Réaectation de tâches

Une fois ce modèle résolu, sa solution donne une aectation de tâches valide à la- quelle il faut adjoindre l'aectation des activités pour obtenir une solution complète pour le PATAM. Pour chaque tâche j ∈ J couverte dans la solution du modèle d'ap- proximation, pj et tj dénotent respectivement le segment et le temps auxquels la tâche

a été aectée. Réaecter des tâches consiste à remettre en cause les décisions prises durant la résolution du modèle d'approximation et à aecter à la fois les activités et les tâches en se restreignant à un petit sous-ensemble de blocs de tâche, au lieu de considérer tous les blocs possibles. La sélection de ce sous-ensemble n'est pas unique et il est préférable qu'il possède certaines propriétés pour garantir par exemple la réa- lisabilité de la restriction du problème. Nous avons ainsi développé quatre stratégies

de réaectation.

La première stratégie consiste à considérer les tâches comme dénitivement aec- tées et aecter les activités par la méthode décrite en section 3.3. La présence de tâches déjà aectées dans des segments n'a d'inuence que sur l'algorithme de génération de colonnes dans la méthode de résolution, et particulièrement, sur la structure des réseaux des sous-problèmes. La formulation du problème maître (3.10)(3.14) reste globalement la même, à l'exception de l'ensemble Ωp, p ∈ P qui dénote maintenant

les séquences réalisables d'activités et de tâches. Ces séquences sont générées par un réseau modié pour chaque segment p. Soit Jp ={j ∈ J|pj = p} l'ensemble des tâches

aectées au segment p. Ces aectations de tâches s'étendent sur le sous-ensemble de périodes Ip =

[

j∈Jp

{tj, tj+ 1, . . . , tj+ `j − 1} inclus dans Tp. Le réseau du segment p

contient alors, pour toute tâche j ∈ Jp, un arc appelé arc de tâche qui relie un noeud

de début de tâche vers un noeud de n de tâche. Ces nouveaux noeuds sont reliés aux autres noeuds du réseau suivant les mêmes principes. De plus, tous les arcs d'activités chevauchant une période appartenant à Ip sont retirés du réseau.

Cette première stratégie permet de trouver une aectation d'activités et de tâches au PATAM. Cependant les décisions prises concernant les tâches dans la solution du modèle (3.22)(3.32) sont conservées telles quelles. Cette stratégie sert donc de référence à titre de comparaison. Pour atténuer les eets des mauvaises décisions, la deuxième stratégie de réaectation de tâches est de considérer les blocs de tâche commençant au temps tj dans toutes les séquences des segments pour lesquels l'em-

ployé correspondant est qualié pour réaliser la tâche j. De même que pour le cas de tâches déjà aectées, seul l'algorithme de génération de colonnes a besoin d'être modié. Dans le modèle (3.10)(3.14), l'ensemble Ωp désigne de nouveau l'ensemble

des séquences réalisables d'activités et de tâches et les contraintes suivantes doivent

être rajoutées, _X p∈P X q∈Ωp κp,s_j θ_p,s= 1, _{∀j ∈ J,} (3.33) où κp,q

j est un coecient booléen indiquant si la séquence q pour le segment p contient

un bloc de tâche pour la tâche j. Les réseaux de segments sont modiés de façon simi- laire au cas des tâches déjà aectées, à l'exception de l'élimination des arcs d'activités. De plus, le coût d'un arc de tâches durant la résolution des sous-problèmes de généra- tion de colonnes est égal à l'opposé de la valeur courante de la variable duale associée

à la contrainte (3.33) associée à la tâche de l'arc.

Cette deuxième stratégie permet l'échange entre employés de la réalisation d'une tâche, mais ne permet pas l'ajustement temporel de l'aectation d'une tâche. La troisième stratégie est donc basée sur ce point. Pour pouvoir réaecter une tâche sans détruire la réalisabilité globale de l'aectation des tâches, il est nécessaire de modier toute la méthode d'aectation d'activités. Le petit sous-ensemble de bloc de tâche considéré est celui des blocs aectés au segment pj qui permettent de respecter les

relations de préséance, tout en conservant la nature de plus court chemin des sous- problèmes. Pour que toutes les relations de préséances soient respectées quelle que soit la réaectation des tâches, un sous-ensemble de périodes, appelé fenêtre de exibilité, est associé à chaque tâche. Il correspond aux périodes de départ autorisées pour les blocs de chaque tâche. Ces sous-ensembles sont aussi dénis tels qu'un seul bloc de tâches apparaisse pour la tâche pj dans les séquences Ωpj. Ainsi, pour chaque tâche

j, sa fenêtre de exibilité est dénie par F_j =f_js, f_js+ 1, . . . , f_je , où

f_js= max  min t∈Wj t; max j0_∈J|(j0_,j)∈Γ  tj0 + `<sub>j</sub>0 − 1 + t<sub>j</sub> 2  ; tj−  `j 2  (3.34) f_je= min  max t∈Wj t; min j0_∈J|(j,j0_)∈Γ  tj+ `j − 1 + tj0 2  − `j; tj +  `j − 1 2  . (3.35) Dans ces deux formules, Wj est le sous-ensemble de périodes telles qu'un bloc de tâche

commençant à cette période respecte la fenêtre de temps de complétion de la tâche j. Le premier terme dans le membre de droite correspond au respect des fenêtres de complétion. Le second terme est le plus complexe. Chaque relation de préséance est respectée dans l'aectation de tâches proposée par le modèle d'approximation. An de conserver cette propriété, l'objectif pour chaque couple de tâches en relation est de considérer seulement les blocs de chacune des deux tâches jusqu'à la moitié du nombre de périodes qui les séparent, dans l'aectation de tâches proposée par le modèle d'aectation. Autrement dit, pour le seul couple de tâches j et j0 _{tel que}

(j, j0)_{∈ Γ, les blocs autorisés pour j sont ceux dont la dernière période d'aectation} est antérieure à la période se situant au milieu des deux blocs de tâches proposés pour j et j0, c'est-à-dire le milieu entre la n du bloc pour j, précisément tj + `j − 1, et

le début du bloc pour j0_{, précisément t}

j0. La formule du second terme du membre de

droite dans les équations (3.34) et (3.35) correspond à la généralisation de ce milieu pour l'ensemble des relations de préséance d'une tâche j ∈ J. Enn, le troisième terme

centre la fenêtre de exibilité autour de tj et assure qu'elle soit strictement plus petite

que `j. Ainsi, si les blocs de tâches sont représentés dans les réseaux de segments de

façon similaire à celle des stratégies précédentes, un algoritme de plus court chemin ne pourra pas choisir deux fois la tâche j dans la résolution du sous-problème associé à pj, et cela, quels que soient les coûts sur les arcs de tâches.

A ce point, seule la résolution d'une tranche de temps dans l'heuristique d'horizon fuyant a été modiée pour tenir compte de la réaectation temporelle des tâches. Pour la troisième stratégie, cette réaectation temporelle perturbe aussi le processus de remise en question de l'aectation des segments. Un bloc de tâche est remis en question uniquement si ce bloc a une intersection temporelle avec la fenêtre de temps et s'il existe une solution avec un bloc associé à la même tâche dans la tranche de temps. A l'exception de cette spécicité, le processus de remise en question est le même que pour les blocs d'activités et permet à une tâche aectée dans l'aectation proposée par le modèle d'approximation d'être aectée à la n du processus d'aectation d'activités. Finalement la quatrième stratégie est la combinaison de la deuxième et la troisième stratégie, c'est-à-dire qu'une tâche peut être eectuée par n'importe quel employé qualié tant que le bloc respecte la fenêtre de exibilité. Les ajustements à apporter à la méthode d'aectation d'activités sont les mêmes que pour ceux apportés pour la troisième stratégie, mis à part pour les réseaux de segments qui doivent être modiés en fonction de la fenêtre de exibilité de chaque tâche pour lequel l'employé est qualié.

Il faut aussi noter que la résolution du modèle d'approximation et celle des sous- problèmes ont été accélérés. D'une part, une heuristique a été employée pour obtenir des aectations de tâches de bonne qualité par rapport au modèle d'approximation. Cette heuristique consiste à jouer avec le coûts des variables de décisions sur les blocs de tâches an d'alléger le travail de la procédure d'énumération implicite clas- sique. D'autre part, concernant les sous-problèmes, une réduction du nombre d'arcs de transitions, protant du coût constant de celles-ci, permet de réduire le nombre d'opérations de l'algorithme d'étiquetage utilisé pour obtenir les solutions aux dié- rentes instances du problème de plus court chemin intervenant dans le processus de génération de colonnes.