Aspects num´eriques de PaRoDy

D´ecomposition polo¨ıdale-toro¨ıdale

Pour tout champ de vecteur sol´eno¨ıdal, c’est-`a-dire `a divergence nulle, il existe un potentiel vecteur tel que ~B = ~∇ ∧ ~A. Cette propri´et´e permet `a un champ sol´eno¨ıdal ~V d’ˆetre d´ecompos´e en deux champs scalaires sous la forme :

~

V = ~∇ ∧ (Vt~r) + ~∇ ∧ ~∇ ∧ (Vp~r) , (2.45) o`u V<sub>t</sub> et V<sub>p</sub> sont appel´ees respectivement les composantes toro¨ıdale et polo¨ıdale. Dans l’´equation du mouvement, cette d´ecomposition `a l’avantage d’´eliminer le terme de pression (puisque ´etant irrotationnel).

Par analogie avec le syst`eme de coordonn´ees ´equatoriales en astronomie (ou encore coordonn´ees g´eographiques en ... g´eographie), la composante polo¨ıdale - dirig´ee vers les pˆoles - correspond `a la d´eclinaison (ou longitude) et la composante toro¨ıdale `a l’ascension droite (ou latitude). Ce type de d´ecomposition est donc particuli`erement ad´equat pour d´ecrire un champ ´evoluant en g´eom´etrie sph´erique.

Pour un champ `a divergence non-nulle, il est possible d’utiliser le mˆeme type de d´ecomposition `

a laquelle il faut cependant ajouter une troisi`eme composante scalaire appel´ee sph´ero¨ıdale d´ecrivant la partie non-sol´eno¨ıdale du champ vectoriel.

Discr´etisation

Comme mentionn´e pr´ec´edemment, le volume consid´er´e est l’espace entre deux sph`eres concen-triques. Il est donc naturel de d´ecomposer cet espace en coquilles concentriques espac´ees d’un pas variable, constituant ainsi une discr´etisation radiale sur une grille irr´eguli`ere. Un sch´ema aux diff´erences finies centr´e est utilis´e pour calculer les d´eriv´ees sur cette grille.

La discr´etisation en latitude-longitude est effectu´ee quant `a elle dans l’espace spectral, via une d´ecomposition en harmoniques sph´eriques. Not´ees Y<sub>l</sub><sup>m</sup>, ce sont des fonctions complexes d´efinies sur chacune des coquilles `a partir des coordonn´ees (θ, φ), remplac´ees par (l, m) respectivement le degr´e et l’ordre d’une harmonique. De plus, ici elles sont d´efinies de sorte `a former une base de l’ensemble des fonctions continues d´efinies sur la sph`ere. Ainsi, une fonction F (θ, φ) appartenant `a cet ensemble peut s’´ecrire :

F (θ, φ) = ∞ X l=0 l X m=0 f_l^mY_l^m(θ, φ) + c.c. (2.46)

avec f_l^m les coefficients attribu´es `a chaque harmonique et c.c. le complexe conjugu´e. L’avantage principal de cette d´ecomposition est qu’elle permet une simplification radicale de l’op´erateur lapla-cien (∇2) en coordonn´ees sph´eriques, Ym

l ´etant les fonctions propres de cet op´erateur. Effectivement on impose ∇2Y_l^m = l(l + 1)Y_l^m.

La composante radiale d’un champ r´eel ~A(r, θ, φ) d´efini en coordonn´ees sph´eriques s’´ecrit dans cette d´ecomposition : Ar(r, θ, φ) = ∞ X l=0 l X m=0 Ar ^m_l f_l^mY_l^m(θ, φ) + c.c., (2.47)

permettant ensuite l’expression des composantes toro¨ıdale et polo¨ıdale correspondantes dans cette base.

De part la forme et l’usage pr´esent´e ici, les harmoniques sph´eriques sont un ´equivalent des transform´ees de Fourier discr`etes en coordonn´ees sph´eriques. Elles permettent effectivement la

simplification des d´eriv´ees spatiales et miment un passage au domaine spectral (ici repr´esent´e par les degr´e l et ordre m des harmoniques).

Les composantes de ~U et ~B en d´ecomposition polo¨ıdale-toro¨ıdale sont ainsi calcul´ees au cours du temps. Leurs valeurs sont stock´ees p´eriodiquement, ainsi que plusieurs types de spectres corres-pondants (V_p,t et B_p,t en fonction de l ou m par exemple).

2.2.3 Diagnostiques de post-traitement

A partir de ces donn´ees en temps sont calcul´ees un certain nombre de grandeurs caract´eristiques permettant d’interpr´eter les r´esultats. Parmi celles-ci des nombres sans dimension, dont les princi-paux sont le nombre d’Elsasser Λ, le nombre de Rossby Ro et le nombre de Reynolds magn´etique Rm (cfr partie 1.2.1 pour leurs significations), d’autres qui d´ependent de l’´echelle consid´er´ee, et enfin la distribution spectrale de certaines forces en jeu.

Nombres sans dimension calcul´es

Ils sont d´efinis comme suit dans ce formalisme (voir partie 2.2.1) et leur moyenne temporelle est calcul´ee `a chaque sauvegarde :

Λ = ^B 2 rms 2Ωρµη^{, (2.48)} Ro = ^urms ΩL ^{, (2.49)} Rm = ^urmsL η ^{, (2.50)}

avec l’indice _rms pour root mean square ou moyenne quadratique des champs en question. Dans toute cette ´etude, le nombre de Rayleigh Ra introduit pr´ec´edemment sera normalis´e par la va-leur critique Ra_c`a partir de laquelle la convection est possible. Les valeurs consid´er´ees d´ependantes du nombre d’Ekman sont issues de Christensen et Aubert (2006) et sont restitu´ees ci-dessous :

E Ra_c

3× 10⁻⁴ 2.026× 105 1× 10−4 6.965× 105 3× 10⁻⁵ 2.833× 10⁶ 1× 10⁻⁵ 1.057× 107

Nombres caract´eristiques d´ependant de l’´echelle choisie

Le nombre de Rossby local Ro_{`</sub>, tel que d´efini par Christensen et Aubert (2006), est calcul´e directement selon : Ro<sub>`}= Ro ^{`¯u</sup> π <sup>avec `¯u =} P llh~ul· ~uli 2E_u ^{, (2.51)}

avec l le degr´e d’harmonique sph´erique, Eu = ¹₂R

h~u · ~ui dV et h·i la moyenne temporelle. La nota-tion ~u_l d´esigne la r´epartition de la vitesse en degr´e d’harmoniques sph´eriques.

Il permet d’avoir une meilleure mesure de l’´equilibre entre l’inertie et la force de Coriolis, en prenant pour ´echelle de longueur le degr´e d’harmonique sph´erique ¯`<sub>u</sub>caract´eristique de l’´ecoulement au lieu de D, l’espace entre la sph`ere interne et externe.

On utilise ´egalement une autre ´echelle de longueur, l’´echelle de dissipation cin´etique L_ν d´efinie par : L²_ν =h R ~u2dV R (~∇ × ~u)2dV i. (2.52) `

a partir de moyennes temporelle et volumique R

dV du champ de vitesse. Celle-ci nous permet de d´efinir un autre nombre de Rossby local : Ro_Lν = Ro/L_ν, associ´e cette fois `a l’´echelle de dissipation visqueuse.

De mˆeme, il est possible de calculer une ´echelle de dissipation magn´etique L²_η = hR ^{R ~B2dV} ( ~∇× ~B)2dVi. A partir de L_η et du nombre de Reynolds magn´etique, on obtient un nombre d’Elsasser modifi´e Λ⁰ (Dormy, 2016) :

Λ⁰ = ^{Λ D}

Rm L_η^{. (2.53)}

Il permet notamment de mesurer l’importance relative de la force de Lorentz par rapport `a la force de Coriolis, en tenant compte de l’´echelle de dissipation du champ magn´etique. Egalement, la valeur critique d´elimitant les r´egimes domin´es par la force de Coriolis et ceux par la force de Lorentz est proche de Λ<sup>0</sup> = 1, ind´ependamment des param`etres d’entr´ee. L’interpr´etation de ce rapport est donc facilit´ee.

Enfin, pour mesurer l’intensit´e du champ magn´etique, et en particulier celle de la composante dipolaire, Christensen et Aubert (2006) d´efinissent l’intensit´e relative du champ dipolaire f_dip, rapport entre la composante du champ magn´etique en l = 1 (et donc purement dipolaire) et toutes les autres au niveau de la sph`ere externe :

fdip=D ( ~Bl=1· ~B_l=1)1/2 P12

l=1( ~B_l· ~B_l)1/2 E

φ,t. (2.54)

Ne consid´erer que les douze premiers degr´es d’harmoniques sph´eriques ne change pas les r´esultats : les degr´es sup´erieurs sont n´egligeables. De plus, dans le cas terrestre, les observations ne permettent de mesurer le champ pour des harmoniques sup´erieures `a 13 `a cause du manteau faiblement conduc-teur (King et Buffett, 2013).

Spectres des forces

La r´epartition des forces sera ´etudi´ee sous forme de spectres, en fonction du degr´e d’harmonique sph´erique l.

L’´equation (2.42) met en ´evidence six termes : l’inertie, la dissipation, la pression, la force de Coriolis, la flottabilit´e et la force de Lorentz. Pour s’affranchir du calcul du gradient de pression, deux m´ethodes sont possibles : appliquer le rotationnel ou calculer une moyenne azimutale. Nous avons choisi la seconde m´ethode et l’avons appliqu´ee `a la composante φ de chacune des forces calcul´ees (m´ethode similaire `a Sheyko et al. (2017)). Cela permet ´egalement de ne consid´erer que la composante de la force de Coriolis non-compens´ee par le gradient de pression.

Pour ´eviter de prendre en compte les effets de bords - o`u la viscosit´e domine, le calcul est effectu´e sur une portion r´eduite de l’espace inter-coquilles : r_i+ 0.15D < r < r_e− 0.15D. En appliquant la valeur absolue et en moyennant en temps, on obtient h|Fi(l)|i, avec :

F_i(l) =

r < rXe−0.15D r > ri+0.15D

avec F_i^φla composante purement azimutale (en m = 0 donc) de la force consid´er´ee. Seules les forces d’inertie, de Coriolis et de Lorentz ont ´et´e calcul´ees de cette fa¸con.

Impact de la force de Lorentz sur la

topologie des champs magn´etiques

3.1 Introduction et ´etat de l’art en simulations g´eodynamo . . . . 37 3.1.1 Premiers mod`eles . . . 38 3.1.2 Controverses . . . 39 3.1.3 Vers une caract´erisation des diff´erents r´egimes dynamo . . . 41 3.2 Diff´erentes d´efinitions des r´egimes dynamos . . . . 42 3.2.1 R´egime dipolaire : D´efinition et caract´eristiques . . . 42 3.2.2 R´egime multipolaire : D´efinition et caract´eristiques . . . 47 3.2.3 (Bi/In)Stabilit´e . . . 50 3.3 Evolution des dynamos dipolaires dans l’espace des param`etres . . . . 52 3.3.1 M´ethodologie . . . 52 3.3.2 Transition vers l’´etat multipolaire . . . 54 3.3.3 Variations du nombre d’Elsasser . . . 56 3.3.4 Impact de la force de Lorentz . . . 58 3.3.5 R´esum´e et vue d’ensemble de l’espace des param`etres . . . 60 3.4 Transition en r´egime domin´e par la force de Lorentz . . . . 63 3.4.1 Nouveau comportement . . . 63 3.4.2 Diff´erentes fa¸cons de mesurer l’importance de l’inertie . . . 66 3.4.3 Equilibre des forces comme point de bascule . . . 71 3.5 Pertinence pour la g´eodynamo et conclusions . . . . 74

3.1 Introduction et ´etat de l’art en simulations g´eodynamo

Dans ce chapitre, le comportement des champs `a grande ´echelle est ´etudi´e avec le code PaRoDy pr´ec´edemment pr´esent´e (partie 2.2). L’approximation Boussinesq et des conditions aux limites sans glissement sont utilis´ees. L’´etude porte particuli`erement sur le champ magn´etique terrestre. La r´esolution typique est de 288 points dans la direction radiale (jusqu’`a 384). La d´ecomposition spectrale est tronqu´ee `a quelques centaines de modes (jusqu’`a l<sub>max</sub> = m<sub>max</sub> = 256 dans les cas extrˆemes) de sorte `a observer une chute d’au moins deux ordres de grandeur des spectres cin´etiques et magn´etiques entre le maximum et la queue du spectre. L’ensemble des simulations est effectu´e `

a P r = 1 et peut ˆetre trouv´e dans la table en Annexe C.

Figure 3.1 – Visualisation du champ magn´etique pendant le premier renversement observ´e num´eriquement (Glatzmaier et Roberts, 1995).

Comme vu pr´ec´edemment, le m´ecanisme par lequel les objets c´elestes maintiennent leur champ magn´etique sur des temps astrophysiques est un des plus vieux probl`emes de la science. Pour les plan`etes, l’explication pl´ebiscit´ee est un champ soutenu par effet dynamo (cfr 1.1.3). Pour mieux comprendre le champ magn´etique terrestre, il est int´eressant de mod´eliser num´eriquement le syst`eme qui en est `a l’origine. Dans le cas terrestre, il s’agit du noyau externe, c’est-`a-dire du m´etal liquide contenu entre deux coquilles concentriques dont les rayons respectent le rapport d’aspect χ = 0.35. En plus de la convection turbulente, le fluide est soumis `a plusieurs forces telles que les forces magn´etiques, la flottaison (Pouss´ee d’Archim`ede) ou encore la force de Coriolis. Ces trois forces sont particuli`erement importantes dans les ´etudes de g´eodynamo puisqu’elles constituent ce qu’on appellera par la suite l’´equilibre MAC (pour Magnetique-Archim`ede-Coriolis), un ´equilibre de forces pr´esuppos´e applicable au cas du noyau externe terrestre.

L’´etude de Glatzmaier et Roberts (1995) fait partie des premi`eres simulations num´eriques tri-dimensionnelles de g´eodynamo. En particulier, le mod`ele utilis´e, analogue `a celui utilis´e ici sur de nombreux aspects, a permis d’observer les premiers renversements du dipˆole axial du champ magn´etique (figure 3.1). Depuis, ce type de comportement a ´et´e largement observ´e par divers mod`eles. Cependant, un l´eger d´etail obscurcit le tableau : les param`etres utilis´es sont fortement ´eloign´es des param`etres r´eels du noyau terrestre (voir Table 1.1).