Modelisation volumique des armatures

L'approche la plus directe pour modeliser les armatures consiste a les mailler avec des elements volumiques, ce qui peut s'averer complique, etant donne leur faible diametre, leur nombre, et leur tra-jectoire eventuellement complexe (intersections d'armatures, tratra-jectoires courbes, etc.). Une solution permettant de simplier cette procedure de maillage consiste a utiliser la methode X-FEM. Initiale-ment developpee dans le cadre de la mecanique de la rupture (cf. section 1.3.3), cette methode a ete etendue a l'etude des trous et des inclusions par Sukumar et al. (2001). La strategie d'enrichissement proposee par Moes et al. (2003) pour l'analyse des inclusions est appliquee a la modelisation de la partie volumique des armatures.

5.2.1. Methode des elements nis etendus (X-FEM)

On considere le probleme bidimensionel d'une inclusion circulaire constituee d'un materiau A, dans une plaque carree constituee d'un materiau B, represente sur la gure 5.1. On appelle l'interface

a. b.

Figure 5.1. { Modelisation d'une inclusion circulaire dans une plaque carree par la methode X-FEM. a. Denition des nuds enrichis. b. Localisation de l'interface par une fonction level set.

entre les deux materiaux.

La plaque est maillee par des elements dont les nuds ne concident pas avec l'interface entre les deux materiaux. On appelle I l'ensemble des nuds du maillage, et J l'ensemble des nuds appartenant aux elements coupes par . L'approximation par la methode X-FEM consiste a ecrire l'approximation du champ de deplacement sous la forme :

uh(x) =^X

i2I

N_i(x)u_i+^X

j2J

N_j(x)F (x)a_j u_i; a_j 2 R2 (5.1) ou (Nk)k=i;j sont les fonctions d'approximation elements nis classiques du nud k, ui les degres de liberte associes, a_i sont les degres de liberte enrichis et F la fonction d'enrichissement. Dans ce cha-pitre on considere l'interface entre les deux materiaux parfaits : le deplacement doit donc ^etre continu sur l'ensemble du domaine. En revanche, a cause du changement de materiaux, la deformation doit ^etre discontinue a l'interface. Cette propriete est conferee a uh en choisissant F continue, mais avec une derivee discontinue sur .

Pour denir F , la position de l'interface doit ^etre determinee. Une fonction level set  est introduite an de localiser l'interface entre A et B, de telle que :

= fx 2 R²: (x) = 0g (5.2)

(x) est choisie positive si x est a l'exterieur de (materiau B), negative si x est a l'interieur de , et egale a zero si x est sur . Un exemple de fonction level set denissant l'inclusion de la gure 5.1 a. est donne sur la gure 5.1 b.

L'exemple de fonction level set le plus connu est la fonction distance signee a l'interface, deja evoquee dans la section 2.2 dans le cadre de la methode TLS (equation (2.24)). On en rappelle ici la denition :

(x) =  min

x 2 kx x k (5.3)

Dans le cas particulier d'un renfort cylindrique, on utilise la fonction suivante : (x) = min

x2kx x_k r (5.4)

ou r est le rayon de l'armature et  sa ligne mediane (la courbe 1D passant par le centre de l'armature et denissant sa trajectoire).

Du point de vue numerique,  est discretisee en utilisant les fonctions de formes lineaires N_i : (x) =^X

i2I

Ni(x)i (5.5)

ou i sont les valeurs nodales de la level set.

La position de l'interface etant connue, la fonction d'enrichissement peut ^etre denie. On considere la fonction de Ridge introduite par Moes et al. (2003) :

F (x) =^X i2I Ni(x)jij    X i2I Ni(x)i    ^(5.6)

F est donnee dans le cas 1D sur la gure 5.2.

Matériau A Matériau B

Interface

Figure 5.2. { Fonction d'enrichissement de Ridge en 1D. Les nuds losanges sont les nuds enrichis.

5.2.2. Aspects numeriques

Une premiere remarque sur l'utilisation de level sets pour representer implicitement des interfaces est le fait que celles-ci sont interpolees lineairement (cf. gure 5.3) ; la valeur de _iest connue a chaque nud du maillage i. Si i est a l'interieur de , _i < 0, et si i est a l'exterieur de , _i> 0. L'intersection de avec les arr^etes du maillage peut ensuite ^etre calculee en utilisant l'interpolation lineaire de  sur chaque element (cf. equation (5.5)). Ceci implique que la qualite de la geometrie discretisee avec une fonction level set depend de la courbure, tout autant que si on l'avait maillee avec des elements lineaires. Une seconde remarque concerne l'integration numerique. Etant donne que la derivee de uh est discontinue a l'interieur des elements coupes par , les quadratures de Gauss classiques ne susent plus a obtenir une precision correcte. An de retrouver des resultats optimaux, les elements coupes

Matériau A Matériau B

a. b.

Figure 5.3. { Representation d'une interface sur un maillage en utilisant une fonction level set. Traits pleins noirs : arr^etes du maillage. a. Traits pointilles bleu : interface reelle. b. Nuds triangles verts : (x) < 0. Nuds carres rouges : (x) > 0. Nuds circulaires bleus : (x) = 0. Traits pointilles verts : geometrie approchee par la level set. L'integration numerique est realisee sur chaque sous-cellule triangulaire de la gure b.

par sont divises en sous-cellules concidant avec (cf. gure 5.3). L'integration numerique est ensuite realisee en appliquant une quadrature de Gauss en utilisant les points d'integration de chaque sous-cellule. On remarquera que les nuds de ces sous-cellules n'apportent pas de degres de liberte supplementaires au calcul. Il aurait ete possible de se passer de ce sous-decoupage en augmentant le nombre de points d'integration des elements de calcul, mais l'utilisation de sous-cellules presente l'avantage de permettre d'obtenir un degre de precision optimal avec un nombre peu eleve de points de Gauss.

5.2.3. Limitations de l'approche 3D

On considere maintenant le cas 2D d'une plaque rectangulaire, renforcee avec une unique armature (cf. gure 5.4). En considerant l'interface parfaite entre les deux materiaux, l'armature peut ^etre assimilee a une inclusion et modelisee avec la methode X-FEM telle que presentee ci-dessus. La level set est denie par l'equation (5.4). En suivant l'idee presentee en introduction, deux maillages sont consideres : un maillage n, et un maillage dont la taille des elements est identique dans la partie de gauche (supposee ^etre la \zone d'inter^et") et plus grossier dans la partie de droite. L'approximation de la geometrie de l'armature obtenue avec X-FEM sur chaque maillage est donnee sur la gure 5.4. Avec le maillage n, l'armature est parfaitement representee (en 2D, il s'agit d'un rectangle elance de largeur le diametre de l'armature). Avec le second maillage, des erreurs geometriques importantes peuvent ^etre observees, l'armature pouvant aller jusqu'a dispara^tre la ou le maillage est le plus grossier. Un calcul par elements nis avec une telle geometrie donnera evidemment des resultats faux, tant localement

Figure 5.4. { Representation d'armatures avec une level set. Gauche : maillage n dans toute la structure. Droite : maillage grossier dans une partie de la structure. Haut : vue d'en-semble. Bas : Zoom sur la zone de transition entre maillage n et maillage grossier. que globalement.

Les ^lots de matiere que l'on peut observer sur la gure 5.4 sont dus aux nuds dont le support (ensemble des elements relies a un nud) est coupe deux fois par , comme illustre sur la gure 5.5. Le support du nud A est coupe deux fois par . On s'interesse ici plus particulierement a l'intersection entre et les arr^etes AB et AC. D'apres l'equation (5.4), la valeur de Aest egale a la distance entre A et la partie inferieure de , qui est plus proche de A que la partie superieure. L'intersection entre et AB est donc correctement calculee, en revanche, comme la distance entre A et la partie superieure de est sous-estimee, l'intersection entre et AC est plus proche de A qu'elle n'aurait d^u l'^etre. Il est important de noter que cette denition de assure que le volume des armatures representees avec des level set sera toujours sous-estime (de la matiere peut ^etre \enlevee" mais pas ajoutee). Enn, les elements 2D ou l'armature semble dispara^tre sont dus au fait qu'il n'y a aucun nud a l'interieur de ; par consequent le signe de  ne change pas, ce qui ne permet pas de localiser l'interieur de . On remarque que ce probleme est similaire a celui de la double-decoupe presentee dans la version simpliee de la methode TLS dans la section 2.2.5. La double-decoupe n'est pas utilisee ici pour deux raisons :

| La double decoupe pourrait sure a representer en 2D une armature droite, en revanche la precision de cette methode est limitee en 3D en raison de la courbure due a la geometrie

cylin-drique des armatures.

| Cette methode ne permet pas de traiter plusieurs niveaux de decoupe (c'est-a-dire la decoupe par plusieurs iso-valeurs), ce qui est necessaire dans le cadre de l'approche presentee dans la section 5.4.1.

Figure 5.5. { Zoom sur un nud dont le support est coupe deux fois par . Traits pointilles rouges : geometrie reelle de . Traits pleins verts : geometrie interpolee de