3. Extraction d'ouvertures de ssures avec l'approche TLS 57
3.2. Essai bresilien
3.2.3. Resultats numeriques
Comportement global On donne sur la gure 3.6 les courbes force-CMOD (Crack Mouth Opening Displacement) obtenues pour les modeles brutal et progressif et pour chaque taille de mailles. Le CMOD est ici de ni comme la di erence entre les deplacements verticaux de deux points situes en x = B
2 (point P et son symetrique par rapport a l'axe y sur la gure 3.1).
Une premiere remarque concerne la hauteur des pics, notamment avec le maillage le plus grossier, qui semble plus elevee avec le modele progressif qu'avec le modele brutal, pour lequel on observe un pic de force aux alentours de 300 kN. En theorie, Y0
c etant le m^eme pour les deux modeles, et le pic correspondant au point ou l'endommagement s'initie, l'e ort maximal devrait ^etre le m^eme dans les deux cas. La di erence observee peut s'expliquer par les algorithmes de propagation utilises. Dans le cas du modele brutal, l'algorithme utilise est celui qui a ete presente dans la section 2.2.2. En particulier, le facteur de charge est calcule par l'equation (2.44). Comme explique dans la section 2.5.1, un algorithme di erent (Parrilla Gomez, 2015) est utilise avec le modele progressif. Cet algorithme, similaire a l'algorithme gouvernant l'evolution de dans la version complete de la methode TLS (cf. section 2.3.2), comporte egalement une etape de prediction, suivie d'une correction qui aboutit a un facteur de charge di erent de celui donne par l'equation (2.44). Cette di erence est accentuee par le fait qu'avec le modele progressif, on observe une legere augmentation de la force au debut de la courbe avant que celle-ci ne commence a diminuer alors qu'avec le modele brutal, la force commence a diminuer des l'apparition de l'endommagement. On remarque egalement que lorsque l'on rane le maillage, la hauteur du pic diminue avec le modele progressif, alors qu'elle reste relativement stable d'un maillage a l'autre avec le modele brutal. Cela pourrait s'expliquer par une imprecision du calcul du champ Yc. En e et, la fonction d'adoucissement du modele progressif est une fonction rationnelle (cf. equation 2.85), qui tend vers l'in ni lorsque d tend vers 1. La quadrature de Gauss classique utilisee pour calculer Yc ne permet donc pas d'avoir des resultats susamment precis dans le cas des maillages grossiers. Au contraire, avec le modele brutal, Ycest calcule exactement. Neanmoins lorsque l'on rane le maillage, la hauteur du pic calculee avec le modele progressif tend a converger vers celle obtenue avec le modele brutal.
Apres le pic, on observe une decroissance de la force et du deplacement (snap-back) correspondant au developpement de la ssure verticale (point A sur la gure 3.6). Une fois que la ssure a atteint le milieu de l'eprouvette (point B), le chargement augmente (points C et D), a cause du travail en compression des deux moities de disque. Le snap-back observe avec le modele brutal est nettement plus prononce qu'avec le modele progressif, ce qui etait previsible, la fonction d'adoucissement constante correspondant a un comportement purement fragile.
Champ d'endommagement Le champ d'endommagement dans le centre de l'eprouvette pour un CMOD environ egal a 7 microns, pour les modeles testes et pour chaque maillage est donne sur la gure 3.7. Tout d'abord, on veri e bien que quelle que soit la taille des mailles consideree, l'endommagement est reparti dans une bande de largeur 2`c. Ensuite, avec le modele brutal, la ssure semble mieux de nie, tandis qu'avec le modele progressif, la ssure ne semble pas completement ouverte. On remarque egalement qu'avec le modele progressif, pour le maillage le plus grossier, la hauteur de la ssure
Figure 3.6. { Courbes force-CMOD
semble moins elevee que pour les maillages modere et n, tandis que la hauteur de la ssure est la m^eme avec les trois maillages pour le modele brutal. Ceci semble con rmer que dans le cas du modele progressif on commet une certaine imprecision sur le calcul de Yc, qui diminue lorsque le maillage est rane.
Ouverture de ssure Dans ce paragraphe on illustre l'extraction des ouvertures de ssures. On donne tout d'abord sur la gure 3.8 la deformee de la structure obtenue avec le maillage grossier, a di erents instants du calcul correspondants aux points A,B,C et D de la courbe force-CMOD ( gure 3.6). On choisit ici de montrer les resultats issus du modele brutal ; en e et on a montre dans la section precedente que la ssure etait mieux de nie qu'avec le modele progressif. L'enrichissement via la methode X-FEM (cf. section 2.2.4) couple a l'utilisation de la double-decoupe (cf. section 2.2.5) permet d'eliminer du calcul la zone ou d = 1 et de modeliser la discontinuite du champ de deplacement. On a ainsi une representation directe de la macro- ssure, contrairement aux modeles d'endommagement classiques ou la \ ssure" correspond en general a une bande d'elements ou la deformation est tres importante.
L'ouverture de la ssure le long de celle-ci peut donc ^etre directement extraite en calculant la di erence de deplacement horizontal entre deux points situes de part et d'autre des levres de la ssure, pour une valeur de y donnee. On donne sur la gure 3.9 l'ouverture de la ssure pour di erentes valeurs du CMOD comprises entre 3.82 et 7.61 microns (etats C et D de la gure 3.8). Pour chaque valeur du CMOD, l'ouverture de la ssure a ete extraite pour 20 valeurs de y.
Grossier Modere Fin Grossier Modere Fin
hcst hcoh
Figure 3.7. { Exemple de champ d'endommagement, pour une valeur de CMOD environ egale a 7 microns.
A. (CMOD = 0.78 micron) B. (CMOD = 1.21 microns)
C. (CMOD = 3.82 microns) D. (CMOD = 7.61 microns)
Figure 3.9. { Ouverture de ssure le long de la ssure obtenue avec le modele brutal pour di erentes valeurs du CMOD, maillage grossier.