2.3 Résultats Numériques
2.3.1 Croissance d’une bulle avec un débit massique uniforme
Pour ce premier cas test, nous avons considéré le cas d’une bulle statique en deux dimensions avec un débit d’évaporation constant. Ce cas test a été adapté pour la croissance d’une bulle à partir de celui proposé par Tanguy et al. [2007], dans le cas de la vaporisation d’une goutte. En condition initiale, nous considérons une bulle de rayon R0 = 0.001 m et un débit massique
uniforme ˙m = 0.1 kg.m 2.s 1. La bulle grossira jusqu’à un temps t
f = 0.01 s, qui correspond
à un rayon de bulle deux fois plus important que son rayon initial, voir eq.(2.60) avec Rtheole
rayon théorique. Rtheo= R0+ ˙ m ρv t (2.60)
Nous considérons un domaine de calcul de dimension lx = 0.008 met ly = 0.008 m, et en
conditions limites nous imposons des conditions de sortie libre. Les propriétés physiques des fluides sont présentées dans le tableau 2.1.
CHAPITRE 2. CROISSANCE D’UNE BULLE DANS UN LIQUIDE SURCHAUFFÉ 27
ρl ρv µl µg σ
1000 kg.m−3 1 kg.m−3 0.001 kg.m−1s−1 1.78 10−5 kg.m−1s−1 0.07 N.m−1 Tableau 2.1 – Propriétés physiques
Dans la mesure où le débit massique est imposé artificiellement, ce cas test ne nécessite pas la résolution de l’équation d’énergie. Une étude de convergence a été menée en utilisant trois méthodes différentes pour imposer la condition de saut des vitesses. La première est la mé- thode "Delta Function", dans laquelle une épaisseur d’interface est introduite afin de lisser les discontinuités. La seconde méthode est une méthode "Ghost Fluid" avec une extension clas- sique du champ de vitesse, comme réalisée par Gibou et al. [2007] et Nguyen et al. [2001]. La troisième méthode numérique est celle proposée par Tanguy et al. [2007], qui repose sur une méthode "Ghost Fluid" couplée avec une extension d’un champ de vitesse à divergence nulle. Une comparaison entre l’évolution temporelle du rayon, fournie par la théorie et par chacune de ces méthodes, pour un maillage grossier, est présentée sur la figure 2.2. Les résultats obtenus, pour des mailles plus fines, sont présentés dans le tableau 2.2.
FIGURE2.2 – Comparaison des évolutions temporelles du rayon de la bulle pour les différentes méthodes numériques en 32x32
32x32 64x64 µg128x128 256x256
Delta Function −22 % −23.7 % −24.3 % −24.6 %
Ghost Fluid/extension de V 2.2 % 1.13 % 0.611 % 0.35 % Ghost Fluid/extension de V à divergence nulle 0.51 % 0.22 % 0.109 % 0.056 % Tableau 2.2 – Comparaison des erreurs relatives sur le rayon final pour les différentes méthodes et pour les différents maillages
2.3. RÉSULTATS NUMÉRIQUES 28
32x32 64x64 µg128x128 256x256
Delta Function 1.29 13.3 166.5 3848
Ghost Fluid/extension de V 1.52 15.3 198.9 4392 Ghost Fluid/extension de V à divergence nulle 1.63 18.0 246.1 5881 Tableau 2.3 – Temps des calculs en seconde pour les différentes méthodes et pour les différents maillages.
Il est à noter que nous obtenons de bons résultats avec la méthode "Ghost Fluid" en appliquant l’extension classique du champ de vitesses. Ces résultats sont un peu améliorés si l’extension est appliquée avec un champ de vitesses à divergence nulle, toutefois, le coût en terme de calcul est important (voir tableau 2.3). Sur la figure 2.3, la position de l’interface et le champ de vitesses ont été tracés pour un maillage 128x128 dans le cas de la méthode "Ghost Fluid" avec l’exten- sion sur la vitesse à divergence nulle. Sur cette figure, nous pouvons visualiser l’expansion des vecteurs vitesses générée par le changement de phase autour de la bulle.
FIGURE 2.3 – Champ des vecteurs vitesses (m/s) à t = tf/2 obtenu avec la méthode Ghost
Fluid avec l’extension à divergence nulle 128x128.
D’un autre côté, la méthode "Delta Function" fournit des résultats moins précis et converge vers une valeur plus importante (environ 25%) que la valeur attendue. Ce résultat peut être expliqué par le lissage artificiel de la condition de saut à l’interface (voir figures 2.5 et 2.4). Les ap- proximations sur les vitesses causées par ce lissage, inhérentes à l’utilisation de cette méthode, peuvent être évitées en utilisant des cellules fantômes pour le calcul des extensions avec la mé- thode "Ghost Fluid". Le champ de vitesse de la vapeur et son extension dans le liquide sont
CHAPITRE 2. CROISSANCE D’UNE BULLE DANS UN LIQUIDE SURCHAUFFÉ 29
tracés sur les figures 2.6 et 2.8. Finalement, sur les figures 2.5, 2.7 et 2.9, la vitesse radiale est tracée pour les trois méthodes.
FIGURE 2.4 – Champ des vecteurs vitesses (m/s) à t = tf/2 obtenu avec la méthode
Delta Function 64x64.
FIGURE 2.5 – Comparaison entre la vitesse radiale attendue et celle obtenue numéri- quement avec la méthode Delta Function (128x128) àt = tf/2.
FIGURE 2.6 – Champ des vecteurs vitesses (m/s) à t = tf/2 obtenu avec la méthode
Ghost Fluid 64x64.
FIGURE 2.7 – Comparaison entre la vitesse radiale attendue et celle obtenue numérique- ment avec la méthode Ghost Fluid (128x128) àt = tf/2.
2.3. RÉSULTATS NUMÉRIQUES 30
FIGURE 2.8 – Champ des vecteurs vitesses (m/s) à t = tf/2 obtenu avec la méthode
Ghost Fluid avec extension de la vitesse à di- vergence nulle 64x64.
FIGURE 2.9 – Comparaison entre la vitesse radiale attendue et celle obtenue numérique- ment avec la méthode Ghost Fluid et avec l’extension de la vitesse à divergence nulle (128x128) àt = tf/2.
Sur la figure 2.5, obtenue avec la méthode "Delta Function", nous observons au moins trois points de calcul définis au niveau du saut de vitesse. Ainsi, il semble que l’interface soit ad- vectée avec une vitesse intermédiaire entre la vitesse de la vapeur et la vitesse du liquide. À l’inverse, avec la méthode "Ghost Fluid", le saut de vitesse est parfaitement respecté sur une épaisseur nulle, comme on peut le voir sur les figures 2.7 et 2.9. Il n’y a donc pas de vitesse lissée à l’interface lors du calcul du saut, et celle-ci est donc transportée avec une vitesse appro- priée (dans ce cas, une vitesse nulle pour la vapeur).
Il convient de noter que dans l’ébullition, la vitesse de changement de phase est du même ordre de grandeur que la vitesse d’expansion, mais dans d’autres cas, où la vitesse d’expan- sion est bien plus importante que la vitesse de changement de phase, les erreurs numériques sur l’évolution du rayon peuvent devenir plus importantes (voir Tanguy et al. [2007]).