L’objectif principal de cette section est de modéliser une technique de reconstruction d’image, pour cartographier les mines dans le champ visé. Nous commençons tout d’abord par introduire et analyser le modèle de réponse des mines en configuration backscattering dans un milieu homogène. Nous proposons alors de décrire cette configuration de collecte de données, puis de rappeler le modèle décrivant les principales caractéristiques géométriques et électromagnétiques des mines antichar et antipersonnel.
2.3.1 Description de la configuration backscattering
Il s’agit d’une grille Σ contenant l’ensemble des capteurs x dans la station aérienne placée à une hauteur Ha, formée par une antenne d’ouverture Waen déplacement le long d’une trajectoire
rectiligne de longueur La. On parle ainsi du principe d’ouverture synthétique. Ce modèle de
collecte de réponse peut être schématisé géométriquement par la grille dans la Figure 2.7:
Figure 2.7 – Illustration des points de mesures sur la station, en configuration backscattering
Par ailleurs, dans le cas du schéma proposé par Tandem, les capteurs x sont placés aux mêmes endroits que les sources x0, et on parle ainsi de la configuration backscattering. Pour les propriétés
électromagnétiques et géométriques des mines, notons tout d’abord que le support de la différence entre les indices de réfractions (nb−n) de milieu et celui des mines est inclus dans Ω, et rappelons que la forme d’onde D := ˜D (2.33) reçue au niveau de cette antenne (la mesure SAR) est modélisée par : D(x0) = k2 Z Ω (n − 1) e 2ik|x0−y| 16π2|x 0− y|2 dy, (2.35)
La question qui se pose maintenant est : comment utiliser ces données au niveau des capteurs x0, pour produire des cartes pour les zones d’intérêt ? Du moment que les mesures seront effectuées par des antennes suffisamment loin de la surface du sol, l’idée la plus simple pour l’imagerie est de procéder comme dans [20] par l’analyse en champ lointain.
2.3.2 Approximation en Champ Lointain
Pour introduire la technique d’imagerie utilisée pour la cartographie des mines moyennant les données radar à ouverture synthétique, nous nous placerons en configuration de champ lointain [13,15,40, 50]. Lorsque les antennes d’observation se trouvent à une grande distance du sol à
2.3. Imagerie SAR en configuration backscattering 27
inspecter, nous pouvons apporter des simplifications aux expressions du champ diffracté. Plus précisément, dans les conditions de l’approximation de champ lointain :
|x0− y| = p (x0− y) · (x0− y) = q |x0|2− 2x0· y + |y|2= |x0| s 1 − 2bx0· y |x0| + |y|2 |x0|2 = |x0| 1 −b x0· y |x0| + O |y|2 |x0|2 !! = |x0| −xb0· y + O |y|2 |x0| ! , avecxb0 = x0 |x0|
Le but de cette analyse est de rendre plus simple la lecture de la forme d’onde introduite dans (2.35), et d’en déduire une méthode pour l’imagerie. Nous commençons par quelques notations et définitions.
En champ lointain, un développement de Taylor de |x1
0−y|, nous donne de la même façon que
pour |x0− y| l’approximation suivante :
1 |x0− y| = 1 |x0− y| 1 + O |y| |x0|
Avec toutes ces approximations, la fonction de Green (2.15) se simplifie sous la forme d’une onde sphérique centrée en l’origine multipliée par un terme de phase :
Φ0(x0− y) = eik|x0| 4π|x0| e−ikˆx0·y 1 + O |y| |x0| 1 + O k|y| 2 |x0| (2.36) On en déduit maintenant le modèle d’acquisition de données radar à ouverture synthétique, sous sa forme en configuration champ lointain. En effet, une approximation de la forme d’onde D en configuration champ lointain peut être approchée par :
D∞(x0) = A0
eik|x0|
4π|x0|
Z
R3
(n − 1)e−i2kˆx0·ydy, avec ˆx
0 =
x0
|x0| (2.37)
Avant d’introduire une technique d’imagerie, remarquons tout d’abord que la seule quantité dans l’expression de la forme d’onde simplifiée (2.37) contenant des informations sur les objets que nous voulons cartographier est donnée par :
ˆ
D∞(x0) =
Z
R3
(n − 1)e−i2kˆx0·ydy, (2.38)
qui est proportionnelle à la transformée de Fourier inverse tridimensionnelle de (n − 1). Cette donnée correspond toutefois aux valeurs de la transformée de Fourier seulement sur la sphère de rayon 2k. La méthode SAR consiste simplement à approcher le support de (n − 1) en appliquant la transformée de Fourier inverse sur les données partielles fournies par ˆD∞. On introduit alors
l’indicatrice ˆI comme étant la transformée de Fourier inverse (de la transformée de Fourier (n − 1)) ˆ I(z) := Z Γ⊂S2 ˆ D∞(x0)e+i2k ˆx0·zdxb0, (2.39)
L’avantage premier de cette approche, en plus de sa simplicité, est qu’elle donne une manière extrêmement stable pour traiter le bruit présent dans ˆD∞. La transformée de Fourier permet
par exemple de filtrer efficacement tout bruit blanc indépendamment de son amplitude. Cette stabilité est cependant d’une garantie aux dépens de précision puisqu’on ne pourra jamais, à partir de cette formule, retrouver le support 3D de 1 − n (remarquer que l’intégrale dans (2.39) est une intégrale 2D).
Afin de quantifier la précision maximale que pourrait fournir ce type d’approche, nous consi- dérons l’exemple simple où le domaine Ω est réduit à un point et que les points de mesures entourent complètement le point en question (on est évidemment très loin de la configuration Tandem). Ce cas se résume donc à Γ = S2, et la mine se comporte comme un point source en x = z0 de manière à ce que les mesures puissent se modéliser par
ˆ
D∞(ˆx0) = e−i2ˆx0·z0
Ainsi la fonction indicatrice s’exprime analytiquement par I(z) → ˆI(z) ' cte
Z
S2
ei2ˆx0·(z−z0)ds(ˆx
0)
Cette intégrale se calcule facilement en utilisant la formule de Funk-Hecke [22] et nous donne ˆ
I(z) = j0(2k|z0− z|) = sinc(2k|z0− z|)
Figure 2.8 – Illustration dans le cas ponctuel
Cette formule montre que l’on obtient la fonction sinc comme approximation du dirac en z0(qui
est la solution exacte du problème inverse simplifié que nous considérons). Le maximum de la fonction indicatrice est atteint pour z = z0 et la résolution (précision) est donnée par la largeur du pic représenté dans la Figure 2.8 en terme de la longueur d’onde λ = 2π/k. On retrouve ici la tâche focale de Rayleigh de diamètre λ/2.
Extension aux cas de données en champ proche : En pratique les mesures correspondent à la donnée de la forme d’onde (2.35) introduite dans la section précédente. Soit ˜A : L2(B) → L2(Σ)
l’opérateur de convolution défini par : ˜