La fonction indicatrice (3.22) a l’avantage d’être beaucoup plus rapide à évaluer que I(z) et semble donc plus appropriée pour une imagerie en temps réel. Nous discuterons par la suite sa pertinence via des expérimentations numériques et des comparaisons avec ce que donne I(z).
Figure 3.3 – Illustration, diffraction d’onde dans un milieu bicouche
3.3
Résultats numériques et discussions
Nous commençons par présenter quelques notations et préliminaires pour principalement décrire les paramètres des expérimentations numériques, puis les résultats des simulations.
3.3.1 Notations et préliminaires
Nous proposons d’imager une région rectangulaire de dimension Lx×Ly, contenant des mines antichar entourées de mines antipersonnel avec des dimensions respectant les données indiquées dans ce qui suit, plongées à une profondeur variant entre dc= 40cm et dp = 10cm selon le type
de mine. Nous avons choisi de donner une paramétrisation de toutes les grandeurs en fonction de la longueur d’onde incidente λ = 10cm, qui correspond à la fréquence k := 2π/λ. Nous décrivons les différents paramètres utilisés pour l’expérimentation concernant la région à imager, ainsi que le dispositif d’imagerie mis en place :
• La mine antichar définie comme un cube de dimensions (4λ)3, et de λ3 pour la mine
antipersonnel.
• Le pas de la discrétisation en espace est de ∆ = ∆x∆y∆z = λ2
3 .
• L’indice de réfraction des mines antichar est fixé à nc = 3.6. Il est de na = 3.2 pour les
mines antipersonnel. • Le milieu de propagation :
— L’air d’indice de réfraction nb = 1. — Le sol d’indice de réfraction nb = 2.6.
• L’antenne est assimilée à une surface Σ : — De dimension La× Wa= 30λ × 30λ.
— Placée à une hauteur Ha= 100λ.
— La distance entre deux capteurs successifs est de ∆0 = 0.5λ × 0.5λ, soit donc une matrice réponse de taille 612.
Les plans Π, désignent les trois plans de coupe horizontale Π3, Π2 et Π1 qui correspondent
respectivement au niveau des mines antichar dc, au niveau des mines antipersonnel dp, et à
l’interface entre les deux milieux ( c’est-à-dire, à z3 = 0).
Φb est calculé par la méthode d’intégration numérique décrite dans le paragraphe précédent.
Ces mêmes points enregistrent en même temps les réponses des ondes reçues du processus de diffraction, qui correspond à la forme d’onde donnée par (3.20), numériquement calculée par la formule des rectangles sur M := Ω, (l’ensemble des mines). Nous passons donc par une discrétisation uniforme ∆ = ∆x× ∆y× ∆z= λ
3
23 de M. Ainsi, pour tout capteur placé au point
x0, la forme d’onde est approchée :
˜
D(δ)b (x0) = k2∆
X
i,j,k
(n − nb)Φb(x0, yi,j,k)2 (3.23)
La migration de ces signaux permet de donner l’expression approximative de l’intensité pour tout point z ∈ R3, par :
˜
I(z) = X
x0∈Σ
˜
Db(x0)Φ∗b(x0, z)2∆0 (3.24)
la seconde définition qui résulte des lois de réfraction de Snell-Descartes des rayons lumineux retournés permet d’écrire d’une manière approximative l’intensité d’un point z sous la forme :
˜ Io(z) = X x0∈Σ ˜ Db(x0) e−i2k(d1+d2) (4π)2(d 1+ d2)2 ∆0 (3.25) avec ∆0 = ∆L∆W.
3.3.2 Expérimentations numériques et validation
Le modèle d’imagerie que nous venons de décrire s’appuie intégralement sur celui décrit et validé dans le chapitre précédent. Nous reprenons donc les mêmes routines de calculs faites auparavant, en changeant juste les expressions de la fonction de Green et l’indice de réfraction du milieu. Σ est un maillage de la grille virtuelle des mesures de réponse ; M correspond à un maillage de la paramétrisation de l’ensemble des mines dans le milieu ; G, est le maillage de la région à imager pour un plan de coupe Π.
Ce processus d’imagerie a été testé pour une multitude de configurations, et ce pour les deux expressions de la fonction d’intensité proposées dans (3.21) et (3.22), qui consistent à pondérer de deux manières les réponses ˜Db au niveau de tous les récepteurs pour ensuite trouver une
image du terrain.
Avant de commencer la présentation des résultats numériques, il est important de noter que, dans tout ce qui suit, nous nous référons aux positions exactes des objets utilisés pour simuler
3.3. Résultats numériques et discussions 53
les réponses D, par des carrés de couleur noire, limitant ainsi leurs bords (vue de dessus). Les résultats de reconstruction, eux, sont représentés sur les mêmes images par la dégradation de la couleur de la grille. Nous allons lister pour différentes configurations les images relatives aux traces de I et Io sur des plans de coupe horizontale Π. Dans le premier exemple, nous avons
considéré :
Table 3.1 – Centre et base de l’objet.
Mine Centre dimension
x y Mx My Mz da
Grandeurs 0 0 λ λ λ −4λ
Position et dimension de la Mine.
Figure 3.4 – Trace de la fonction Io, dans les plans Π1, Π2, et Π3 .
Figure 3.5 – Trace de la fonction I, dans les plans Π1, Π2, et Π3 .
Nous présentons ici l’exemple de la région décrite plus haut, et contenant une mine de type ’antichar’ au centre, entourée de huit mines antipersonnel distribuées sur le cercle de rayon d = 6λ, au centre de la première mine en respectant une répartition uniforme pour des θi, i =
Table 3.2 – Centre et base de l’objet.
Mine Centre dimension
x y Mx My Mz da
Antichar 0 0 4λ 4λ 4λ −4λ
8 Antipersonnel d cos θi d sin θi 1λ 1λ 1λ −1λ Position et dimension de la Mine.
Nous commençons par une inversion en utilisant la formule (3.25), et nous obtenons le résultat dans la Figure3.6.
Figure 3.6 – Trace de la fonction Io, dans les plans Π1, Π2, et Π3, .
Nous présentons dans la Figure3.7le résultat de la simulation qui correspond à la même configu- ration traitée dans la Figure3.6, mais, cette fois-ci, nous utilisons comme modèle d’inversion la fonction I, donnée par la formule (3.21), introduite plus haut. On obtient les images suivantes :
Figure 3.7 – Trace de la fonction I, (3.21), dans les plans Π1, Π2, et Π3, .
Pour conclure, notons que nous avons refait les mêmes scènes pour des sols d’indice de réfraction plus élevé pour nb = 2.6, 2.8 et 3. Nous retrouvons des résultats similaires.
3.3.3 Conclusion
Jusqu’à présent, nous avons une extension de modèle de détection des mines. Le modèle que nous avons présenté jusqu’à ce stade dans ce chapitre s’appuie sur les algorithmes SAR. Il généralise aussi celui que nous avons traité dans le chapitre 2. Ce modèle reste consistant. En