2.1 Mod`ele local
2.1.4 Diagnostiques de post-traitement
Pour analyser les r´esultats obtenus et les interpr´eter, il est n´ecessaire d’avoir acc`es `a un certain nombre de quantit´es, souvent plus complexes que le r´esultat brut de notre simulation - i.e. les champs ~u et ~b. En particulier, quand on s’int´eresse au ph´enom`ene de cascade (voir 1.2.2), il est important d’avoir acc`es `a la r´epartition des quantit´es selon les diff´erentes ´echelles et `a sa dyna-mique. Dans cette partie, nous nous attacherons donc `a pr´esenter num´eriquement les fonctions de traitement de donn´ees utilis´ees. Les champs sont sauvegard´es de deux fa¸cons compl´ementaires : tous les pas de temps dans l’espace r´eel sous forme d’´energie (alors moyenn´es sur tout l’espace) et p´eriodiquement en temps dans l’espace spectral pour connaˆıtre leur r´epartition spatiale.
Spectres
Le terme spectre d´esigne commun´ement la r´epartition d’une ´energie selon une gamme de fr´equences. Dans cette partie, spectre d´esignera la r´epartition de toute quantit´e selon le vecteur d’onde ~k, analogue de la fr´equence spatiale. Ceux-ci sont calcul´es `a partir des fichiers contenant les champs sauvegard´es dans l’espace spectral, donnant ainsi directement acc`es `a la distribution en fonction de k de la quantit´e consid´er´ee. Seules deux composantes sont sauvegard´ees, la troisi`eme pouvant ˆetre calcul´ee grˆace `a la condition de divergence nulle impliquant kxu˜x+ kyu˜y+ kzu˜z = 0. Par exemple, l’´energie en k = kncorrespond `a la somme des ´energies associ´ees `a tous les modes satisfaisant kn−1 < kmode ≤ kn, avec kmode = P
iki la norme en trois dimensions de ~kmode. Les spectres d’´energie cin´etique et magn´etique ainsi que les spectres d’h´elicit´e crois´ee et magn´etique sont calcul´es de cette fa¸con. Enfin, `a partir des spectres d’h´elicit´e crois´ee et magn´etique, il est possible de reconstruire le spectre correspondant `a l’h´elicit´e hybride.
Pour les spectres d’´energie, une fonction suppl´ementaire d´ecomposant le spectre en deux pola-risations (cfr partie 4.2) a ´et´e impl´ement´ee. Effectivement les champs peuvent ˆetre d´ecompos´es en deux parties not´ees AΛ avec Λ =±1, repr´esentant les composantes du champ complexeA dans la~ˆ base h´elicitaire complexe (~h+, ~h−), plus appropri´ee pour l’´etude d’ondes polaris´ees circulairement. Ces composantes peuvent s’exprimer en fonction des composantes ux, uy, uz ce qui a l’avantage d’´eviter l’impl´ementation et le calcul de la base h´elicitaire :
AΛ(~k) = 1 2kkk
kxkkax+ kykkay− k2zaz+ Λik(kyax− kxay)
. (2.19)
Ce type de d´ecomposition permet l’introduction de variables d’Elsasser dˆıtes g´en´eralis´ees, adapt´ees au cas avec rotation :
ZΛs ≡ UΛ+ ξsΛBΛ, (2.20)
avec
ξΛs ≡ −skd
−sΛ +√1 + k2d2. (2.21)
UΛ etBΛ sont calcul´es `a partir de l’´equation (2.19), o`u Λ et s repr´esentent les diff´erentes binaisons de polarisations possibles (circulaire pour Λ et directionnelle pour s). Les quatre com-posantes Zs
Λ sont ainsi calcul´ees, permettant ainsi l’acc`es aux diff´erentes polarisations du spectre. Celle qu’on appellera polarisation droite correspond aux composantes telles que Λ = s, tandis polarisation gauche correspond `a Λ =−s (cf partie 4).
Cette d´emarche a pour but d’ajouter une information suppl´ementaire `a celles d´ej`a renseign´ees par le spectre : au-del`a de la r´epartition entre ´echelle, elle permet de distinguer les comportements sp´ecifiques `a chacune des composantes de l’´energie.
Flux
Similairement `a la d´ecomposition en variables d’Elsasser g´en´eralis´ees - en plus simple cependant - les flux permettent de savoir quel processus ´energ´etique agit dynamiquement sur la r´epartition des quantit´es ´etudi´ees. Le flux d’une quantit´e `a travers une surface, ici sph´erique de rayon k, est calcul´e pour toutes les valeurs de k possibles et donne ainsi des indications sur le processus dynamique de cascade `a toutes les ´echelles. A partir des ´equations (2.6), quatre termes non-lin´eaires sont impliqu´es dans l’´evolution des champs ~u et ~b (deux par ´equation). Leurs contributions ind´ependantes ne sont pas identifiables `a partir des spectres. Ces termes repr´esentent en fait les interactions inter-champs, et sont donc extrˆemement pr´ecieux pour caract´eriser la dynamique d’un syst`eme. On rappelle que le flux d’´energie totale Π `a l’´echelle k est d´efini par ∂tE(k) =−∂kΠ(k). Par d´efinition :
∂tE = ∂tEu+ ∂tEb (2.22) = 1 2 ∂t(~u· ~u) + ∂t(~b·~b) (2.23) = ~u· ∂t~u + ~b· ∂t~b , (2.24)
et donc avec les ´equations (2.6) et Π(k) le flux total depuis l’int´erieur d’une coquille de rayon k (voir Verma (2004)) :
Π(k) = ~u<k · (~u · ∇~u) − ~u<k · (~b · ∇~b) +~b<k · (~u · ∇~b) −~b<k · (~b · ∇~u). (2.25)
Les interactions possibles sont multiples : u<k, la composante du champ ~u `a l’int´erieur de la coquille de rayon k, est potentiellement redistribu´ee vers n’importe quel ~u ou ~b via les termes non-lin´eaires, et de mˆeme pour b<k. Cependant les composantes ~u<k vers ~u<k ne sont pas comptabilisables en tant que flux (car elles ne traversent pas la surface), et il ne reste donc que les composantes de ~u<k vers ~u>k et ~b. Les termes crois´es u<k vers b<k (et r´eciproquement) sont peu discut´es dans la litt´erature, sˆurement puisqu’ils s’annulent lorsque la somme (2.25), correspondante `a l’´energie totale, est ef-fectu´ee. Leur faible impact, bien que non-nul, a ´et´e v´erifi´e dans cette ´etude.
Ne sont finalement consid´er´es que les termes de flux de la coquille interne de rayon k vers toutes les coquilles externes. Une nomenclature s’impose alors. On d´esignera par ΠXY Z(k) le flux du champ
~
X vers le champ ~Z via le champ ~Y , d’une ´echelle inf´erieure `a k vers une ´echelle sup´erieure : ΠXY Z(k0) = Re( ~Xk<· (~Y · ~Zk>)), (2.26) o`u les exposants<et>d´esignent respectivement les composantes des champs respectant k < k0 et k > k0 avec k0 l’´echelle `a laquelle le flux est calcul´e. L’op´erateur Re d´esigne l’op´erateur partie r´eelle, n´ecessaire ici puisque les champs sont complexes. L’´equation (2.25) revient finalement `a :
Π(k) = ~u<k · (~u · ∇~u>k)− ~u<k · (~b · ∇~b>k) + ~b<k · (~u · ∇~b>k)−~b<k · (~b · ∇~u>k). (2.27) En fonction des quantit´es choisies pour ~X, ~Y et ~Z, le flux ΠX
Y Z peut d´esigner toutes les combi-naisons possibles de termes non-lin´eaires. Ainsi, les quatre flux d’´energie restant sont d´efinis par : Πuuu(k) ≡ ~u<k · (~u · ∇~u>k) , (2.28)
Πubb(k) ≡ −~u<k · (~b · ∇~b>k) , (2.29) Πbub(k) ≡ ~b<k · (~u · ∇~b>k) , (2.30) Πbbu(k) ≡ −~b<k · (~b · ∇~u>k). (2.31)
On remarquera que Πuuu et Πubb correspondent `a l’´equation du moment, tandis que Πbub et Πbbu `a l’´equation d’induction.
De mani`ere analogue, il est possible de d´efinir les flux des h´elicit´es magn´etique Hm, crois´ee Hc et hybride Hh (voir partie 4.1.1 pour les d´efinitions de ces quantit´es) :
ΠHm(k) = −~b<k · (~u ×~b>k) , (2.32)
ΠHc(k) = 1 2[~b
<
k · (~u · ∇~u>k −~b · ∇~b>k) + ~uk<· (~u · ∇~b>k −~b · ∇~u>k)] , (2.33)
ΠHh(k) = ΠHm(k)/d− ΠHc(k) , (2.34)
avec ~Ω0d = ~B0. Ces flux en revanche ne correspondent pas `a un terme d’une ´equation, mais `a une quantit´e compl`ete.
Taux de transferts
Pour ´etudier les transferts sous une autre forme, il est possible de d´efinir le taux de dissipation - `a distinguer des taux d’injection - issus du terme ´eponyme :
= νX ~k6=0
k2(|~uk|2), (2.35)
mesurant ainsi la dissipation `a petite ´echelle. Cette d´efinition est valable identiquement pour les termes de dissipation visqueuse ou de dissipation magn´etique, donnant ainsi deux taux de dissipa-tion, u et b.
De fa¸con analogue, il est possible de d´efinir les taux de dissipation aux grandes ´echelles `a partir d’un terme d’hypoviscosit´e de la forme ν−∇~−2~u. On obtient finalement quatre types de taux de dissipation, `a grandes ou `a petites ´echelles - respectivement not´es − et + - et cin´etique ou magn´etique - not´es u et b.
Finalement, ceux-ci peuvent ˆetre regroup´es sous une seule ´equation : ±=X
~k6=0
k±2(ν±|ˆ~u|2+ η±|~b|ˆ2) = ±u + ±b, (2.36) o`u ν et η d´esignent ici la viscosit´e cin´ematique et la diffusivit´e magn´etique.