Résultats de la simulation

La seule diérence entre le domaine traité ici et la diode modèle que nous avons considérée jusqu'ici réside dans le traitement de la frontière de sortie, qui était une élec- trode pleine dans le cas de la diode. Nous avons maintenant une électrode creuse. C'est une situation que nous avons évoquée dans la remarque 2 de la Section 1.5. L'électrode elle-même est traitée comme les autres électrodes (type de frontière Γd). Si on note Γs la

frontière du domaine correspondant au trou, nous proposons de prendre comme condition limite

 ∇Φ.νs|Γs = 0

f |Γs(v) = 0 pour v.νs < 0

,

où νs est la normale extérieure à Γs. Cela revient à dire qu'il n'y a pas de réémission

de particules à droite, et que le champ axial est nul. Prendre un champ Ez nul sur la

frontière est une méthode couramment utilisée pour décrire une frontière libre, même si elle est assez grossière. Il serait plus juste de faire une approximation paraxiale [35] en sortie de domaine. Cela consiste à supposer que les dérivées en z sont faibles devant les dérivées en r et d'en déduire une condition limite sur le champ. Cependant, comme nous cherchons surtout à valider l'injection, nous pouvons à l'heure actuelle nous contenter de cette approximation. Intéressons nous maintenant aux résultats de la simulation.

Nous cherchons une solution stationnaire. Pour décider que la solution stationnaire est atteinte, nous disposons à priori de deux critères, illustrés sur la Figure 4.11. Le premier d'entre eux est le nombre de particules contenues dans le domaine : quand un état stationnaire est atteint, il y a autant de particules qui entrent que de particules qui sortent, et donc le nombre de particules se stabilise. Dans cette simulation, le nombre de particules croît pendant environ 8 000 itérations, soit pendant environ 0, 8 µs puis se stabilise autour de 711 000 (a). Le second critère est la diérence sur le potentiel entre deux itérations. Nous représentons sur la courbe (b) l'erreur relative

v u u u t X k=0,K+1 X j=1,J +1    Φ n+1 k,j
2 − Φn k,j
2   Φn k,j
2 .

Elle se stabilise autour de 10−3 _{au bout d'environ 6 000 itérations (0, 6 µs). Le critère sur}

le nombre de particules étant le plus restrictif, nous choisissons de nous référer à celui-ci. Dans la suite, les résultats stationnaires seront présentés à l'itération 20 000 (t ' 2 µs), qui était l'itération maximale retenue pour ce cas. on compte alors 710 915 particules dans le domaine.

4.4. Application à un cas réaliste 121 De nombreux diagnostics servent à illustrer ce type de simulations. On peut représen- ter le potentiel, le champ électrique, la densité de charge ou de courant sur le maillage. Ces deux derniers résultats donnent des indications sur la forme du faisceau en un point quelconque du dispositif. Les positions dans l'espace réel (z, r) ou dans un espace de phase, (r, vr) par exemple, apportent également des renseignements précieux. Nous don-

nons dans la suite des éléments d'interprétation de quelques uns de ces diagnostics. Sur les Figures 4.12 et 4.13, les particules sont représentées3 _{dans l'espace (z, r) et colo-}

rées en fonction de leur charge (a), du module de leur vitesse (b), de leur vitesse axiale (c) et de leur vitesse radiale (d). Ces résultats permettent de mettre en évidence la fo- calisation du faisceau au niveau de l'électrode plasma, et l'accélération des particules. Les lignes de potentiel au voisinage de l'électrode plasma sont indiquées sur la Figure 4.14, avec en particulier l'équipotentielle plasma, correspondant au potentiel de l'élec- trode, Φp ' −40 V. Cette ligne représente en fait ce qu'on appelle le ménisque. C'est la

frontière théorique entre le plasma d'un côté et le faisceau de l'autre. Le ménisque est ici légèrement concave, ce qui explique que le faisceau soit initialement convergent (les particules se déplacent perpendiculairement aux lignes de potentiel).

Sur la Figure 4.15, on trace la position des particules à l'itération 1 000 (0, 1 µs, 338 000 particules) et à l'itération 5 000 (0, 5 µs, 690 000 particules). On se rend compte de l'in- uence de la charge d'espace dans la focalisation du faisceau : à l'itération 1 000, il n'y a pas susamment de particules en aval de l'électrode plasma. Ces particules, essentiel- lement soumises au champ extérieur, se focalisent fortement au niveau de l'électrode 2 (voir numérotation sur la Figure 4.10 ), puis le faisceau diverge. Au fur et à mesure que le nombre de particules augmente, le champ qu'elles génèrent permet de compenser cette sur-focalisation. Le faisceau s"élargit et reste concentré. Sa forme est proche de ce que montre la solution stationnaire (Fig. 4.12) qui n'est pas encore atteinte.

Un autre diagnostic utile aux expérimentateurs est le diagramme d'émittance d'un fais- ceau, qui permet d'en préciser les caractéristiques. Nous avons représenté sur la Figure 4.16, pour diérents z, la position des particules dans l'espace r − θ, où θ est l'angle entre l'axe de symétrie du dispositif et la direction de la particule. Ces diagrammes permettent de mesurer la divergence du faisceau. On visualise très bien les aberrations dues aux non linéarités (courbures pour les grands r). Ces diagrammes sont tracés au droit de l'élec- trode plasma (au début (a), au milieu (b) et à la sortie (c) de l'orice), et sous les autres électrodes ((d) à (g)). Les résultats pour les r négatifs (non calculés) sont tracés par symétrie. La divergence maximale en sortie du dispositif (z = 74 mm est de 6 10−2_rad.

Le diamètre du faisceau est alors de 9, 8 mm.

Dans la simulation de référence, le code AXCEL mesure la divergence de sortie en z = 115 mm (Fig. 4.16 -h). Elle est identique à celle que nous trouvons. Le diamètre du faisceau est alors de 14 mm. D'après la Figure 4.9, on peut estimer qu'il est de 9.3 mm en z = 74 mm, ce qui est proche de notre résultat.

3. Dans toutes les graphiques représentant les particules, nous ne traçons qu'une particule sur 10, ce qui explique certains artefacts, uniquement liés à cet échantillonage.

Nous représentons ensuite sur la Figure 4.17 le courant mesuré sur diérents plans. On vérie bien la conservation du courant au-delà de l'électrode plasma (a), ce qui est nor- mal puisque le faisceau n'est plus intercepté par aucune électrode. Il subsiste toutefois un problème : le courant que nous mesurons est d'environ 90 mA, ce qui est inférieur aux 109 mA théoriquement attendus. En fait, nous trouvons à l'entrée du trou un courant de l'ordre de 105 mA (b), ce qui est conforme à nos attentes. Les 15 mA qui manquent correspondent en fait à des particules qui ont été absorbées sous l'électrode, comme on peut le visualiser sur la Figure 4.18 (représentation des vitesses des particules, zoom sous l'électrode plasma). La trajectoire de ces particules est imposée par la forme des lignes de potentiel autour de l'électrode (Figure 4.14, isopotentiels 10 V et 20 V). Cette perte de courant est clairement liée à la forme rectangulaire que nous avons dû donner à l'électrode, et d'ailleurs on constate que la simulation AXCEL sur le cas de référence, où l'électrode plasma est biseautée (donc inniment mince au niveau du trou), permet de retrouver le courant théorique. Cela illustre bien le fait que la forme des électrodes a une inuence capitale sur les caractéristiques du faisceau.

Remarque. On constate que la répartition des particules est très hétérogène, puisque sur les 710 915 particules de la simulation, il y en a 534 799 en amont de l'électrode plasma (dont 334 043 dans la première moitié de la chambre à plasma), et seulement 76 116 au-delà. Un tel constat permet d'envisager de nouvelles perspectives de développement. En eet, nous avons dans ce travail utilisé une modélisation entièrement cinétique des ions. Il pourrait être judicieux d'envisager une modélisation hydrodynamique des ions dans une partie du plasma neutre.Cela présenterait un avantage indéniable en terme de temps de calcul et de mémoire utilisée, puisque c'est précisément dans cette zone que l'on rencontre le plus grand nombre de particules. Les dicultés à prévoir résident dans le couplage entre cette méthode uide et la méthode cinétique Cette dernière reste néces- saire pour décrire correctement les croisements de particules et la formation du faisceau. Il faudrait en particulier dénir l'interface entre la partie uide et la partie cinétique, certainement dépendante du temps, et en calculer la position.