Résultats numériques

Nous présentons maintenant les résultats numériques obtenus en résolvant les problèmes discrétisés (5.2.17) et (5.2.24). Pour cela, nous faisons essentiellement un catalogue de graphiques pour illustrer dans les différents cas étudiés la capacité de la méthode TRAC à recréer le passé. Notons que dans tous nos tests, nous travaillons avec une ligne d’émetteurs- récepteurs à ouverture totale dont les transducteurs sont disposés continûment le long de la LER.

Dans tous nos cas, la densité et le coefficient de cisaillement du milieu environnant sont pris égaux à 1, d’où la vitesse de propagation dans le milieu c0

c0 = >

µ0 ρ0

= 1 .

La fréquence centrale ν0 de la source (5.2.8) est prise égale à 5, ce qui nous donne une longueur d’onde λ de 0.2. Le diamètre du domaine de calcul est de 7.5λ et le temps de simulation est de quinze périodes. Quant au temps d’émission, il est de deux périodes. Lors de la création des données synthétiques, nous observons le champ total direct suivant : une onde incidente quasi-plane arrive du haut à droite du domaine de calcul vers l’inclusion. Lorsqu’elle touche l’inclusion, cela engendre le champ diffracté qui diverge vers l’infini sous la forme d’une onde sphérique. Par retournement temporel, nous souhaitons donc voir d’abord apparaître une onde sphérique convergente qui se concentre sur la surface où l’onde incidente à heurter l’inclusion, puis repart vers le haut à droite du domaine en une onde quasi-plane.

Dans la première série de tests illustrée sur la Figure 5.4, nous prenons une inclusion de type mou, c’est-à-dire :

ρD = 1030 , µD = 1 et par conséquent cD ≃ 0 .

Dans un premier temps, nous prenons une inclusion ronde de rayon λ. Sur les Figures 5.4a et 5.4b, nous comparons le résultat de la reconstitution du champ total par la méthode TRAC au retournement temporel exact. Pour effectuer la méthode TRAC, nous avons introduit un sous-domaine B rond de rayon 3λ/2 contenant l’inclusion. Nous observons nettement que le champ reconstitué (Figure 5.4b) avec la méthode TRAC est la restriction du retournement temporel exact (Figure 5.4a) sur Ω\B. Nous rappelons que le retournement temporel exact est montré à titre de référence et qu’il ne s’agit en fait que du champ total direct que nous présentons pour des temps décroissants.

Nous faisons des tests similaires pour des inclusions d’autres formes. Nous gardons cependant le même sous-domaine B. Par exemple, nous choisissons une inclusion molle carrée de côté 2λ. Les résultats sont présentés sur les Figures 5.4c et 5.4d. Nous observons à nouveau que le champ reconstitué est similaire au champ de référence dans le domaine restreint Ω \ B. De la même façon pour une inclusion triangulaire inscrite dans le cercle de rayon λ, nous observons un champ reconstitué similaire au champ de référence sur les Figures 5.4e et 5.4f. En conclusion de cette série de tests, la méthode TRAC permet de reconstituer le champ total pour une forme d’inclusion quelconque. D’ailleurs rappelons qu’elle fonctionne pour des inclusions plus complexes comme le poisson du § 5.1.

5.2. PLUS DE TESTS POUR L’ÉQUATION DES ONDES 103 Dans la deuxième série de tests, nous considérons des inclusions pénétrables. Pour cela, nous utilisons les paramètres physiques issus du domaine médical que nous trouvons dans [STX+_{05]. Les trois types d’inclusions observés sont :}

1. une tumeur cancéreuse du sein :

ρD = 1 , µD = 2.9 et cD ≃ 1.7 . 2. un fibroadénome (grosseur saine dans le sein) :

ρD = 1 , µD = 1.3 et cD ≃ 1.14 . 3. un tissu autre environnant :

ρD = 1 , µD = 0.87 et cD ≃ 0.93 .

Dans chaque cas, la vitesse de propagation est proche de la vitesse du fluide ambiant c0 = 1. Ces inclusions ne sont plus totalement réfléchissantes, mais laissent passer une partie du signal qui traverse l’inclusion à la vitesse cD. Nous présentons les résultats numériques sur la Figure 5.5 : pour la tumeur cancéreuse sur 5.5a et 5.5b, pour le fibroadénome sur 5.5c et 5.5d et pour un autre tissu environnant sur 5.5e et 5.5f.

À chaque fois, nous comparons le retournement temporel avec TRAC au retournement temporel exact. La méthode TRAC est ici encore effectuée avec un sous-domaine rond de rayon 3λ/2 contenant complètement l’inclusion. Nous observons clairement que la méthode TRAC nous permet de reconstituer correctement le champ total dans le domaine restreint Ω\ B.

En conclusion, la méthode TRAC fonctionne pour tout type d’inclusion réfléchissante ou pénétrable.

Dans la troisième série de tests, nous nous intéressons à la reconstitution du champ total lorsque les données enregistrées sont bruitées. Nous utilisons un bruit blanc gaussien non-corrélé en temps, ni en espace tel que :

uT_bruit(ti, "xj) = [1 + Coeff × randn(ti, "xj)]× uT(ti, "xj) , (5.2.26) où ti est le ième pas de temps, "xj est la position du jème émetteur-récepteur. La fonction randn vérifie une loi normale centrée réduite et Coeff est le niveau de bruit. Remarquons qu’il s’agit d’un bruit multiplicatif et non additif. Notre choix du bruit multiplicatif est orienté par [CCM00]. Il nous permet de perturber le signal enregistré de façon à éviter des

(a) TR exact pour une inclusion ronde.

(b) TRAC pour une inclusion ronde.

(c) TR exact pour une inclusion carrée.

(d) TRAC pour une inclusion carrée.

(e) TR exact pour une inclusion triangulaire.

(f) TRAC pour une inclusion triangulaire.

Figure 5.4 – _{Reconstitution du champ total pour différentes formes d’inclusions molles. Comparaison}

du retournement temporel exact et du retournement temporel avec TRAC où le sous-domaine B englobe totalement l’inclusion.

5.2. PLUS DE TESTS POUR L’ÉQUATION DES ONDES 105

(a) TR exact pour une inclusion de type tumeur.

(b) TRAC pour une inclusion de type tumeur.

(c) TR exact pour une inclusion de type fibroadenome.

(d) TRAC pour une inclusion de type fibroadenome.

(e) TR exact pour une inclusion de type tissu environnant.

(f) TRAC exact pour une inclusion de type tissu environnant.

Figure5.5 –_{Reconstitution du champ total pour différents types d’inclusions pénétrables. Comparaison}

du retournement temporel exact et du retournement temporel avec TRAC où le sous-domaine B englobe totalement l’inclusion qui est ronde centrée à l’origine du domaine.

(a) TR exact pour une inclusion molle (sans bruit).

(b) TRAC sans bruit.

(c) TRAC avec 10% de bruit.

(d) TRAC avec 30% de bruit.

(e) TRAC avec 40% de bruit.

(f) TRAC avec 50% de bruit.

Figure5.6 –_{Reconstitution du champ total avec différents niveaux de bruit sur les données enregistrées.}

L’inclusion est ronde et de type mou. Comparaison du retournement temporel exact (a) et du retournement temporel avec TRAC où le sous-domaine B englobe totalement l’inclusion avec du bruit.

5.2. PLUS DE TESTS POUR L’ÉQUATION DES ONDES 107

(a) TR exact pour une inclusion molle.

(b) TRAC où le sous-domaine englobe totalement l’inclusion.

(c) TRAC où le sous-domaine colle à l’inclusion.

(d) TRAC où le sous-domaine est à l’intérieur strictement de l’inclusion.

(e) TRAC où le sous-domaine est décalé par rapport à l’inclusion, sans la toucher.

(f) TRAC où le sous-domaine recouvre en partie l’inclusion.

Figure 5.7 – _{Reconstitution du champ total avec différentes positions du sous-domaine B par rapport}

à l’inclusion. L’inclusion est ronde et de type mou. Comparaison du retournement temporel exact (a) et du retournement temporel avec TRAC où la position du sous-domaine B varie.

résolutions miracles liées aux interactions des schémas numériques du problème direct et du problème inverse. C’est une manière de modéliser la marge d’erreur faite par l’appareil de mesure. Il ne s’agit pas là de créer un bruit de fond dans le milieu ambiant, qui serait plutôt modélisé par un bruit additif.

Les résultats obtenus sont présentés sur la Figure 5.6. Nous procédons à la méthode TRAC à nouveau avec un sous-domaine B rond de rayon 3λ/2 contenant une inclusion molle de rayon λ. Les niveaux de bruit choisis sont 0%, 10%, 30%, 40% et 50%. Nous comparons au retournement temporel exact présenté sur la Figure 5.6a : pour 0% (5.6b) et 10% (5.6c), les signaux reconstitués sont tout à fait similaires au retournement temporel exact. Pour 30% (5.6d), le signal commence à être un peu chahuté par les données bruitées, cela se matérialise par de la neige sur les images. Pour 40% (5.6e), le signal est davantage dégradé mais nous pouvons encore reconnaître le champ total, alors que pour 50% (5.6f), le signal souffre davantage du bruit.

En conclusion, la méthode TRAC se révèle robuste vis-à-vis du bruit sur les données jusqu’à environ 30% de bruit. Remarquons que dans l’exemple du poisson dans le § 5.1, nous travaillons avec 20% de bruit et le champ reconstitué ne semble pas pâtir du bruit sur les données enregistrées.

Finalement, dans la quatrième série de tests, nous faisons varier la taille et la position du sous-domaine B. L’inclusion est toujours de type mou et ronde de rayon λ. Nous considérons les cinq cas suivants :

1. le sous-domaine B est rond de rayon 3λ/2 et englobe totalement l’inclusion D ; 2. le sous-domaine B est rond de rayon λ et colle parfaitement à l’inclusion D ;

3. le sous-domaine B est rond de rayon λ/2 et est inclus en totalité dans l’inclusion D ; 4. le sous-domaine B est rond de rayon λ et est décalé par rapport à l’inclusion D sans

la toucher ;

5. le sous-domaine B est rond de rayon λ et recouvre partiellement l’inclusion D ;

Les illustrations des cas ci-dessus se trouvent sur la Figure 5.7. Nous observons nettement dès la deuxième colonne que si le sous-domaine B ne contient pas l’inclusion D entièrement, alors les signaux reconstitués diffèrent du champ total de référence. Nous verrons dans la partie suivante comment utiliser ces résultats pour faire de l’identification d’objets.

Grâce à toutes ces séries de tests, nous avons pu mettre en évidence la faculté de la méthode TRAC à reconstruire le champ total pour diverses formes et types d’inclusion même avec un coefficient de bruit sur les données enregistrées non négligeable. Nous remarquons

5.3. QUELQUES TESTS POUR L’ÉQUATION DE HELMHOLTZ 109