Dénition du domaine d'étude

Le dispositif simplié que nous considérons est une diode (Fig. 1.1), formée de deux électrodes planes, l'une munie d'un orice, appelée électrode plasma, et l'autre pleine et inniment mince, qualiée d'électrode extractrice. Cette diode est supposée innie dans la direction transverse, et elle est symétrique par rapport à l'axe (0, x). Elle n'est pas explicitement bornée en amont de l'électrode plasma, là où se trouve le plasma émet- teur, homogène, au repos. Des potentiels négatifs sont appliqués sur les électrodes. Nous supposons que le champ électrique est uniquement longitudinal si on est susamment éloigné de l'électrode trouée, de sorte que les équipotentielles sont parallèles au plan des électrodes (Fig. 1.1).

Il faut maintenant dénir un domaine borné (Fig. 1.2 ) pour la résolution numérique. Il est donc nécessaire de se donner des frontières articielles pour le fermer dans la direction transverse et dans la direction longitudinale au sein du plasma neutre. Nous appelons ce domaine Ω et sa frontière Γ = Γd ∪ Γn∪ Γs∪ Γi. Notons de manière générique ~να la

normale extérieure à Γα.

Il s'agit maintenant de caractériser les frontières Γα, et notamment de préciser la

valeur du potentiel Φ et de la fonction de distribution ionique f sur Γ. Il convient de distinguer les frontières physiques des frontières articielles.

• La frontière Γd correspond au bord de l'électrode plasma ; le potentiel est imposé

1.5. Dénition du domaine d'étude 31

Figure 1.1  Schématisation de la diode d'extraction et hypothèses sur les lignes de potentiels.

 Φ|_Γd = Φd

f |Γd(x, v) = 0 pour v.~νd< 0.

•La frontière aval Γs est l'électrode de sortie. Sur cette frontière purement absorbante

qui ferme le domaine, les conditions sont les mêmes que sur Γd (potentiel imposé, pas de

réémission d'ions). Dans le cas où une électrode trouée est placée en sortie, nous serons amenés à proposer une autre caractérisation de Γs (cf. Section 4.4.4).

• La frontière Γn est une première frontière articielle. En considérant qu'elle est suf-

samment éloignée de l'axe de symétrie de la diode, nous pouvons dire que la composante transverse du champ y est nulle. Cela revient à imposer une condition de type Neumann sur le potentiel,

∇Φ. ~νn|Γn = 0.

Les particules ont donc un comportement monodimensionnel dans la direction longitudi- nale, ce que l'on traduit par une condition de réexion sur Γn :

f |Γn(x, v; (v.~νn< 0)) = f |Γn(x, v; (v.~νn> 0)).

Au cours des simulations que nous avons eectuées, nous avons vérié que cette condition était la bonne en constatant qu'il n'y avait pas de particules qui franchissaient Γn.

• Nous achevons la caractérisation de Γ en dénissant une deuxième frontière arti- cielle, Γi. C'est une frontière purement émettrice, si bien que

f |Γi(x, v) = 0 pour (v.~νi) > 0.

L'émission est caractérisée par

f |Γi(x, v) = fi pour (v.~νi) < 0,

et le potentiel est

Φ|Γi = Φi.

La détermination des valeurs de Φi et fi est l'objet du chapitre suivant. Pour cela, nous

supposons que la frontière d'injection est située dans une zone où la composante trans- verse du champ est nulle. Le comportement du plasma est donc monodimensionnel, dans la direction longitudinale.

Lors de la résolution numérique sur des dispositifs axisymétriques en coordonnées cy- lindriques, nous aurons à caractériser une troisième frontière articielle correspondant à l'axe de symétrie du dispositif (Chapitre 3.8).

Remarque. Les dispositifs réels comportent plusieurs électrodes trouées. Cela revient simplement à multiplier les frontières de type Γd et Γn.

33

Chapitre 2

Etude monodimensionnelle :

détermination des conditions limites

sur Γ

i

2.1 Introduction

Le but de ce chapitre est de déterminer le potentiel Φi et la fonction de distribution

fi sur la frontière émettrice Γi, dénie dans le chapitre précédent. Nous commençons par

établir un modèle simplié sur un domaine monodimensionnel permettant d'étudier le comportement d'un plasma soumis à un champ électrique. Ce modèle est en fait très voisin de celui que nous avons déni dans le chapitre précédent. Dans le cadre de ce modèle, nous dérivons ensuite le problème de Vlasov-Poisson présenté dans la Section 1.2.4. Nous le réduisons à un problème de Poisson non linéaire, qui s'exprime sous la forme d'une équation intégro-diérentielle sur le potentiel (Section 2.3). La résolution numérique de cette équation donne le prol du potentiel et de la densité dans le domaine monodimensionnel. Nous regardons alors l'eet des variations des paramètres ε et γ sur les tailles respectives de la zone neutre et de la gaine.

Dans la Section 2.4, nous faisons une hypothèse supplémentaire de quasi-neutralité du plasma. Nous précisons les bornes du domaine sur lequel cette approximation est valable, et nous comparons les valeurs analytiques obtenues aux résultats numériques de la Section 2.3. Nous pouvons alors calculer une expression analytique de la fonction de distribution ionique solution de l'équation de Vlasov, fp. Nous complétons cette section

par la dénition et l'étude de l'approximation de gaine qui, si elle n'est pas nécessaire à l'obtention des conditions limites sur Γi, nous procure une validation supplémentaire de

nos travaux.

La Section 2.5 est consacrée à la détermination proprement dite des conditions limites sur Γi. Puisque nous avons supposé que le comportement du plasma était monodimen-

sionnel en Γi, nous pourrons utiliser les résultats obtenus jusqu'alors dans ce chapitre. La

Section 2.3 permet de calculer la valeur de Φi. Nous nous servons ensuite de l'expression