Détermination des conditions limites à gauche

Ne pas modéliser explicitement la zone d'ionisation revient à supposer que l'ionisation se fait sur une couche limite. Il faut donc se donner des conditions aux limites sur la frontière amont du domaine en supposant que l'ionisation y est totale. Nous devons dans cette section déterminer les valeurs limites de la vitesse, de la densité et de la température. On suppose que les ions sont soniques sur la frontière, de sorte que leur vitesse est donnée en fonction de la température électronique par

u =r kTe mi

On connaît par ailleurs le ux de molécules d'hydrogène arrachées de l'anode. Il est donné par d'autres travaux sur la source d'ions, conduit parallèlement à notre étude. On en déduit le ux d'atomes, noté ϕ, puis de la valeur de la densité limite.

n = ϕ u.

Il reste maintenant à estimer la température Te sur la frontière. Nous allons procéder

de manière heuristique, en considérant que l'équilibre thermodynamique local (ETL) est atteint. On a donc

n2

na

= Keq(Te) (5.43)

où Keq est donné par la loi de Saha (5.30), et représenté sur la Figure 5.3.

Figure 5.3  Evaluation de la température limite.

La croissance rapide de Keq en fonction de Te correspond à une ionisation rapide de

l'hydrogène. On considère que l'ionisation est totale quand Keq se stabilise, soit d'après

la courbe quand Te ' 20 000 K. On prend cette valeur comme température limite. On

calcule alors la vitesse (de l'ordre de 104_ms−1_{) et la densité des particules (' 10}23_m−3_).

Les conditions limites sont constantes puisqu'on est à l'équilibre. Dans la suite on notera ug, ng, Tg la valeur des variables sur la frontière.

Remarque. On peut vérier a posteriori que notre estimation de la température est correcte : on dénit la densité des "lourds" par

N0 = na+ ni = ρ mi puis on pose r = n N0 , et a = 1 N0 Keq(Te).

La relation (5.43) s'écrit alors

n2

N0− n

5.4. Conclusion 163 ou

r2+ ar − a = 0.

Puisque r doit être positif et que a > 0, la solution admissible de ce polynôme est r = −a +

√

a2_{+ 4a}

2 . (5.44)

Supposer que l'ionisation est complète revient à écrire que N0 ' n, de sorte que

r = 1 −o(N0 − n)

et donc l'équation (5.44) est équivalente à

o(N0− n)a = 1 −o(N0 − n),

ce qui implique formellement que

a  1 et donc que

Keq(Te)  N0.

On considère donc que l'ionisation est totale si Keq est supérieur d'un ordre de grandeur à

N0, alors égale à n. Puisque n ' 1023m−3, il faut que Keq(Te) ' 1024m−3, soit Te ' 18 000

K d'après la formule (5.30).

5.4 Conclusion

Nous avons exposé un modèle hydrodynamique apte à rendre compte de la création d'un plasma à partir d'un gaz neutre et de son chauage par un courant d'électrons exté- rieur. Un certain nombre d'hypothèses, dont la quasi-neutralité du plasma permettent de négliger l'équation de champ et de se ramener à un système de lois de conservation (trois espèces, deux températures). Son hyperbolicité n'est pas garantie, en particulier si on fait l'hypothèse de l'ETL. Hors ETL, le système est faiblement hyperbolique : des résonnances non linéaires (croisements de valeurs propres de natures diérentes) peuvent se produire et entraîner une perte locale d'hyperbolicité. En l'absence de choc, une formulation en entropie conduit à l'écriture sous forme conservative du système.

Le modèle a ensuite été réduit à un plasma entièrement ionisé (deux espèces, une température). Etant donné qu'il n'est valable que sur les zones de chauage et d'expan- sion, il a fallu préciser les conditions limites à l'interface entre la zone d'ionisation et la zone de chauage. Le système qui résulte de ce modèle présente les mêmes propriétés que le système hors ETL précédemment évoqué. Sa résolution numérique est traitée dans le chapitre suivant.

165

Chapitre 6

Résolution numérique en 1D du modèle

totalement ionisé

6.1 Introduction

Nous nous intéressons dans ce chapitre aux diérentes méthodes numériques em- ployées lors de la résolution monodimensionnelle du système issu du modèle totalement ionisé présenté dans la Section 5.3. Nous commençons par décrire le problème dans la Section 6.2. La première diculté consiste à proposer une modélisation acceptable du courant extérieur (Section 6.3). Lors d'études préliminaires qui ne seront pas détaillées ici [36], l'utilisation de la méthode des caractéristiques a permis de mettre en évidence cer- taines dicultés inhérentes au modèle. Notamment, nous avons constaté que la présence d'un terme de chauage et du terme source dans l'équation de conservation de l'énergie (5.40) se traduit par de forts gradients de température entre la zone d'ionisation (où sont données les conditions limites) et la zone de chauage. L'utilisation de la méthode des caractéristiques entraîne très rapidement (deux ou trois itérations) des densités négatives. Ce constat nous a incité à nous orienter vers un schéma conservant la positivité de la densité et de l'énergie, le schéma HLLE (Section 6.6). Avant de nous intéresser à la réso- lution complète du système, nous présentons des traitements spéciques liés à la couche limite qui se forme en amont de la zone de chauage (Section 6.4) et à la détente dans le vide qui se produit dans la zone d'expansion (Section 6.5). En dehors de ces spécicités, le schéma HLLE est utilisé de manière standard. Cette procédure donne des solutions non physiques, à cause de la perte d'hyperbolicité due à l'existence de points résonnants. Nous proposons alors une autre méthode de résolution, fondée sur un couplage de schémas à l'interface entre la zone de chauage et la zone d'expansion, qui permet de supprimer les résonnances (Section 6.7).

Pour simplier l'écriture, nous noterons dans cette section p et T la pression et la température électroniques, au lieu de pe et Te, et W l'énergie totale, plutôt que ˜W.