3.2.1 Notations et préliminaires . . . 46 3.2.2 Description du modèle de propagation dans le cas bicouche . . . 47 3.2.3 Expression analytique de la fonction de Green. . . 47 3.3 Résultats numériques et discussions . . . 51 3.3.1 Notations et préliminaires . . . 51 3.3.2 Expérimentations numériques et validation . . . 52 3.3.3 Conclusion . . . 54 3.4 Limitations de la techniques SAR . . . 55 3.4.1 Limitations liées aux données Lidar . . . 55 3.4.2 Limitations liées aux type de sol . . . 57 3.4.3 Conclusion . . . 64 3.5 Reconstruction via une approche itérative et régularisation TV . . . . 64 3.5.1 Introduction et motivations . . . 64 3.5.2 Technique de variation totale . . . 65 3.5.3 Schéma Itératif de Landweber. . . 66 3.5.4 Schéma d’inversion hybride . . . 67 3.5.5 Résultats Numériques et Discussions . . . 68
Dans le chapitre précédent, nous avons mis en place un outil mathématique d’imagerie, per- mettant de cartographier un milieu homogène contenant des inclusions définies par leur indice de réfraction. Le processus d’imagerie considéré plus haut se découpe en deux parties principales : l’acquisition et le traitement des données. Dans la première partie, nous avons considéré la mo- délisation de l’acquisition des données radar à ouverture synthétique, qui se base principalement sur la résolution du problème direct. La seconde partie, qui consiste à produire des images à partir des réponses collectées au niveau des antennes, se base principalement sur l’analyse en champ lointain de la forme d’onde. L’étude de l’extension de ce modèle est en effet motivée par les résultats satisfaisants obtenus dans le cas homogène.
Puisque nous ne connaissons pas les propriétés physiques des milieux désertiques contenant ces engins explosifs, qui correspondent généralement à des sols loin d’être homogènes, on s’inté- resse dans cette thèse à mettre en œuvre une technique d’imagerie permettant la cartographie des mines dans un milieu quelconque. Dans ce chapitre, nous voulons étudier la possibilité d’étendre
le modèle proposé dans le chapitre2, pour imager un milieu non homogène décrit par son indice de réfraction nb, non nécessairement constant. Il est cependant recommandé, pour la bonne com- préhension du chapitre, de bien maîtriser les notions du précédent. Nous poursuivons la même méthodologie décrite dans le chapitre 2. Pour ce faire, nous décrivons dans un premier temps les équations de diffraction dans un milieu quelconque défini par son indice de réfraction nb. Nous explorons ainsi les formules appropriées d’extension pour la forme d’onde et la fonction de réflectivité (intensité) utilisée pour cartographier le sol en question. Nous nous pencherons dans une seconde section sur la présentation de quelques résultats numériques et discussions dans des cas spécifiques, pour pouvoir valider ou non ce modèle général.
3.1
Modélisation d’un milieu de référence hétérogène
Dans cette section, nous allons reprendre les équations de diffraction d’onde pour l’espace libre (toujours dans le cas scalaire), tout en les comparant avec les équations de propagation d’ondes scalaires dans le cas non homogène, représentant le mieux la réalité dans le sol à imager. Nous développons ainsi, au fur et à mesure, un modèle d’imagerie plus général, tout en prenant en compte les complexités et particularités des propriétés électromagnétiques liées au terrain à cartographier.
Une onde provenant d’une source ponctuelle placée en un point x0, pour un milieu homogène
contenant des hétérogénéités définies par l’indice de réfraction nb = 1 à l’extérieur d’un ouvert borné Ω l’onde totale utot caractérisée par :
∆utot+ k2nutot= −δx0 (3.1)
∆uinc+ k2uinc= −δx0 (3.2)
usc= utot− uinc (3.3)
uinc et usc vérifient la condition de rayonnement de Sommerfeld définie dans le chapitre précé- dent, k est le nombre d’onde. Dans le cas d’un milieu de référence non homogène d’indice de réfraction nb non constant (modélisant la présence d’autres types d’hétérogénéités que les mines) et tel que n = nb à l’extérieur d’un borné Ω, le problème de diffraction dans ce cas est décrit
par (3.4)-(3.6)
∆utot+ k2nutot = −δx0 (3.4)
∆uinc+ k2nbuinc= −δx0 (3.5)
usc = utot− uinc (3.6)
avec la même condition de rayonnement de Sommerfeld si on suppose que nb = 1 pour |x|
suffisamment grand. Nous renvoyons à la section suivante pour la description de la condition de rayonnement dans des milieux plus généraux (notamment bicouches) ne vérifiant pas cette condition sur nb.
Ce problème de diffraction (3.4) - (3.6), qui prend en compte un milieu de propagation non homogène présente la principale difficulté suivante. À la différence du problème (3.1)-(3.3), nous n’avons pas une expression analytique pour le champ incident uincqui décrit le comportement de
3.1. Modélisation d’un milieu de référence hétérogène 45
propagation d’ondes en l’absence de mines. D’un point de vue théorique, les résultats du chapitre précédent pour le cas nb = 1 s’étendent facilement au cas présent en supposant que nb∈ L∞(R3)
de partie imaginaire positive et en remplaçant la fonction de Green du cas homogène Φ0(·, x0)
Φ0(x, x0) :=
eik|x−x0|
4π |x − x0|
(3.7) par la fonction de Green associée au milieu de référence non homogène Φb(·, x0) solution de
∆Φb(·, x0) + k2nbΦb(·, x0) = −δx0 (3.8)
et vérifiant la condition de rayonnement. En particulier l’approximation de Born reste valide du moment que k2kn − nbkL∞ 1. La fonction de Green est symétrique dans le sens où
Φb(x, x0) = Φb(x0, x)
Sous cette hypothèse d’approximation de Born, l’expression des mesures en back-scattering est donnée par (étant donnée la symétrie de Φb)
˜
Db(x0) = k2
Z
Ω
(n − nb)Φb(x0, y)2dy (3.9)
Le but de ce chapitre est de définir une fonction d’imagerie permettant de tracer des profils 2D du terrain. Nous définissons donc la fonction indicatrice d’une manière similaire au cas de l’espace libre. Elle était donnée dans le cas d’un espace libre par l’expression suivante :
I(z) = Z
Ω
˜
D0(x0)Φ∗0(x0, z)2dx0
où Φ∗0 désigne le complexe conjugué de Φ0. Ainsi, en présence de mesures données par ˜Db, au
niveau des récepteurs, dans le cas non homogène, nous suggérons de tester la définition suivante de la fonction indicatrice pour un milieu non homogène
I(z) = Z
Ω
˜
Db(x0)Φ∗b(x0, z)2dx0 (3.10)
où Φ∗b, désigne le complexe conjugué de Φb. Désormais, derrière l’extension de cette technique
d’imagerie que nous venons de présenter, se cache la difficulté suivante : contrairement au cas homogène ou le calcul de la fonction de Green était explicite, la fonction de Green Φb(·, x0),
caractérisant la propagation dans le milieu de référence n’est plus automatique. Pour pouvoir exploiter ce modèle, il est nécessaire de définir des algorithmes de calcul de la fonction Φb(·, x0).
Comme nous l’avons mentionné plus haut, dans le cas général et selon la nature du sol à imager, où est considérée la propagation (les propriétés électromagnétiques du sol contenant les mines), la résolution du problème d’Helmholtz (3.8) s’avère très complexe. Puisque nous ne connaissons pas les hétérogénéités du sol (milieu de référence : avant de poser les mines), nous avons généralement recours à des méthodes numériques pour caractériser le comportement de la propagation en l’absence de mine, en partant des prototypes d’un sol de référence, qui peuvent être obtenus grâce à des sondages.
Cependant, il existe des cas particuliers où nous disposons heureusement de solutions analytiques. Nous nous reposons sur ce type de configurations particulières dans la section3.2, pour valider
notre modèle d’imagerie proposé plus haut. En effet, dans le cas où le milieu non homogène présente la propriété suivante : l’indice de réfraction du milieu est donné par une constante égale à nb dans le demi-espace supérieur (l’air), et une constante nb différente de 1, dans le demi-
espace inférieur, nous avons une solution analytique du problème d’Helmholtz (une expression analytique de Φb) associé à ce choix de milieu de propagation.