Les ´equations de Faddeev

Nous consid´erons un syst`eme `a trois corps quelconque d´ecrit par les trois syst`emes de coordonn´ees de Jacobi (2.3). L’interaction totale du syst`emeV est d´efinie comme,

V =V₁₂+V₂₃+V₃₁, (4.3.1)

o`uV<sub>ij</sub> est l’interaction `a deux corps entre les particulesietjconsid´er´ee `a courte port´ee.

Nous rappelons que les interactions `a courte port´ee satisfont la condition,

x→∞lim x²V_ij(x) = 0 (4.3.2)

Comme nous l’avons ´enonc´e en d´ebut de chapitre, la r´esolution de l’´equation de Lippmann-Schwinger pour un probl`eme `a trois corps est irr´ealisable. Pour comprendre cela, il est n´ecessaire de s’int´eresser `a la m´ethode de r´esolution de cette ´equation. Pour la r´esoudre, il est n´ecessaire de calculer l’expression globale de l’op´erateur de Green par it´eration du coeurG<sub>0</sub>V G de l’´equation (4.2.13). Ceci m`ene `a la construction des s´eries de Born,

G₀(z)V G(z) = G₀(z)V₂₃G₀(z) +G₀(z)V₁₂G₀(z) +G₀(z)V₁₃G₀(z) + G₀(z)V₂₃G₀V₁₃G₀(z) +G₀(z)V₁₂G₀V₂₃G₀(z) + G₀(z)V₁₂G₀V₁₃G₀(z) +G₀(z)V₁₂G₀V₁₂G₀(z) +...

(4.3.3) Une des approches les plus simples pour mettre en ´evidence les difficult´es entraˆın´ees par un tel d´eveloppement est de le pr´esenter sous forme de diagrammes. Une repr´esentation sch´ematique de ces diagrammes est donn´ee sur la figure4.1.

Sur ce diagramme, les particules libres sont repr´esent´ees par un trait en gras et l’in-teraction entre deux particules est repr´esent´ee par un trait ondul´e. L’ordre de la rela-tion (4.3.3) est respect´e sur la figure. On dit qu’un diagramme est d´econnect´e lorsque une particule ne subit pas d’interaction. On peut montrer que la pr´esence de tels dia-grammes implique la conservation de l’impulsion pour la dite particule, ce qui se traduit par la pr´esence de fonctions δ dans la repr´esentation des impulsions. La pr´esence de telles fonctions entraˆıne la divergence des s´eries de Born. D’autre part, ces fonctions

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Figure 4.1 – D´eveloppement en s´erie de Born du coeur de l’´equation Lippmann-Schwinger (4.2.10). Les particules libres sont repr´esent´ees par un trait gras. L’interaction entre deux particules est repr´esent´ee par des traits ondul´es verticalaux.

δ ram`enent l’´etude du probl`eme de la diffusion `a la r´esolution d’´equations homog`enes.

Ce type d’´equations brise la conservation du courant de probabilit´e [29]. A partir de ces deux observations, il en d´ecoule l’impossibilit´e de r´esoudre l’´equation de Lippmann-Schwinger pour un probl`eme `a trois corps. Il est donc n´ecessaire de changer de m´ethode afin d’´eviter la pr´esence de fonctions δ.

En 1960, L.D. Faddeev a d´emontr´e que l’´equation de Lippmann-Schwinger pour les probl`emes `a trois corps n’a pas de solution unique [2]. Il a alors ´etudi´e les propri´et´es de l’op´erateur transition T

T(z) =V +V G(z)V. (4.3.4)

Cet op´erateur est construit de fa¸con analogue `a celui du probl`eme `a deux corps [26].G est l’op´erateur de Green associ´e au syst`eme `a trois corps

G(z) = (z−H)ˆ ⁻¹,

G(z) = G₀(z) +G₀(z)T(z)G₀(z) (4.3.5) o`u z=E_3b+iǫ. L’op´erateur transition satisfait une relation d´ecoulant de l’´equation de Lippmann-Schwinger [26],

T(z) =V +V G₀(z)T(z). (4.3.6)

Tout comme l’´equation de Lippmann-Schwinger, la forme int´egrale de cette ´equation ne poss`ede pas de solution unique. Afin de contourner ce probl`eme, L.D. Faddeev propose de d´ecomposer cette op´erateur en trois parties

T(z) =T⁽¹⁾(z) +T⁽²⁾(z) +T⁽³⁾(z), (4.3.7) o`u

T⁽ⁱ⁾(z) = V_jk+V_jkG₀(z)T(z). (4.3.8) Lorsque l’on rassemble les termes en facteur deT⁽ⁱ⁾, on obtient

[1−VijG0(z)]T⁽ⁱ⁾(z) =V_jk+V_jkG0(z)[T^(j)(z) +T^(k)(z)]. (4.3.9) En utilisant la relation (4.3.6) obtenue `a partir de l’´equation de Lippmann-Schwinger pour les op´erateurs transition `a deux corps,

T_jk(z) =V_jk+V_jkG₀(z)T_jk(z) (4.3.10)

qui peut ´egalement s’´ecrire sous la forme

V_jk= [1−V_jkG₀(z)]T_jk(z) (4.3.11) il est possible d’obtenir trois ´equations sous la forme,

T⁽ⁱ⁾ =T_jk(z) +T_jk(z)G0(z)[T^(j)(z) +T^(k)(z)] (i, j, k) = cyclique(1.2.3) (4.3.12) On peut comprendre qu’en absence du terme diagonal T⁽ⁱ⁾ dans la partie droite de l’expression pr´ec´edente, la suite it´erative de l’´equation ne contient pas de termes faisant apparaˆıtre des diagrammes d´econnect´es. Il en d´ecoule que le syst`eme, dont les ´equations sont donn´ees par (4.3.12), a une solution unique. Tout comme pour l’op´erateur transition T, il est possible de s´eparer l’´etat du syst`eme `a trois corps|Ψien trois parties nomm´ees les amplitudes de Faddeev,

|Ψi=ψ^(1)E+ψ^(2)E+ψ^(3)E. (4.3.13) Chacune de ces amplitudes est la mieux adapt´ee pour d´ecrire l’´evolution d’une des confi-gurations d´efinies par les 3 syst`emes de coordonn´ees de Jacobi (2.3.2). Afin d’´etablir les

´equations pour les amplitudes de Faddeev, il est n´ecessaire de construire les ´equations des fonctions de GreenG⁽ⁱ⁾ associ´es aux op´erateurs de transition T⁽ⁱ⁾. D’apr`es les relations (4.3.5),(4.3.7) et la relation

G(z) =G₀(z) +G⁽¹⁾(z) +G⁽²⁾(z) +G⁽³⁾(z) (4.3.14) o`u

G⁽ⁱ⁾(z) =G0(z)T⁽ⁱ⁾(z)G0(z), (4.3.15) on obtient les ´equations pour les op´erateursG⁽ⁱ⁾(z),

G⁽ⁱ⁾ = G_jk(z)−G₀(z) +G₀(z)T_jk(z)[T^(j)(z) +T^(k)(z)]

(i, j, k) = cyclique(1,2,3). (4.3.16)

Les ´equations de Faddeev pour les amplitudesψ^(i)Esont obtenues `a partir de l’´equation pr´ec´edente en consid´erant la relation [29],

ψ^(i)E= lim

ǫ→0G⁽ⁱ⁾(E+iǫ)|φi, (4.3.17) o`u|φi est l’´etat entrant asymptotique.

Lorsque l’on cherche les ´etats li´es possible du syst`eme, il est n´ecessaire de r´esoudre un syst`eme de ´equations homog`enes,

ψ^(i)E=G₀(z)T_ij(z)^hψ^(j)E+ψ^(k)Ei, (4.3.18)

tandis que pour la diffusion de la particule, il est n´ecessaire de r´esoudre un syst`eme d’´equations inhomog`ene. Par exemple, si l’on consid`ere en entr´ee la particule 1 diffusant sur un ´etat li´e des particules 2 et 3, on a

ψ^(1)E=|φ₁i+G₀(z)T₂₃(z)^hψ^(2)E+ψ^(3)Ei,

ψ^(2)E=G₀(z)T₃₁(z)^hψ^(1)E+ψ^(3)Ei,

ψ^(3)E=G₀(z)T₁₂(z)^hψ^(1)E+ψ^(2)Ei, (4.3.19) o`u|φ<sub>1</sub>iest l’expression asymptotique entrante de l’amplitude de Faddeev. En r´e-exprimant la fonction de Green G<sub>0</sub> et l’op´erateur transition T<sub>ij</sub> en fonction de l’Hamiltonien de la particule libre ˆH<sub>0</sub> et des interactions `a deux corpsV_ij, on peut obtenir les ´equations de Faddeev sous une forme utile pour ´etudier le probl`eme dans l’espace des positions

E−Hˆ₀−V₂₃ ψ^(1)E = V₂₃^hψ^(2)E+ψ^(3)Ei, E−Hˆ₀−V₃₁ ψ^(2)E = V₃₁^hψ^(1)E+ψ^(3)Ei,

E−Hˆ₀−V₁₂ ψ^(3)E = V₁₂^hψ^(1)E+ψ^(2)Ei. (4.3.20) Il est important de remarquer que la somme des trois ´equations du syst`eme est ´egale `a l’´equation de Schr¨odinger dans le r´ef´erentiel du centre de masse.