R´esum´e et vue d’ensemble de l’espace des param`etres

Dans cette partie, on a mis en ´evidence l’impact du nombre de Prandtl magn´etique sur les diff´erents r´egimes dynamo et leur r´epartition dans l’espace des param`etres, particuli`erement `a Ra/Rac ´elev´e. Il s’est av´er´e que les crit`eres tels le Ro_{`</sub> ou le f<sub>dip</sub> ne sont pas suffisants pour d´eterminer la topologie du champ magn´etique. D’autres v´erifications sont n´ecessaires, comme l’´evolution temporelle de l’angle d’inclinaison ou celle du nombre d’Elsasser par rapport `a des simulations dipolaires av´er´ees, moins turbulentes. La zone de transition entre le r´egime dipolaire et multipolaire d´epend, entre autre, de la valeur de P m impos´ee. Ce choix de param`etres, `a haut Ra et P m moyen, modifie l’´equilibre des forces, et dans les cas domin´es par la force de Lorentz la dynamique du champ est diff´erente des cas dipolaires classiques, domin´es par la force de Coriolis. Pour mieux distinguer ces diff´erents r´egimes et leurs d´eclinaisons, l’ensemble des simulations ´etudi´ees sont regroup´ees en figure 3.14, en fonction des trois param`etres d’entr´ee (E, P m, Ra/Ra<sub>c</sub>). En parti-culier, les valeurs critiques mentionn´ees ci-avant ont ´et´e repr´esent´ees approximativement : Λ<sup>0</sup> ∼ 1 et Ro<sub>`}∼ 0.12, calcul´ees `a chaque valeur du nombre d’Ekman par interpolation lin´eaire - `a Ra constant pour Λ⁰ = 1 et P m constant pour Ro_{`</sub> = 0.12. L’espace (P m,Ra) est ainsi s´epar´e en quatre zones. Pour des valeurs de Ro<sub>`} < 0.12 - `a gauche de la ligne presque verticale - se trouvent des dynamos dipolaires exclusivement (symboles circulaires), elles-mˆemes divis´ees en deux cat´egories selon la valeur de Λ<sup>0</sup> : symbole bleu pour les dynamos dipolaires `a Λ⁰ > 1 et rouge pour Λ⁰< 1. L’espace `a droite de la limite Ro` ∼ 0.12 - et donc `a Ra/Racplus ´elev´e - est divis´e selon le mˆeme principe, mais compte cette fois ´egalement des dynamos multipolaires (symboles carr´es). La taille du symbole est logarithmiquement proportionnelle au nombre d’Elsasser, rapport´e entre 0 et 1 apr`es normalisation par la valeur maximale Λmax `a chaque valeur du nombre d’Ekman - donc chaque panel.

5 10 20 30

Ra/Ra

Pm

1

Ro

0.1

Ra/Ra

Pm

1

Ro

0.1

Ra/Ra

Pm

1

Ro

0.1

Ra/Ra

Pm

Figure 3.14 – Diagrammes des diff´erents r´egimes dynamos pour les quatre valeurs du nombre d’Ekman. Les cercles indiquent les dynamos dipolaires, les carr´es les dynamos multipolaires. La couleur, rouge ou bleu, distingue respectivement les dynamos `a Λ<sup>0</sup> < 1 and Λ<sup>0</sup> > 1. La taille des symboles d´epend du nombre d’Elsasser. Les limites Λ<sup>0</sup> ∼ 1 et Ro` ∼ 0.1 sont trac´ees lorsque les donn´ees le permettent.

Sans surprise les dynamos domin´ees par la force de Lorentz sont localis´ees aux hautes valeurs de P m et de Ra/Ra_c. La partie la plus int´eressante, car nouvelle, de ces diagrammes est la partie `

a Ro_{`</sub> > 0.12. Effectivement, selon la valeur de Λ<sup>0</sup>, deux comportements sont observ´es. Pour les dynamos non domin´ees par la force de Lorentz, la transition a lieu comme attendu d`es l’instant que la valeur critique est atteinte : aucune dynamo non domin´ee par la force de Lorentz reste dipolaire `a Ro<sub>`} > 0.12. La taille des symboles, qui diminue, indique ´egalement la chute du Elsasser pour les P m bas, comme observ´e aux figures 3.12. Cependant, en passant dans la zone bleue de l’espace des param`etres, domin´ee par la force de Lorentz, des dynamos dipolaires persistent au-del`a de Ro_`∼ 0.12, d’autant plus qu’elles s’´eloignent de la limite Λ⁰ = 1, distinguant les deux ´equilibres de forces possibles (partie 3.3.4).

Pour les deux premi`eres valeurs d’Ekman - panels 3.14a et 3.14b, des dynamos multipolaires sont tr`es proches voire sur la limite Λ⁰ = 1. Ces dynamos ont ´et´e cat´egoris´ees multipolaires malgr´e des diff´erences non n´egligeables avec les dynamos multipolaires `a Λ<sup>0</sup> < 1, parce qu’elles pr´esentent au moins un renversement ou une exploration (voir partie 3.4 ci-apr`es). La valeur du nombre d’El-sasser est d’ailleurs comparable `a celle des dynamos dipolaires pr´ec´edant la transition. Pour une valeur d’Ekman plus faible - E = 3× 10−5 repr´esent´ee sur le panel 3.14c, ce type de comportement n’est pas observ´e malgr´e des valeurs de Ro<sub>`</sub> > 0.16. Deux facteurs peuvent ˆetre avanc´es pour expli-quer cette diff´erence. D’une part, les valeurs de P m explor´ees donnent acc`es `a des Λ0 assez ´eloign´es de la valeur critique, ne permettant pas la transition vers le r´egime multipolaire via un changement d’´equilibre de force - comme c’est le cas pour la transition `a E = 10<sup>−4</sup>, P m = 3. D’autre part, les valeurs de Ro<sub>`</sub> atteintes ne sont pas tout `a fait comparables aux valeurs obtenues avant les transitions observ´ees `a E = 3× 10−4- jusqu’`a Ro<sub>`</sub>> 0.18, alors que leur nombre d’Elsasser modifi´e est tr`es proche de la valeur critique 1. Ce point est discut´e plus amplement en partie 3.4.3. Pour la valeur la plus basse du nombre d’Ekman- panel 3.14d, le coˆut des simulations `a haut Ra/Ra_c n’a pas permis d’explorer de fa¸con repr´esentative le r´egime domin´e par la force de Lorentz. Un seul cas, `a P m = 1 et Ra/Ra<sub>c</sub>∼ 90 atteint une valeur de Λ<sup>0</sup> l´eg`erement sup´erieure `a 1<sup>1</sup>. Ce cas est la solution domin´ee par la force de Lorentz `a plus bas P m obtenue. Seul un cas multipolaire `a faible valeur de P m a ´et´e obtenu<sup>2</sup>. Pour ´eviter tout biais dˆu `a une extrapolation excessive, l’absence d’indication des limites entre les diff´erents r´egimes a ´et´e pr´ef´er´ee.

On remarque aussi que, `a l’image de la limite Ro<sub>`</sub> ∼ 0.12 se d´epla¸cant vers les Ra/Rac plus ´elev´es lorsque le nombre d’Ekman est diminu´e, la zone des dynamos domin´ees par la force de Lo-rentz se d´ecale vers des valeurs de P m plus basses. Effectivement, diminuer la valeur du nombre d’Ekman correspond `a une augmentation de la rotation par rapport `a la dissipation, impactant ainsi les rapports Ro<sub>`</sub> et Λ<sup>0</sup> tout deux d´ependant de l’intensit´e de la force de Coriolis. Pour des dynamos proches du seuil de convection, `a bas Ra/Ra_c, il est n´ecessaire de consid´erer des valeurs de P m∼ 10 pour obtenir ce r´egime. En revanche, pour des mod`eles plus turbulents, des P m plus mod´er´es permettent d’obtenir des valeurs de Λ<sup>0</sup> ≥ 1. Par exemple, la dynamo dipolaire domin´ee par la force de Lorentz obtenue `a E = 10⁻⁵ a pour param`etres P m = 1 et Ra/Ra<sub>c</sub>∼ 80. La limite entre les deux r´egimes `a des valeurs de Ra encore plus supercritiques est incertaine. Les donn´ees des mod`eles `a E = 10⁻⁴ et E = 3× 10−5 - panels 3.14b et 3.14c - laissent penser que cette limite stagne `a une valeur de P m constante ou remonte l´eg`erement vers des valeurs de P m plus ´elev´ees. Cette partie a permis de mettre en ´evidence trois points principaux :

— Le crit`ere pour la transition `a Ro<sub>`</sub> ∼ 0.12 n’est pas valable pour les simulations `a haut P m. — Le comportement du nombre d’Elsasser pendant la transition d´epend de P m.

1. Ce qui est d´ej`a une prouesse num´erique. 2. Ce qui est aussi une prouesse num´erique.

— Un ´equilibre entre force de Lorentz et de Coriolis `a grande ´echelle permet de conserver le r´egime multipolaire `a de hautes valeurs de Ra/Ra_c.