Les ´equations de Faddeev-Merkuriev - The DART-Europe E-theses Portal

ψ⁽¹⁾Ê=|φ₁i+G₀(z)T₂₃(z)^hψ⁽²⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi,

ψ⁽²⁾Ê=G₀(z)T₃₁(z)^hψ⁽¹⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi,

ψ⁽³⁾Ê=G₀(z)T₁₂(z)^hψ⁽¹⁾Ê+ψ⁽²⁾Êi, (4.3.19) où|φ₁iest l’expression asymptotique entrante de l’amplitude de Faddeev. En ré-exprimant la fonction de Green G₀ et l’opérateur transition T_ij en fonction de l’Hamiltonien de la particule libre ˆH₀ et des interactions à deux corpsV_ij, on peut obtenir les équations de Faddeev sous une forme utile pour étudier le problème dans l’espace des positions

E−Hˆ₀−V₂₃ ψ⁽¹⁾Ê = V₂₃^hψ⁽²⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi, E−Hˆ₀−V₃₁ ψ⁽²⁾Ê = V₃₁^hψ⁽¹⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi,

E−Hˆ₀−V₁₂ ψ⁽³⁾Ê = V₁₂^hψ⁽¹⁾Ê+ψ⁽²⁾Êi. (4.3.20) Il est important de remarquer que la somme des trois équations du système est égale à l’équation de Schrödinger dans le référentiel du centre de masse.

4.4 Les ´ equations de Faddeev-Merkuriev

Les équations de Faddeev ont été rigoureusement construites pour résoudre des problèmes à trois corps dont les interactions à deux corps sont à courte portée [30].

Ce système d’équations n’est donc plus pertinent lorsque l’on considère des potentiels à longue portée, comme par exemple le potentiel Coulombien [5].

Chacune des équations précédemment introduites est bien adaptée pour décrire une des trois configurations possibles du système à trois corps. La première équation est bien adaptée pour décrire la première configuration où les particules 2 et 3 forment un agrégat à deux corps et la particule 1 est asymptotiquement libre. Les deuxième et troisième équations sont bien adaptées pour décrire respectivement le système lorsque des agrégat à deux corps (13) et (12) sont formés. Ainsi, lorsque l’on se trouve dans la région asymptotique où un des possibles états liés est formé, les équations doivent être découplées.

Considérons, par exemple, que dans la région asymptotique l’état lié des particules (23) est formé. Dans ce cas y₁ → ∞, la particule 1 est libre et les potentiels V₁₃ etV₁₂ tendent vers zéro, figure4.2.

Dans ce cas, le syst`eme d’´equations (4.3.20) tend vers,

E−Hˆ₀−V₂₃ ψ⁽¹⁾Ê = V₂₃^hψ⁽²⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi, E−Hˆ₀−V₃₁ ψ⁽²⁾Ê = 0,

E−Hˆ₀−V₁₂ ψ⁽³⁾^E = 0. (4.4.1)

❱12

2

3

1

❱13

❱23

Figure 4.2 – Représentation asymptotique du système à trois corps lorsqu’un état à deux corps est formé par les particules (23) et la particule 1 est libre.

Dès lors que le comportement des composantes de Faddeev (2) et (3) est décrit par deux fonctions radiales découplées, les conditions aux bords peuvent alors être correctement définies

bs^′ψ⁽ⁱ⁾(x~i, ~yi)−−−−→_y

i→∞

φ_bs(~xi)^hF_bsⁱⁿ′(~yi)δ_bs^′_bs+f_bs^′_bsF_bsôut(~yi)ⁱ, (4.4.2) où la somme se fait sur les états liésbsde la configurationi,φ_bsest la fonction de l’état lié

à deux corps,F_bsⁱⁿ′,F_bsôut sont respectivement les fonctions d’onde entrantes et sortantes décrivant le mouvement relatif entre l’état à deux corps et la troisième particule, etf_bs′bs

repr´esente l’amplitude de diffusion. Cette ´ecriture implique la conditions limite

bs^′ψ⁽²⁾(x~₂, ~y₂)−−−−→_x

2→∞ 0,^bs^′ψ⁽³⁾(x~₃, ~y₃)−−−−→_x

3→∞ 0. (4.4.3)

Cette condition étant satisfaite dans le cas où y₁ → ∞, on a ψ⁽²⁾ = 0 et ψ⁽³⁾ = 0. On obtient alors trois équations découplées,

E−Hˆ0−V23 ψ⁽¹⁾^E = 0, E−Hˆ₀−V₃₁ ψ⁽²⁾^E = 0,

E−Hˆ₀−V₁₂ ψ⁽³⁾Ê = 0. (4.4.4) Le comportement de chaque amplitude peut être correctement défini sous la forme de la relation (4.4.2). Dans le cas présent où y₁ → ∞, seule la première amplitude est non nulle, le système est donc décrit par celle-ci uniquement. Les collisions à trois corps peuvent donc être correctement définies grâce à ce système d’équations.

Cependant, pour le système (e⁻, e⁺,p), les interactions `¯ a deux corps sont décrites par un potentiel Coulombien et donc les conditions données par la relation (4.4.4) ne sont plus vérifiées. Le raisonnement précédent n’est donc plus valable, il n’est plus possible d’assurer correctement le comportement asymptotique.

Ce problème a mené S.P. Merkuriev à proposer une séparation du potentiel Coulom-bien comme expliqué dans la référence [3]

V_i^(s)(x_i, y_i) = V_i(x_i)f^(M⁾(x_i, y_i),

V_i^(ℓ)(xi, yi) = Vi(xi)^h1−f^(M⁾(xi, yi)ⁱ, (4.4.5) où V_i^(s) et la partie ”courte portée” du potentiel etV_i^(ℓ) est la partie ”longue portée”.V_i est le potentiel coulombien entre les particules (jk) défini au chapitre 2, f^(M⁾ est une fonction de coupure définie par Merkuriev, elle tend vers 0 dans la région asymptotique lorsquex_i≈y_i→ ∞ et tend vers 1 lorsquex_i →0 oux_i ∼x₀ ety_i → ∞,

f^(M⁾(x, y) = 2

1 + exp

(x/x₀)^ν y/y₀+ 1

−1

, (4.4.6)

où x₀ and y₀ sont deux paramètres libres. Il est judicieux de leur donner une valeur cohérente avec les tailles des régions à deux et trois corps [3]. Par exemple, x0 doit être du même ordre de grandeur que les systèmes à deux corps étudiés. Le paramètre ν doit être choisi supérieur à 2, figures (4.3).

Avec la séparation (4.4.5), il est possible d’écrire leséquations de Faddeev-Merkuriev que nous allons utiliser pour étudier le système (e⁺, e⁻,p)¯

E−Hˆ₀−V₁^(s)−V₁^(ℓ)−V₂^(ℓ)−V₃^(ℓ) ψ⁽¹⁾Ê = V₁^(s)^hψ⁽²⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi, E−Hˆ₀−V₂^(s)−V₁^(ℓ)−V₂^(ℓ)−V₃^(ℓ) ψ⁽²⁾Ê = V₂^(s)^hψ⁽¹⁾Ê+ψ⁽³⁾Êi,

E−Hˆ₀−V₃^(s)−V₁^(ℓ)−V₂^(ℓ)−V₃^(ℓ) ψ⁽³⁾Ê = V₃^(s)^hψ⁽¹⁾Ê+ψ⁽²⁾Êi. (4.4.7) Considérons à nouveau l’exemple précédent. On considère dans la région asymptotique la première configuration, soit un état lié d’antihydrogène (particules 2 et 3), et un an-tiproton. Dans ce cas y₁→ ∞ etx₁ est de l’ordre de grandeur du rayon de Bohra₀. Les potentielsV₂^(s)etV₃^(s)tendent vers zéro, nous obtenons à nouveau un système d’équation découplés (4.4.4). Dans ce système seule la première équation décrit le comportement de l’amplitude de Faddeev-Merkurievψ⁽¹⁾Ê. Dans ce cas, les conditions limites sont cor-rectement définies et on peut considérer un comportement asymptotique de la forme donnée par la relation (4.4.2). En sommant les trois équations de Faddeev-Merkuriev, on retrouve l’équation de Schrödinger donnée au chapitre2, à la référence (2.3.11).

Il est important de remarquer que l’introduction de la fonction de coupure rend les amplitudes de Faddeev-Merkuriev dépendantes des paramètres choisis pour la fonction de coupure f^(M). Cependant, en sommant les trois équations de Faddeev-Merkuriev, on obtient l’équation de Schrödinger indépendante de la fonction de coupure. De la même fa¸con, les amplitudes de Faddeev-Merkuriev sont dépendantes de la fonction de coupure mais leur somme, |Ψi, solution de l’équation de Schrödinger est indépendante des paramètres de la fonction de coupure choisis.

0 20 40 60 x

0 50 100

y -0.4 -0.2 0

a)

❳

❨

V^(s)

0 10 20 30 40 50 60

x 0

20 40 60 80 100

y -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02

b)

✄

☎

V^{✭✆ ✝}

Figure4.3 – Partie courte portéeV^(s)(a) et partie longue portéeV^(ℓ)(b) d’un potentiel Coulombien attractif−1/xi, extrait de la référence [31].

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 70-74)