Principe général dans le domaine temporel

Notre nouvelle méthode, que nous dénommons TRAC de l’anglais Time Reversed Absorbing Condition, soit condition absorbante retournée temporellement, permet de « recréer le passé » sans connaître la source qui a émis les signaux rétropropagés. Ceci a été rendu possible en combinant des techniques de retournement temporel et des conditions aux limites absorbantes. Après avoir enlevé une petite région contenant la source, nous avons introduit des conditions absorbantes retournées en temps (TRAC). Décrivons cette approche. Nous considérons une onde incidente UI _{qui illumine une inclusion D caractérisée par des} propriétés physiques différentes de celles de son milieu environnant. Notons ∂D le bord de cette inclusion. Le champ total UT _{peut être décomposé en un champ incident et un champ} diffracté US_{, soit U}T _{:= U}I_{+ U}S_{. Nous considérons le problème en dimension d où d = 1, 2, 3} et nous supposons que le champ total vérifie le problème hyperbolique linéaire (ou système d’équations), dont l’opérateur est noté L, que nous écrirons

         L(UT_{) = 0 dans R}d_,

(UT _{− U}I_{)(t, "x) satisfait une condition de radiation à l’infini,} conditions initiales homogènes.

(2.1.1)

Le champ diffracté satisfait une condition de radiation à l’infini qui assure l’unicité de la solution. Pour l’équation des ondes, nous utilisons de manière classique une condition de Sommerfeld, ou de Silver-Müller pour les équations de Maxwell, cf. § 2.1.2 et 2.1.3, ou [AKNT11].

Notons ΓRla surface qui englobe D, sur laquelle nous avons positionné les transducteurs permettant l’enregistrement du champ diffracté, et Ω le domaine borné délimité par le bord ΓR. Nous supposons que l’onde incidente UI est engendrée par une source ponctuelle telle qu’après un temps Tf, le champ total UT est négligeable dans le domaine borné Ω, cf. Figure 2.1.

2.1. MÉTHODE TRAC DANS LE DOMAINE TEMPOREL 41 ΓR

Ω B

D

Figure 2.1 – _{Une inclusion D dans R}d _{entourée par Γ}

R, une ligne de capteurs, qui délimite le domaine

de calcul Ω. En pointillé, l’ellipse B représente le sous-domaine-test pour effectuer la méthode TRAC.

Soit V un champ qui vérifie le problème hyperbolique linéaire L(V ) = 0. Nous notons VR le champ retourné en temps correspondant, qui vérifie alors la même équation physique, VR:= V (Tf − t, "x). Nous supposons que nous avons enregistré la valeur du champ total UT sur le bord ΓR qui entoure le domaine Ω. Rappelons que le champ direct se propage dans le milieu infini et n’est pas perturbé par le bord ΓR. Notre but est d’écrire un problème aux limites dont la solution est le champ total retourné en temps. Les propriétés physiques de l’inclusion ou sa position exacte sont inconnues. Les seules données que nous avons sont les propriétés physiques du milieu environnant, c’est-à-dire l’opérateur L à l’extérieur de D. Nous le noterons L0. Ainsi, URT vérifie l’équation suivante

L0(URT) = 0 dans (0, Tf)× Ω\D. (2.1.2)

Nous imposons des conditions de Dirichlet sur ΓR égales au retourné temporel des champs enregistrés, et des conditions initiales homogènes. Le point-clé est que le problème aux limites ci-dessus est sous-déterminé, en effet il nous manque la condition aux limites sur le bord de l’inclusion D de façon à définir un problème aux limites bien posé pour le champ retourné en temps UT

R dans Ω \ D. Lors de la résolution de problèmes inverses, ni la forme, ni la position de l’inclusion D ne sont connues et souvent nous ne connaissons pas non plus le type de condition aux limites (dur ou mou) vérifié sur le bord de l’inclusion.

Afin de surmonter ces difficultés, l’approche classique par exemple résout le problème (2.1.2) dans le domaine entier Ω, en supposant qu’il n’y a pas d’inclusion D, cf. [LMF+_{06] et ses références. Notons W}T

R cette solution retournée en temps « approchée », nous avons dans le domaine entier Ω :

avec des conditions de Dirichlet sur ΓR valant le retourné temporel des champs enregistrés, et des conditions initiales nulles. On peut facilement vérifier que cette solution approchée WT

R diffère du retourné temporel du champ total URT.

Remarque 2.1.1. Une autre possibilité est d’essayer de reconstruire le retourné temporel du champ diffracté US

R au lieu du retourné temporel du champ total URT. Dans ce cas, l’approche classique consiste à résoudre

L0(WRS) = 0 dans (0, Tf)× Ω

avec des conditions de Dirichlet sur ΓR valant le retourné temporel des champs enregistrés moins le retourné temporel du champ incident, et des conditions initiales nulles. Il est facile de vérifier que cette solution retournée temporelle approchée WS

R diffère de la même manière de US

R.

Pour écrire un problème aux limites vérifié par UT

R sans connaissance des propriétés physiques de l’inclusion D, ni sa position exacte, nous introduisons un sous-domaine B englobant l’inclusion D, cf. Figure 2.1. Il nous faut alors déterminer la condition aux limites spécifique à US

R sur le bord ∂B, de façon à ce que la solution de ce nouveau problème coïncide avec UT

R restreint à Ω \ B.

Afin de déterminer la condition au bord, nous remarquons que L0(UI) = 0, donc que le champ diffracté satisfait

     L0(US) = 0 dans Rd\ D

US _{satisfait une condition de radiation à l’∞}

(2.1.4)

et des conditions initiales nulles. Nous utilisons maintenant le fait que le milieu environnant Ω \ D est homogène. Tout d’abord, notre première étape sera de regarder quelle relation est satisfaite par US _{sur ∂B. Des conditions aux limites absorbantes numériques, par} exemple [EM77] et [BT80], donnent des approximations précises à une condition aux limites parfaitement absorbante. Nous notons ABC une condition aux limites absorbante qui peut être écrite formellement

ABC(US_{) = 0 sur ∂B . (2.1.5)}

Comme UT _{= U}I _{+ U}S_{, nous avons, avec l’approximation due à la construction} de la condition aux limites absorbante, ABC(UT _{− U}I_{) = 0 ou de façon équivalente}

2.1. MÉTHODE TRAC DANS LE DOMAINE TEMPOREL 43 ABC(UT_{) = ABC(U}I_{). Le point-clé est de retourner temporellement cette relation dans une} relation que nous noterons

TRAC(UT

R) = g(UI) sur ∂B (2.1.6)

où g(UI_{) est une fonction connue qui est liée au retournement temporel de ABC(U}I_). La forme de TRAC et g(UI_{) sera explicitée dans les sections suivantes en fonction des} problèmes spécifiques. Nous verrons que la condition aux limites ABC est différente de sa correspondante retournée en temps TRAC qui sera renvoyée comme étant une TRAC (condition absorbante retournée temporellement ou Time Reversed Absorbing Condition en anglais).

Pour résumer, le problème vérifié par UT

R dans le domaine restreint Ω \ B peut s’écrire :              L0(URT) = 0 dans (0, Tf)× Ω\B TRAC(UT R) = g(UI) sur (0, Tf)× ∂B UT R(t, "x) = UT(Tf − t, "x) sur (0, Tf)× ΓR (2.1.7)

avec des conditions initiales homogènes. En résolvant (2.1.7), nous sommes capables de reconstruire le champ total UT

R en tout point du domaine restreint Ω \ B pour tout temps dans (0, Tf) avec une très bonne précision.

Dans [AKNT10, AKNT11], nous avons travaillé à la reconstitution du champ total. En revanche, par la suite, nous nous sommes plutôt intéressés à la reconstitution du champ diffracté. Nous présentons alors le problème aux limites associé.

Le point-clé est de retourner temporellement la relation (2.1.5) dans une relation que nous noterons

TRAC(US

R) = 0 sur ∂B . (2.1.8)

(La condition TRAC en (2.1.8) peut être la même que la condition TRAC dans l’équation (2.1.6) quand le tout est linéaire). Nous en déduisons le problème vérifié par US R dans le domaine restreint Ω \ B :

                 L0(URS) = 0 dans (0, Tf)× Ω\B TRAC(US R) = 0 sur (0, Tf)× ∂B US R(t, "x) = US(Tf − t, "x) sur (0, Tf)× ΓR (2.1.9)

avec des conditions initiales homogènes. En résolvant (2.1.9), nous sommes capables de reconstruire le champ diffracté US

R en tout point du domaine restreint Ω \ B pour tout temps dans (0, Tf) avec une très bonne précision.

Nous illustrons notre approche en dérivant explicitement le problème (2.1.7) de l’équation (2.1.1) (ou (2.1.9) de (2.1.4)) pour plusieurs exemples classiques : l’équation des ondes (§ 2.1.2) et le système de Maxwell (§ 2.1.3). Le même procédé peut être aussi appliqué au système de l’élasticité linéaire et à des problèmes hyperboliques non linéaires avant la formation de choc.