NON CALIBRÉES ET ESTIMATION
4.5 Résultats expérimentaux
Nous comparons un algorithme d’ajustement de faisceaux basé sur la représentation orthonormale avec d’autres algorithmes. Nous utilisons des données simulées puis réelles. Nous détaillons ci-dessous les méthodes comparées, les quantités mesurées, la paramétrisation de la structure et le calcul d’une solution initiale.
Méthodes comparées. Nous comparons les paramétrisations suivantes pour la géométrie des deux caméras :
LIBREest une optimisation directe des 24 coefficients de deux matrices de projection. La base projective de reconstruction est laissée libre. Les 24−7 = 17 paramètres supplémentaires sont les facteurs d’échelle
de chaque matrice de projection et les 15 paramètres de la base projective ;
NORMALISÉE[140] est similaire àLIBRE, mais fixe la base projective de reconstruction. Pour ce faire, la reconstruction est renormalisée après chaque itération et des contraintes sont incluses au premier ordre dans la minimisation. La base projective de reconstruction, ainsi que les facteurs d’échelle des matrices de projection sont contraintes ;
PAR_LIBRE [90] et §4.3.5 est une optimisation directe des 12 coefficients de la deuxième matrice de projection. La base projective de reconstruction est laissée partiellement libre. Les 12−7 = 5 paramètres
supplémentaires sont le facteur d’échelle de la deuxième matrice de projection, l’échelle globale de la scène reconstruite et la position du plan à l’infini de la reconstruction projective ;
CARTES [22, 49, 233] utilise une paramétrisation minimale de la matrice fondamentale basée sur plu-sieurs cartes. Plus de détails sont donnés en §4.3 ;
ORTHOutilise la paramétrisation orthonormale proposée dans ce chapitre, voir §4.4.
Quantités mesurées. Nous mesurons deux quantités caractéristiques d’un processus d’ajustement de fais-ceaux : le temps machine jusqu’à convergence et l’erreur de reprojection à la convergence. Le premier permet de juger le coût de la méthode, et le deuxième permet d’estimer sa précision. Nous arrêtons l’algorithme lorsque la différence entre deux itérations est inférieure à un seuil prédéfini, typiquement compris entre 10−4et 10−8.
Paramétrisation de la structure. Nous utilisons la paramétrisation proposée dans [93], qui consiste à fixer l’échelle des coordonnées homogènes pour que leur 3ème coefficient soit égal à 1. Les 3 autres coefficients libres sont estimés. Cette paramétrisation n’est utilisable que lorsqu’une base canonique avec P∼ ( I 0) est
utilisée. En conséquence, les méthodesLIBREetNORMALISÉEont leur propre paramétrisation de la structure : elles estiment les 4 coefficients des coordonnées homogènes de chaque point.
Calcul d’une solution initiale. Nous calculons une solution initiale pour la matrice fondamentale par l’algo-rithme des huit points normalisé [82]. Les points sont ensuite reconstruits dans la base canonique singulière par minimisation de leur erreur de reprojection individuelle.
4.5.1 Données simulées
Scène simulée. Nous simulons un nuage de points dans un cube dont la taille du côté est 1 mètre. Deux caméras observent ces points. La configuration standard est la suivante : la distance focale des caméras est 1000 (en pixels) et elles sont situées à 10 mètres du centre du cube. La distance entre les caméras (“baseline” en Anglais) est 1 mètre. Le nombre de points simulés est 50. Nous ajoutons un bruit Gaussien aux positions exactes des points image, avec un écart-type de 2 pixels. Chaque paramètre de cette scène est varié indépendamment pour pouvoir comparer les différentes méthodes dans différentes situations. Les résultats sont des moyennes sur 100 essais. Le calcul des médianes donne des résultats similaires.
Résultats. Les figures 4.4, 4.5, 4.6 et 4.7 montrent les résultats obtenus, lorsque différents paramètres d’ob-servation sont modifiés. Nous commentons ces résultats de manière globale puis spécifiquement.
6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Distance scène à caméras (mètres)
Erreur de reprojection (pixels)
INITIALISATION LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Distance scène à caméras (mètres)
Temps de calcul (secondes)
LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE
FIG. 4.4 – Erreur de reprojection (à gauche) et temps de calcul (à droite) mesurés pour différentes distances scène à caméras.
Nous observons que dans tous les cas, toutes les méthodes donnent la même erreur de reprojection, à quelques variations près. Ces petites variations sont dues au fait que les différentes paramétrisations sont plus ou moins susceptibles de tomber dans des minima locaux.
500 1000 1500 2000 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Distance focale (pixels)
Erreur de reprojection (pixels)
INITIALISATION LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE 500 1000 1500 2000 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Distance focale (pixels)
Temps de calcul (secondes)
LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE
FIG. 4.5 – Erreur de reprojection (à gauche) et temps de calcul (à droite) mesurés pour différentes distances focales des caméras.
4.5. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX 75
D’un autre côté, il y a de grandes différences entre les méthodes, concernant le temps de calcul. Les mé-thodes ayant les temps de calcul les plus élevés sont NORMALISÉE et LIBRE, suivies par PAR_LIBRE. Les méthodes basées sur un nombre minimal de paramètres, CARTES et ORTHO ont les temps de calcul les plus faibles, à peu près les mêmes. Ces différences sont expliquées par le fait que les méthodes redondantes ont plus d’inconnues à estimer que les méthodes minimales. La résolution des équations normales est donc plus coû-teuse. Nous avons observé que dans notre implantation en C, le temps de calcul de chaque itération est dominé par la résolution de ces équations normales, dont la taille est directement liée au nombre de paramètres.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Bruit image (pixels)
Erreur de reprojection (pixels)
INITIALISATION LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Bruit image (pixels)
Temps de calcul (secondes)
LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE
FIG. 4.6 – Erreur de reprojection (à gauche) et temps de calcul (à droite) mesurés pour différents niveaux de bruit ajouté sur les points image.
Plus précisément, la résolution éparse des équations normales est choisie, dans le cas de deux vues, pour être de complexité linéaire en le nombre de points, mais est alors cubique en le nombre de paramètres des caméras, ce qui explique les différences significatives de temps de calcul observées ci-dessus.
On note sur la figure 4.4, que l’erreur diminue lorsque la distance scène à caméras augmente. Ceci est dû au fait que le nuage de points observé dans les images devient de plus en plus petit. La minimisation de l’erreur de reprojection est donc de plus en plus facile.
Ces expériences ont été réalisées avec une régularisation des équations normales basée sur la méthodeLM, voir §3.6.2. L’utilisation de la méthode SEBER donne des résultats similaires, mais les temps de calculs sont légèrement moins bons et les différences entre les erreurs de reprojection sont réduites.
Matrices essentielles. Comme remarqué en §4.4.8, la représentation orthonormale a une ambiguïté de di-mension 2 quand une matrice essentielle est paramétrée. Nous voulons vérifier si, dans ce cas, ou dans le cas où la configuration considérée est proche d’une matrice essentielle, la représentation orthonormale pourrait induire des instabilités numériques dans le processus d’optimisation. Pour ce faire, nous répétons les expérimentations précédentes, avec les deux changements suivants :
nous utilisons comme initialisation la matrice essentielle la plus proche de la matrice fondamentale
donnée par l’algorithme des huit points. Par conséquent, la solution visée est une matrice fondamentale, mais la solution initiale est une matrice essentielle ;
au lieu d’utiliser les coordonnées des points dans les images, nous utilisons leurs coordonnées sur la
rétine. Par conséquent, la géométrie épipolaire sous-jacente est représentée par une matrice essentielle. Nous avons expérimenté les stratégies LM et SEBER pour l’optimisation non-linéaire. Les résultats obtenus sont très similaires aux expérimentations précédentes. Cela signifie que la représentation orthonormale peut être utilisée pour des configurations géométriques proches d’une matrice essentielle, sans induire de problème au niveau de l’optimisation, lorsqu’une technique d’optimisation appropriée telle Levenberg-Marquardt est utilisée.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Nombre de points
Erreur de reprojection (pixels)
INITIALISATION LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Nombre de points
Temps de calcul (secondes)
LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE
FIG. 4.7 – Erreur de reprojection (à gauche) et temps de calcul (à droite) mesurés pour différents nombres de points.
épipôles
images INITIALISATION LIBRE PAR_LIBRE ORTHO CARTES NORMALISÉE
e e E T E T E T E T E T E T —-∞ ∞ A, CA, B 0,49 - 0,47 0,99 0,47 0,54 0,47 0,64 0,47 0,65 0,47 1,10 0,68 - 0,65 0,67 0,65 0,39 0,65 0,29 0,65 0,34 0,65 0,70 —-∞ —-∞ A, D 0,84 - 0,67 0,70 0,67 0,38 0,67 0,33 0,67 0,33 0,67 0,74 ∞ ∞ B, C 0,57 - 0,53 0,27 0,53 0,14 0,53 0,15 0,53 0,14 0,53 0,23 ∞ —-∞ B, DC, B 0,790,57 -- 0,550,53 0,300,25 0,550,53 0,100,23 0,530,55 0,120,18 0,530,55 0,210,19 0,530,55 0,250,20 moyennes ¯E et ¯T 0,66 - 0,57 0,53 0,57 0,30 0,57 0,28 0,57 0,31 0,57 0,54
TAB. 4.3 – Erreur de reprojection à convergence,E, et temps de calcul, T , obtenus lorsque des paires d’images
de la figure 4.8 sont combinées, pour obtenir des épipôles proche des images ou à l’infini.
4.5.2 Données réelles
Nous utilisons les images de la figure 4.8. L’idée est de former des paires d’images permettant d’obtenir tous les cas d’épipôles finis et infinis. Les résultats sont donnés dans le tableau 4.3. Pour chaque combinaison de deux images et chaque algorithme, nous calculons le coût et l’erreur de reprojection. La dernière ligne du tableau montre les valeurs moyennes obtenues pour chaque algorithme sur toutes les paires d’images. On remarque que pour chaque paire d’images, tous les algorithmes donnent la même erreur de reprojection. Les méthodesORTHO,PAR_LIBREetCARTESdonnent les coûts les plus bas, pratiquement deux fois moindres que ceux requis pour les méthodesLIBREetNORMALISÉE. Nous obtenons des résultats similaires pour la méthode
SEBER, voir §3.6.2.