Résultats

Dans un premier temps, nous avons testé comment la fonction VND se comportait lorsque des tâches individuelles pouvaient être scindées. Ces tests devaient mettre en évidence que scinder les tâches permet de gagner en qualité de service. Dix instances ont été utilisées pour réaliser ces tests. Dans chacune d'elles, les tâches pouvaient être eectuées soit par un seul employé, soit par deux employés. Pour le cas des tâches avec une longueur impaire, nous considérons que la synergie entre les employés réduit le nombre total de périodes de ces tâches d'une période. Par exemple, une tâche durant 6 périodes (resp. 9) lorsqu'elle est eectuée par un seul employé, dure 3

périodes (resp. 4) lorsqu'elle est eectuée par deux employés. Pour être équitable, les nombres de tâches avec et sans synergie ont été équilibrés, c'est-à-dire que la moitié des 40 tâches est considérée comme synergétique alors que l'autre moitié est considérée comme régulière. Pour ces problèmes tests, les heuristiques sont appliquées sur des instances où :

 toutes les tâches sont considérées comme individuelles(Contrôle) ;

 seules les tâches régulières sont considérées comme des tâches en équipe, les autres comme individuelles (VND sans synergie) ;

 seules les tâches synergétiques sont considérées comme des tâches en équipe, les autres comme individuelles (VND avec synergie).

Les paramètres de la fonction VND sont tvnd = 36000 et tmip = 600. Les paramètres

kmin et kmax dépendent du solveur et du nombre de tâches. Dans notre cas, kmin =

0.5p2_{|J| = 4 et k}max =

p

2_{|J| = 9 dans l'optique d'incorporer les |J| tâches dans la} recherche si le temps limite de calcul le permet.

Le tableau 3.5 rapporte les résultats de la façon suivante. La première colonne indique l'identiant de l'instance. Ensuite vient le nombre de sous-couvertures de la solution initiale obtenue par l'heuristique pour le PATAM ainsi que le temps de calcul utilisé pour l'obtenir. Pour chacun des trois cas détaillés ci-dessus, le nombre de sous-couvertures ainsi que le temps de calcul et le nombre d'appels à la fonction RechercheLocale sont donnés. De plus, le nombre de tâches scindées est aussi indiqué si des tâches sont considérées en équipe. Le meilleur nombre de sous-couverture est mis en gras.

La solution initiale a tout le temps été améliorée par les trois méthodes. Le cas VND avec synergie obtient de grosses améliorations par rapport à la solution initiale et sur les autres cas pour les instances 1, 2 et 6, où de nombreuses tâches ont été scindées. Le cas VND sans synergie obtient de bons résultats et, pour 4 instances, les meilleurs résultats en dépensant moins de temps de calcul que la version avec synergie. La version de contrôle obtient seulement une fois le meilleur résultat mais ses résultats sont assez proches des deux autres versions. Trois conclusions intéres- santes peuvent être dégagées de ces résultats. Premièrement, la fonction a en général été capable d'améliorer substantiellement la solution initale, même sans tâches en équipe. Deuxièmement, autoriser des tâches scindées conduit à de meilleurs résultats, spécialement dans le cas où il y a synergie. Troisièmement, ces résultats conrment que l'heuristique pour le PATAM est très ecace par rapport à ses temps de calcul.

Id Initiale Contrôle Sans synergie Avec synergie S.-c. Temps S.-c. Temps iter. S.-c. Temps # Scin. iter. S.-c. Time # Scin. iter.

1 38 128 33 2416 30 33 4136 0 28 29 9045 5 41 2 29 73 27 395 7 27 2285 0 22 24 2833 5 33 3 58 50 56 958 30 56 863 0 15 55 2238 1 31 4 50 53 45 1834 42 40 2219 4 41 46 1205 1 23 5 35 44 31 1078 26 32 2137 2 49 32 1667 1 33 6 67 95 53 2134 40 53 12242 2 85 48 24469 10 104 7 21 54 20 1909 44 16 3845 3 51 15 7050 2 51 8 22 59 16 437 7 14 3749 4 39 17 2793 2 34 9 25 72 24 391 7 22 2222 1 45 23 2882 3 38 10 23 72 21 893 19 19 3011 3 57 20 3055 3 56

Tableau 3.5  Résultats pour la fonction VND standard

Pour voir s'il était possible d'améliorer les temps de calcul, les mêmes tests ont été eectués avec l'heuristique FastVND et les valeurs de paramètre tvnd = 1800 et

tmip = 120. Les résultats sont présentés dans le tableau 3.6 de la même façon que

dans le tableau 3.5.

Dans ce tableau, les résultats sont comparables à la version standard du VND en terme de sous-couverture. Les tendances se détachant dans le tableau 3.5 semblent être conservées et les cas avec des tâches en équipe donnent des résultats proches. Les temps de calcul ont été diminués de manière agrante. Ces performances peuvent être expliquées par deux facteurs principaux. Le premier est que les deux méthodes sont des heuristiques d'amélioration sans processus de diversication et donc fortement conditionnées par la direction initiale de descente. Ainsi elles convergeront vers des optima locaux de façons très diérentes. Deuxièmement, la fonction objectif (3.36) agit comme une fonction substitut à la fonction de coût v(x) et doit lui correspondre relativement bien. Dans la méthode FastVND, la fonction d'évaluation est mieux représentée par la fonction substitut car l'inuence des transitions a été grandement réduite.

Dans tous ces tests, toutes les tâches possédaient un patron avec un seul employé. D'autres tests ont été menés pour savoir si la méthode était capable de placer des tâches en équipe strictes. Ces tests ont été eectués sur des instances contenant des

Id Initiale Contrôle Sans synergie Avec synergie S.-c. Temps S.-c. Temps iter. S.-c. Temps # Scin. iter. S.-c. Temps # Scin. iter.

1 38 128 33 1398 19 32 2049 2 22 32 2113 1 16 2 29 73 29 403 7 29 525 0 7 24 1462 4 21 3 58 50 57 516 15 56 427 0 7 56 946 0 15 4 50 53 49 720 15 39 1658 2 32 45 1043 2 21 5 35 44 32 1087 27 31 1268 0 31 30 1542 2 31 6 67 95 53 1141 21 55 1450 0 21 52 2023 5 24 7 21 54 21 985 22 18 1404 1 22 17 1641 0 19 8 22 59 15 1547 31 15 1680 1 29 14 2015 5 31 9 25 72 24 1219 27 23 1142 1 21 19 1543 3 29 10 23 72 22 858 18 19 1257 3 23 20 1206 3 19

Tableau 3.6  Résultats pour l'heuristique FastVND

tâches pouvant être eectuées par au moins deux employés et au plus quatre employés. Dans ces instances, toutes les autres tâches sont individuelles. Dix scénarii représentés par dix instances chacun mettaient en jeu de une à dix tâches en équipe strictes parmi les 40 tâches de chaque instance, pour un total de cent instances. Les résultats sont présentés dans le tableau 3.7. La première colonne indique le nombre de tâches en équipe, puis le nombre de tâches aectées dans la solution initiale (ainsi que le temps pour l'obtenir) et le nombre de tâches aectées dans la solution obtenue par la méthode FastVND (ainsi que le temps de calcul de la méthode) sont rapportés.

Dans 98 des 100 cas, toutes les tâches ont été aectées par notre méthode dans des temps moyens de calculs inférieurs à quinze minutes. Évidemment, plus il y a de tâches en équipe, plus l'aectation prend du temps. Pour les deux autres cas, le nombre de tâches aectées par notre méthode était supérieur à celui de la solution initiale. La raison est certainement que des tâches aectées empêchent la méthode d'aecter d'autres tâches reliées par des relations de préséance. De toute façon, rien ne garantit l'existence d'une solution où toutes les tâches sont aectées durant la création des instances.

Au nal, nous avons proposé une heuristique à deux modules permettant de ré- soudre des instances de grande taille, à savoir d'une semaine avec quarante tâches. Les tests numériques eectués ont validé la démarche et ont montré l'ecacité de la

Nombre de Solution initiale Amélioration VND tâches en équipe Tâches Temps Tâches Temps

1 37.5 37.2 40 592.6 2 33.8 29.4 38.8 603.7 3 31.3 30.2 40 677.6 4 29.2 35.6 40 735.8 5 27.2 26.0 40 802.8 6 24.8 25.8 40 748.2 7 23.5 25.2 40 827.6 8 22.1 26.5 40 810.4 9 21 25.1 39.3 800.0 10 19.7 24.7 40 852.4

Tableau 3.7  Résultats pour l'aectation de tâches en équipe strictes

méthode pour aecter des tâches en équipe et pour améliorer des solutions où des tâches individuelles peuvent être scindées. Ils ont aussi validé l'ecacité de la méthode du deuxième article.