Dans le contexte de notre travail, les r´esonances de Feshbach r´esultent du couplage de la voie poss´edant un couplage satisfaisant ∆γ <−1/4 avec les autres voies ouvertes du syst`eme. Ceci ce traduit par une infinit´e de r´esonances tr`es ´etroites (´etats quasi-li´es) appel´ees r´esonances de Feshbach, situ´ees en dessous du seuil des canaux d´eg´en´er´es.
D’apr`es les travaux de Gailitis-Damburg, on peut ´etudier le comportement de la section efficace pr`es du seuil ainsi que les propri´et´es et cons´equences des r´esonances de Feshbach.
• Si ∆γ ≤ −1/4, les racines λγ sont des nombres complexes. Il existe alors une infinit´e d’´etats quasi li´es situ´ees sous le seuil des canaux d´eg´en´er´es. Les sections efficaces pr´esentent donc une infinit´e de r´esonances. Ces r´esonances correspondent
`a des pˆoles de la matrice S. Il se traduisent num´eriquement par des divergences dans certains ´el´ements de la matrice K, notamment dans les ´el´ements diagonaux associ´es aux canaux d´eg´en´er´es. Ces r´esonances ont des ´energies et des largeurs bien d´efinies. On peut d´emontrer que le rapport entre l’´energie de deux r´esonances successives est ´egal `a une constante [12],
ξn
ξn+1 = Γn
Γn+1 =e2π/Im(λγ), (6.2.11)
o`u, λγ est la racine obtenue avec le signe positif dans la relation (6.2.10) avec la valeur propre ∆γ ≤ −1/4, ξn = Et−En est l’´ecart entre l’´energie du seuil Et et la position en ´energie de la n-i`eme r´esonance En et Γn est la largeur de la n-i`eme r´esonance. Cette relation montre que, plus on se rapproche du seuil, plus les r´esonances sont proches les unes des autres et plus leur largeur diminue en suivant une loi g´eom´etrique. La premi`ere r´esonance est la plus ´eloign´ee du seuil. C’est
´egalement la plus large. Les positions et les largeurs des r´esonances de Feshbach peuvent ˆetre calcul´ees, par exemple, grˆace `a la m´ethode du complex scaling [9,36, 37]. L’´energie et la largeur des r´esonances d´etermin´ees pour l’ondeS sont donn´ees dans le tableau 6.2. Elles sont calcul´ees avec la m´ethode du complex scaling dans la r´ef´erence [9]. Parmi l’infinit´e de r´esonances de Feshbach th´eoriquement pr´evues, ce calcul ne met en ´evidence que deux r´esonances sous le seuil ¯H(2) et quatre sous le seuil P s(2). La pr´ecision de calcul de la m´ethode ”complex scaling” ne permet pas de d´eterminer les r´esonances les plus fines. C’est pourquoi, seules l’´energie et
Tableau 6.2 – ´Energie et largeur des r´esonances de Feshbach obtenues par la m´ethode de complex scaling pour l’ondeS [9].
Threshold -Res(Eres) u.a. Γ/2 u.a.
H(n¯ = 2) 0.128622631 3.3283[-5]
-0.124932 0.1251318 1.82[-6]
P s(n= 2) 0.07513977 1.67290[-4]
-0.25 0.0658293 8.127[-5]
0.0633866 2.494[-5]
0.06274 6.9[-6]
la largeur des premi`eres r´esonances peuvent ˆetre d´etermin´ees. Dans le tableau6.2, on constate que les r´esonances de Feshbach ont des largeurs tr`es ´etroites. En effet, la r´esonance la plus importante pr´esente une largeur de 10−4 u.a.A cause de cette
´etroitesse, on s’attend `a des difficult´es pour les observer toutes dans les calculs.
Par ailleurs, Gailitis et Damburg pr´edisent des oscillations dans la section effi-cace au dessus des seuils des canaux d´eg´en´er´es qu’ils interpr`etent comme une cons´equence des r´esonances de Feshbach. Ces oscillations sont appel´ees les oscilla-tions de Gailitis-Damburg. En pratique, ces oscillaoscilla-tions se manifestent num´eriquement par une divergence dans les ´el´ements de la matrice K Cependant, d’un point de vue th´eorique, ces oscillations ne sont pas des r´esonances au sens stricte du terme car ce ne sont pas des pˆoles de la matrice S. Par analogie avec la th´eorie de la diffusion dans le cas d’un potentiel central, l’existence de ces oscillations peut ˆetre vue comme la cons´equence de l’existence des ´etats quasi-li´es sous le seuil des ´etats d´eg´en´er´es. Pour comprendre de mani`ere intuitive l’origine de ces oscillations, on peut se r´ef´erer au cas simple de l’´etude des d´ephasages dans le cas d’un potentiel central `a port´ee finie. Dans ce cas, on observe des sauts dans le d´ephasage li´es `a la pr´esence d’´etats li´es comme l’atteste le th´eor`eme de Levinson,
δℓ(E= 0)−δℓ(E→ ∞) =nℓπ (6.2.12) o`unℓ est le nombre d’´etats li´es pour l’onde partielle ℓetδℓ est le d´ephasage.
La figure 6.1 illustre la position de r´esonances de Feshbach par des tirets et les oscillations de Gailitis-Damburg par des pointill´es.
Les travaux de Gailitis et Damburg [11,12] permettent d’obtenir le comportement de la section efficace au dessus du seuil. La section efficace des r´eactions dont le canal d’entr´ee est associ´e aux derniers canaux ouverts pr´esente un comportement en 1/ki2.
• Quand ∆γ ≥ −1/4, les racines λγ sont alors enti`erement r´eelles et le comporte-ment de la section efficace partielle pr`es du seuil est continu et ne pr´esente pas de
-0.125
-0.25
-0.50
e +H (n=2)
-0.0625 p+Ps(n=2)
_
_ _
E3b (u.a.)
p+Ps(n=1) _
e +H (n=1) _ _
Figure6.1 – Repr´esentation sch´ematique des seuils du syst`eme `a trois corps (e+, e−,p)¯ par des lignes continues noires. Les r´esonances de Feshbach correspondent aux lignes de tirets bleues et les oscillations de Gailitis-Damburg correspondent aux lignes en pointill´es oranges.
r´esonances. Le comportement de la section efficace juste au dessus du seuil associ´e aux canaux d´eg´en´er´es ´etudi´es est, dans ce cas, d´ecrit de deux fa¸cons [11,12,45] :
— En consid´erant le canal βi en sortie associ´e au dernier seuil ouvert, comme par exemple un canal associ´e au positronium dans son premier ´etat excit´e au dessus du seuilP s(2),
σL∝kβ2λminγ +1
i (6.2.13)
o`ukβi est le module du vecteur d’onde du canal consid´er´e en sortieβi etλminγ est le coefficient minimal obtenu pour l’ensemble des valeurs propres ∆γ.
— En consid´erant le canalβi en entr´ee associ´e au dernier seuil ouvert et un canal diff´erent en sortie,
σL∝k2λ
minγ −1
βi . (6.2.14)
Dans le calcul des sections efficaces, nous avons cherch´e `a retrouver ce comporte-ment dans les sections efficaces concern´ees pour v´erifier les r´esultats obtenus.
6.3 Sections efficaces
Le calcul de la matrice K (ou S) permet celui des sections efficaces diff´erentielles, partielles et totales de toutes les r´eactions envisageables entre les seuils ¯H(n = 2) et H(n¯ = 3) (voir sous-section3.6.6). Dans cette section, nous pr´esentons celles qui sont les plus repr´esentatives, `a la fois pour l’exp´erience GBAR et-ou pour l’analyse des r´esonances du syst`eme `a trois corps. Nous pr´esentons en premier lieu les sections efficaces partielles, puis les sections efficaces totales et finalement les sections efficaces diff´erentielles. Dans nos figures, les seuils sont d´elimit´es par des lignes verticales en pointill´es. La notation des seuils est celle donn´ee en (5.1.3).
En raison du temps de calcul ´elev´e, il est impossible de calculer les sections efficaces en tout point (Chapitre5). Nous avons calcul´e un grand nombre de points en privil´egiant les zones o`u les r´esonances sont attendues. Toutefois, compte tenu de la pr´ecision de nos calculs et de l’´etroitesse des r´esonances de Feshbach, il est possible que nous ne soyons pas en mesure de mettre en ´evidence tous les ph´enom`enes r´esonnants.
Il existe peu de litt´erature concernant les sections efficaces d´ecrites ici. Les m´ethodes utilis´ees se limitent au nombre de deux. Dans les r´ef´erences [41,46–48], A.S. Kadyrovet al.utilisent la m´ethode qu’ils d´esignent par ”two-center convergent close coupling”. C’est une m´ethode variationnelle dont le principe est similaire `a la m´ethode des canaux coupl´es d´ecrite dans le chapitre3. Dans la m´ethode des canaux coupl´es, on ne dispose que de deux bases, une premi`ere d´ecrivant le syst`eme dans une configuration antihydrog`ene-´electron et une deuxi`eme d´ecrivant le syst`eme dans une configuration antiproton-positronium.
On cherche donc `a d´ecrire simultan´ement deux syst`emes grˆace `a deux bases diff´erentes
`a partir d’une seule ´equation, l’´equation de Schr¨odinger stationnaire. Cependant, dans la m´ethode des ´equations de Faddeev-Merkuriev, nous cherchons `a d´ecrire un syst`eme `a trois corps dans les trois possibles configurations, grˆace `a trois bases diff´erentes et trois
´equations, une pour chaque base. Le formalisme des ´equations de Merkuriev-Faddeev est donc plus rigoureux math´ematiquement que celui de la two-center convergent close coupling method.
Dans leurs travaux, C.-Y. Huet al.[31,38–40,49,50] utilisent ´egalement la m´ethode des ´equations de Faddeev-Merkuriev. Mˆeme si le formalisme utilis´e est le mˆeme, les m´ethodes num´eriques sont diff´erentes. Premi`erement, lors de la d´etermination des fonc-tion asymptotiques de canaux d´eg´en´er´es, nous prenons en compte les termes en 1/y3 alors que ces termes sont n´eglig´es dans leurs travaux. Deuxi`emement, pour d´ecrire les fonctions radiales, nous utilisons la m´ethode des r´eseaux de Lagrange alors que C.-Y. Hu et al.utilisent une base de fonctions de Splines dans tous leurs calculs. Finalement, par rapport aux travaux r´ealis´es avec ces deux m´ethodes, nous calculs des sections efficaces sont plus d´etaill´es entre les seuils ¯H(2) et ¯H(3).