de l’interface est jugée constante, par conséquent, pour rester cohérent avec cette hypothèse il convient de mailler suffisamment notre domaine pour que l’épaisseur de la première maille soit de l’ordre de la dizaine de micromètres ce qui, comme l’indique Legendre and Dupont [2009], correspond à la région où l’on définit l’angle de contact apparent.

Raccordement pour le flux

Nous effectuons un raccordement entre le flux prédit par les modèles et le flux calculé par la code de simulation en nous inspirant du processus proposé par Kunkelmann and Stephan [2009] Le calcul du flux au niveau de la micro-couche se fait sur l’intervalle [x0 ; xmic], (voir figure

4.5). De sorte que, le calcul du flux dans la zone de raccordement se fera sur [xmic; xmac]. Le

flux total transmit est donc donné par l’équation (4.31) :

qmicro tot =

Z xmac

x0

klrT n dS (4.31)

En considérant que le gradient thermique est essentiellement normal à la paroi, on obtient les équations suivantes :

4.2. MODÈLES DE MICRO-COUCHE 82 qmicro tot = I 2π Z xmic x0 kl dT dy x dx | {z } Flux de la micro-couche dθ +

Flux de la zone de transition

z }| { I 2π Z xmac xmic kl dT dy x dx dθ (4.32)

qmicro tot 2π (xmic x0) Qmic+ qtrans (4.33)

qtrans = I 2π Z xmac xmic kl (Twall Tsat) x

klRi+ δmic+ (x xmic)tan(θ)

dx dθ (4.34)

qtrans= 2πkl(Twall Tsat) _tan(θ)1

h Rxmac

xmic 1 dx

Rxmac

xmic

klRi+δmic tan(θ)xmic

klRi+δmic+(x xmic)tan(θ) dx

i

(4.35)

qtrans = 2π kl(Twall Tsat) _tan(θ)1 [(xmac xmic)

klRi+δmic tan(θ)xmic

tan(θ) ln



1 +(xmac xmic)tan(θ)

klRi+δmic

i (4.36)

Avec ce jeu d’équations, nous obtenons la puissance totale transmise par les échelles de lon- gueur en dessous de la maille. Cette contribution sera ajoutée à celle calculée directement par le code, au moment du calcul des débits massiques.

Aussi, si nous notons ˙m, le débit massique surfacique calculé par le code à travers un élé- ment de surface de l’interface, Σintet Lvap la chaleur latente ; alors, le flux de masse, ˙mtot, à

fournir au code de calcul, pour prendre en compte la contribution des petites échelles, est donnée par la relation (4.37) :

˙

mtot = ˙m +

qmicro tot

(LvapΣint) (4.37)

Raccordement pour la forme de l’interface

Pour raccorder le profil d’interface de la micro-couche au profil macroscopique, l’angle de contact qui est obtenu lors de la résolution du modèle est utilisé dans le code de calcul comme condition limite, voir fig : 4.5.

Dans ses travaux, Janecek [2012] montre que, même lors du changement de phase, la varia- tion de l’angle de contact apparent avec le nombre capillaire suit une loi de type Cox Voinov. De plus, les modèles de micro-couche sont résolus en supposant une ligne de contact fixed_{. Ainsi,}

l’angle apparent est obtenu dans le cas d’une vitesse nulle, de sorte qu’il peut être utilisé dans la formule de Cox Voinov pour l’angle correspondant au nombre capillaire nul. Finalement, la

. . . .

d. Cette hypothèse est acceptable dans la mesure où la dynamique du liquide due à l’évaporation à la ligne de contact est généralement plus importante que la dynamique macroscopique, Rednikov et al. [2009]. Toutefois, d’autres études proposent des modèles qui prennent en compte la vitesse de déplacement de la ligne de contact, on peut notamment citer les travaux de Janecek [2012].

CHAPITRE 4. SIMULATION NUMÉRIQUE DE L’ÉBULLITION EN PAROI 83

condition limite utilisée à la paroi, pour le code de calcul lors de l’ébullition, prend la forme (4.38), avec L et lmles échelles de longueurs définies dans le chapitre précédent.

θ3= θapp(Ca= 0)3 9Ca ln(L

lm