1.3 Condition aux limites absorbante et méthode TRAC
1.3.2 Méthode TRAC
Présentons à présent l’idée de la méthode TRAC que nous allons étudier en grande partie dans cette thèse. Cette méthode est basée sur les techniques de retournement temporel présentées au § 1.1, auxquelles nous combinons des conditions aux limites absorbantes dans une configuration inhabituelle. Le principe de la méthode TRAC sera détaillé dans le chapitre 2 dans le cas général puis pour des exemples. Notons que cette méthode peut être définie dans le domaine temporel ainsi que dans le domaine fréquentiel. Ici nous présentons uniquement l’idée de la méthode dans le cadre de l’équation des ondes scalaire.
Avant d’expliquer la méthode, nous souhaiterions replacer le contexte dans lequel nous allons l’appliquer. Jusqu’à présent, nous avons considéré le cas de sources passives dont nous enregistrons les signaux sur des cavités ou des miroirs à retournement temporel. Dans notre étude consacrée à la méthode TRAC, nous travaillons dans un milieu infini. Dans ce milieu, nous disposons une ligne d’émetteurs-récepteurs à ouverture totale qui est transparente pour l’onde qui se propage. La forme de l’onde n’est en effet pas perturbée lorsque l’onde traverse la ligne d’émetteurs-récepteurs. De plus, nous considérons plutôt des sources actives. Ces sources sont en fait des inclusions (objets, fissures, etc...) qui n’émettent rien d’elles-mêmes, mais que nous éclairons à l’aide d’un signal connu. Ce signal se réfléchit totalement ou partiellement sur l’inclusion et nous enregistrons la réponse de ce signal sur la ligne de transducteurs. C’est la génération des données illustrée par le schéma en Figure 1.10a. Le domaine de calcul contenu à l’intérieur de la région délimitée par la ligne d’émetteurs- récepteurs est noté Ω. De plus, nous notons D l’inclusion dans le domaine Ω.
1.3. CONDITION AUX LIMITES ABSORBANTE ET MÉTHODE TRAC 23 transducteurs en mode récepteur Ω inclusion diffractante D illumination
(a) En mode récepteur : illumination de l’inclusion diffractante et enregistrement des signaux diffractés sur les transducteurs.
transducteurs en mode émetteur
Ω\ B sous-domaine B
(b) En mode émetteur pour la méthode TRAC : signaux retournés en temps réémis dans le milieu tronqué par le sous-domaine B.
Figure 1.10 – Configuration des transducteurs et de l’inclusion pour le problème direct en (a) et pour
le retournement temporel en (b). Pour effectuer la méthode TRAC, le domaine de calcul est tronqué par l’introduction d’un sous-domaine B. Le nouveau domaine de calcul pour le retournement temporel avec TRACse fait dans la partie colorée, Ω \ B.
Dans le cas des sources actives, nous pouvons connaître a priori l’illumination et nous connaissons le milieu de propagation que nous supposons toujours non dissipatif. En revanche, nous ne connaissons pas les propriétés de la source, c’est-à-dire de l’inclusion. D’un point de vue mathématique, le problème direct s’écrit :
α∂ 2u
∂t2 − ∇ · (β∇u) = 0 , (1.3.11)
où les coefficients α et β représentent les propriétés physiques du milieu dans sa globalité, comme la densité ou la compressibilité dans le cas de l’acoustique. Nous notons α0 et β0 les propriétés concernant le milieu environnant l’inclusion et αD et βD celles de l’inclusion. La vitesse de propagation c vérifie la relation suivante :
c2 = β α .
L’inconnue ne porte plus sur la forme et la position du second membre, mais sur des coefficients des équations du phénomène. En effet, l’onde diffractée est la réponse de l’inclusion due à des propriétés physiques différentes de celles du milieu environnant. Cela revient à dire que nous connaissons les propriétés physiques du milieu en dehors de l’inclusion uniquement et nous cherchons à reconstruire le signal généré par l’inclusion. La première approximation est de supposer que les propriétés physiques sont égales à celles du milieu environnant dans tout le domaine Ω, donc aussi dans l’inclusion, dont par ailleurs nous ne connaissons pas plus la position. Le problème résolu par retournement temporel classique
s’écrit alors :
α0 ∂2w
∂t2 − ∇ · (β0∇w) = 0 dans tout Ω , (1.3.12)
et nous imposons à la solution w de prendre sur le bord du domaine la valeur des signaux enregistrés retournés temporellement. Les conditions initiales sont prises nulles, car nous supposons avoir émis assez longtemps lors du problème direct pour que le champ diffracté soit nul à la fin de l’expérience. À nouveau, l’approximation faite par le retournement temporel est importante et entraine une limite de diffraction autour de l’inclusion.
En revanche, nous connaissons les coefficients en dehors de l’inclusion, soit dans Ω \ D. Par conséquent, l’idée est de travailler dans le domaine tronqué Ω \ D. Nous savons déjà quelle condition aux limites est satisfaite sur le bord ∂Ω imposée par les signaux réémis, et il nous reste à déterminer la condition aux limites à imposer sur le bord ∂D. Or rappellons que nous ne connaissons ni la position ni les propriétés de l’inclusion et a fortiori ni la condition satisfaite sur son bord. C’est là qu’intervient l’idée principale de la méthode TRAC : nous allons introduire dans le domaine de calcul Ω un sous-domaine que nous noterons B. Nous supposons que le sous-domaine B contient l’inclusion diffractante et ainsi nous pouvons travailler à présent dans le domaine tronqué Ω \ B dans lequel les coefficients de l’équation des ondes scalaire sont connus. Nous illustrons la nouvelle configuration d’étude sur la Figure 1.10b. Nous y avons coloré le nouveau domaine de calcul Ω \ B.
Une fois de plus, le problème est sous-déterminé car nous n’avons pas imposé de condition aux limites sur le bord interne ∂B. En revanche, il n’est plus nécessaire de connaître l’inclusion, seules les propriétés du champ diffracté par une inclusion sont considérées. C’est là qu’interviennent les conditions aux limites absorbantes : le champ diffracté par l’inclusion lors du problème direct part vers l’infini. Par conséquent le champ diffracté satisfait une condition de radiation à l’infini et sur toute surface entourant l’inclusion, nous pouvons approcher cette condition par une condition aux limites absorbante. Lorsque nous effectuons du retournement temporel, il suffit alors d’imposer cette condition aux limites absorbante en l’ayant préalablement retournée en temps, désignée par TRAC, et appliquée sur le bord interne ∂B dont la normale est dirigée vers l’intérieur :
α0 ∂2u R ∂t2 − ∇ · (β0∇uR) = 0 dans Ω \ B
uR(t) = u(Tf − t) sur le bord externe ∂Ω
T RAC(uR) = 0 sur le bord interne ∂B,
1.4. APPLICATIONS DE LA MÉTHODE TRAC 25