Poutre non entaillee

On considere tout d'abord le cas ou la poutre ne comporte pas d'entaille. On donne sur la gure 3.14 un exemple de champ d'endommagement obtenu pour les deux maillages testes, avec les deux

A_t 0,9

B_t 4000

Modele de Mazars _d0 4,0.e 5

(Dufour et al., 2012)  1,0 E (MPa) 30000  0,24 Parametres TLS `c(mm) 8 _f (MPa) 4 _k (MPa) 0,26 w_f (mm) 0,031 w₁ (mm) 0,021

Figure 3.12. { Parametres materiaux de l'essai de poutre en exion trois points.

Figure 3.13. { Comportement () aux points de Gauss pour l'essai de poutre en exion trois points.

versions dierentes de la methode TLS. Les resultats obtenus sont qualitativement tres dierents ; avec la version complete, une large zone d'endommagement dius peut ^etre observee, tandis qu'on observe seulement une bande de largeur 2`<sub>c</sub>avec la version simpliee. En eet, avec cette version, la contrainte krk = 1 fait qu'on ne peut avoir (dans des cas avec une seule ssure) des zones endommagees de largeur au plus 2`c. Le champ d'endommagement (cf. gure 3.14) est egalement peu dependant de la taille des elements. En revanche, pour le maillage le plus grossier, les bords de la zone endommagee presentent des ondulations, qui ont tendance a dispara^tre lorsque l'on rane le maillage. On remarque egalement qu'avec la version simpliee, la trajectoire n'est pas tout a fait verticale. La encore il

pour-rait s'agir d'un probleme de precision, lie a l'integration de la fonction d'adoucissement d'une part comme mis en evidence dans la section 3.2.3, et du calcul des champs moyens d'autre part. En eet, les champs moyens X sont calcules par une methode Lagrangienne dans la version simpliee (cf. section 2.2.1), et par des modes dans la version 2.3.1. Or Moreau (2014) a montre que le calcul par mode etait plus precis, ce qui peut expliquer que la ssure devie legerement avec la methode simpliee. Lorsqu'on rane le maillage, la ssure redevient droite, ce qui tend a conrmer qu'un degre de precision susant a ete atteint.

Ces dierences de comportement au niveau local ont evidemment une in uence non-negligeable sur le comportement global de la structure, comme on peut le voir sur la gure 3.15, ou est trace l'eort impose en fonction du deplacement vertical pour (h = `c=5). Avec la methode simpliee, on obtient un comportement beaucoup plus fragile qu'avec la version complete. On remarquera egalement la presence de fortes oscillations, que ce soit avec la version complete ou la version simpliee de la methode. Ces oscillations sont liees au caractere explicite de l'algorithme de propagation utilise. En eet, a chaque pas de temps le facteur de charge est calcule de facon a ce qu'en au moins un nud du maillage la level set  progresse d'une valeur
_max. Le chargement en un instant n donne depend donc uniquement de l'etat mecanique en un point Pn. Il serait logique de supposer que ce point ne se deplace que peu d'un pas de temps a un autre, autrement dit, qu'a l'instant n + 1 le point Pn+1 determinant le chargement se trouve au voisinage de Pn. L'etat mecanique de ce point Pn+1etant proche de celui de Pn, le chargement evolue peu entre les instants n et n + 1. En pratique, les imprecisions numeriques font que la position de ce point peut varier fortement d'un instant a l'autre, d'ou les oscillations, l'etat mecanique en un point Pn+1 n'ayant a priori aucune raison d'^etre proche de l'etat mecanique en un point Pnsi Pn+1 est loin de Pn.

Dans le cas d'une fonction d'adoucissement choisie pour avoir une methode TLS equivalente a un modele cohesif, ces oscillations sont ampliees par le probleme d'integration numerique d^u a la singularite en d = 1. On remarque ainsi que l'amplitude de ces oscillations reste moderee au debut du calcul, lorsque d est encore eloigne de 1, et qu'elle devient de plus en plus importante au fur et a mesure du calcul, c'est-a-dire lorsque la taille de la zone endommagee augmente. Neanmoins, on remarquera que le facteur de charge est deni comme un minimum (equations (2.44) et (2.67)), les oscillations ont donc tendance a sous-estimer le chargement. Dans les cas tests compares a des resultats experimentaux, on se focalisera donc sur l'enveloppe superieure de la courbe force-deplacement. Enn, on remarquera que ces oscillations diminuent lorsque l'on rane le maillage (cf. equation (3.15)).

Dans le cas de la version simpliee, on pourrait se demander s'il est legitime de n'activer la recherche de defaut qu'au premier pas de temps, comme explique dans la section 3.3.1. Le champ d'endomma-gement obtenu pour la version simpliee, pour h = `c=5 et en laissant cette fois-ci la recherche de defaut active, est donne sur la gure 3.17. On constate qu'une premiere ssure semble d'initier au centre de la poutre, mais rapidement celle-ci nit par s'elargir et former une large zone morte au lieu de s'allonger. Au bout d'un certain temps on constate m^eme que deux autres ssures semblent ap-para^tre, et nissent par s'elargir comme la premiere. Cela peut s'expliquer en observant les resultats obtenus avec la version complete (cf. gure 3.14). On observe sur la face inferieure de la poutre une large zone d'endommagement dius, qui indique que le critere de propagation local (2.9) a ete atteint

h = `c=5, version simpliee. h = `c=5, version complete.

h = `c=10, version simpliee. h = `c=10, version complete.

Figure 3.14. { Champ d'endommagement pour la poutre non-entaillee, pour dierentes tailles de maille et pour les deux versions de la methode TLS.

Figure 3.15. { Courbes force en fonction du deplacement impose (h = `c=5) pour la poutre non-entaillee.

dans toute cette zone. Avec la version simpliee, un defaut est initie des que ce critere est atteint. Le probleme vient du fait que la propagation de ces defauts est ensuite realisee de facon a verier la condition (2.18), y compris la ou ce n'est pas necessaire (zone en pointilles verts sur la gure 3.17 a.). On obtient ainsi un champ d'endommagement errone.